黃志英,吳江,唐濤,王云龍

(解放軍信息工程大學(xué)信息系統(tǒng)工程學(xué)院, 450001, 鄭州)

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非一致噪聲下的多陣列直接定位算法

黃志英,吳江,唐濤,王云龍

(解放軍信息工程大學(xué)信息系統(tǒng)工程學(xué)院, 450001, 鄭州)

針對(duì)實(shí)際無源定位系統(tǒng)中多個(gè)陣列分散分布以及單個(gè)陣列各陣元之間差異造成的噪聲功率分布不均勻?qū)е轮苯佣ㄎ?DPD)算法精度下降的問題,提出了一種非一致高斯白噪聲場(chǎng)中的多陣列最大似然DPD(UN-ML-DPD)算法,并推導(dǎo)出該條件下的克拉美羅界。首先計(jì)算各陣列輸出協(xié)方差矩陣;再將計(jì)算結(jié)果傳到數(shù)據(jù)處理中心;然后由數(shù)據(jù)中心通過迭代的方式同時(shí)對(duì)目標(biāo)位置與非一致噪聲功率進(jìn)行最大似然聯(lián)合估計(jì),以收斂后得到的結(jié)果作為目標(biāo)位置精確估計(jì)值,從而減弱了非一致噪聲對(duì)DPD算法的影響;最后在多目標(biāo)條件下用交替投影法降低算法復(fù)雜度。較之傳統(tǒng)算法,UN-ML-DPD算法能夠提高多陣列在低信噪比下的定位精度。仿真結(jié)果表明:UN-ML-DPD算法在-15 dB的低信噪比下估計(jì)誤差小于15 km,與DPD算法相比定位精度提高15%以上;能較為準(zhǔn)確地估計(jì)各陣列噪聲協(xié)方差矩陣,在標(biāo)準(zhǔn)噪聲功率小于30 W時(shí)估計(jì)誤差小于3.5 W;在高信噪比下定位精度能夠逼近克拉美羅下界。

無源定位;多陣列;非一致噪聲;直接定位;最大似然估計(jì)

傳統(tǒng)的多陣列角度交叉定位方法需要2步:各站首先利用各自的固定陣列對(duì)窄帶信號(hào)到達(dá)方向(direction of arrival, DOA)進(jìn)行估計(jì),并將DOA估計(jì)值通過網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)饺诤现行?融合中心根據(jù)各站的DOA估計(jì)值進(jìn)行聯(lián)合交叉定位[1-2]。這種方式對(duì)DOA的估計(jì)由各站孤立完成,忽略了各站收到的信號(hào)都是來自同一個(gè)輻射源的約束,而且參數(shù)估計(jì)與位置解算相分離造成了測(cè)量的參數(shù)與真實(shí)目標(biāo)位置失配,導(dǎo)致數(shù)據(jù)處理過程中信息不可避免的損失,從而無法獲得最優(yōu)的估計(jì)性能[3]。

針對(duì)傳統(tǒng)2步定位模型的缺點(diǎn),近年來學(xué)者們提出了對(duì)輻射信號(hào)的一步直接定位(direct position determination, DPD)算法,其思想是不預(yù)先估計(jì)信號(hào)到達(dá)方向(DOA)或者到達(dá)時(shí)間差(TDOA),直接用原始數(shù)據(jù)通過最大似然等方式對(duì)目標(biāo)的位置進(jìn)行非線性估計(jì)。這些算法在低信噪比下較傳統(tǒng)的2步定位方法具有較高的精度,且能夠在低信噪比下逼近相應(yīng)的克拉美羅下界(Cramér-Rao lower bound, CRLB)。根據(jù)處理的目標(biāo)數(shù)據(jù),該類算法可以分為頻域數(shù)據(jù)DPD[4-7]與時(shí)域數(shù)據(jù)DPD[8-9]2種。頻域數(shù)據(jù)DPD精度最高,但不適用于超視距定位模型;時(shí)域數(shù)據(jù)DPD精度比頻域數(shù)據(jù)DPD精度稍低,但仍高于傳統(tǒng)2步定位法,且適用于超視距定位。

傳統(tǒng)的DPD算法都基于一個(gè)基本假設(shè),即各陣列的接收噪聲都符合均值為零方差為δ2的高斯分布,然而實(shí)際中并非如此。對(duì)于多個(gè)分布在不同位置的陣列,由于各陣列間相隔較遠(yuǎn),不同的電磁環(huán)境下陣列的接收噪聲是有差異的;此外,在同一個(gè)陣列中,由于接收通道間的互耦、分布源引起的隨機(jī)散射、回聲以及非期望干擾等原因,也有可能造成各陣元之間噪聲的非均勻分布[12]。對(duì)噪聲建模的誤差將會(huì)導(dǎo)致DPD算法性能的下降。

針對(duì)上述問題,本文對(duì)多陣列接收噪聲進(jìn)行建模,為了與傳統(tǒng)的單陣列非均勻噪聲相區(qū)分[12],定義多陣列非一致接收噪聲為:

(1)各陣列的接收噪聲為相互獨(dú)立的高斯白噪聲,功率未知且不相等;

(2)同一陣列不同陣元之間的接收噪聲相互獨(dú)立,功率未知且不相等。

基于文獻(xiàn)[12]在非均勻噪聲下的DOA與陣列噪聲協(xié)方差矩陣聯(lián)合估計(jì)的算法,本文提出了一種基于多陣列的非一致噪聲下的最大似然直接定位算法(unknown nonuniform noise maximum likelihood direct position determination, UN-ML-DPD),該算法通過交替迭代的方式對(duì)各陣列的噪聲協(xié)方差矩陣以及目標(biāo)位置進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)。本文算法屬于時(shí)域數(shù)據(jù)處理方式,與文獻(xiàn)[8-9]算法相比,在非一致噪聲下能夠取得更好的定位效果。在信噪比較高的條件下,本文算法的定位性能接近相應(yīng)的克拉美羅下界。

1 觀測(cè)模型

圖1 多站聯(lián)合定位示意圖

多陣列典型的定位場(chǎng)景如圖1。假設(shè)多陣列聯(lián)合定位系統(tǒng)中,sn,k,q表示k時(shí)刻入射到第n個(gè)陣列的第q個(gè)源信號(hào),其中n=1,…,N,N為聯(lián)合定位系統(tǒng)中陣列的個(gè)數(shù),q=1,…,Q,Q為輻射源個(gè)數(shù),k=1,…,K,K為采樣個(gè)數(shù)。令zn,k∈CMn×1表示第n個(gè)站k時(shí)刻的接收矩陣,Mn為第n個(gè)陣列的陣元個(gè)數(shù),則有

(1)

式中:wn,k∈CMn×1為第n個(gè)站的噪聲矩陣;an(pq)∈CMn×1為陣列流型矢量;pq=[xq,yq]T為第q個(gè)輻射源的二維平面位置。令

(2)

則有

(3)

再令

(4)

(5)

由此,接收信號(hào)與輻射源的位置關(guān)系可由式(5)確定,則多陣列聯(lián)合定位的問題可以歸結(jié)為:利用接收矩陣vk估計(jì)所有輻射源的位置p。為了解決上述聯(lián)合定位問題,需要以下2個(gè)基本假設(shè)。

假設(shè)1 多陣列接收噪聲與接收信號(hào)相互獨(dú)立,且為非一致噪聲,接收噪聲矩陣wk的協(xié)方差矩陣為

(6)

(7)

假設(shè)2sn,k是一組待估計(jì)的確定信號(hào)序列(確定信號(hào)數(shù)據(jù)模型),接收信號(hào)zk符合正態(tài)分布

(8)

(9)

2 算法原理

2.1 定位算法原理

在信號(hào)波形為未知確定信號(hào)序列的假設(shè)下,對(duì)于第n個(gè)陣列,n=1,…,N,令

(10)

則(3)式可以寫成

Zn=An(p)Sn+Wn

(11)

再令

(12)

式中cn,k∈CMn×1(k=1,…,K)和rn,m∈C1×K(m=1,…,Mn)分別表示矩陣Gn的第k列和第m行,則在固定其他參數(shù)的情況下,第n個(gè)陣列的噪聲協(xié)方差矩陣的最大似然估計(jì)為[12]

(13)

在固定其他參數(shù)的情況下,sn,k的最大似然估計(jì)為

(14)

式中

(15)

時(shí)域數(shù)據(jù)DPD算法的最大似然估計(jì)器可將下式最小化[9]

(16)

將式(14)代入式(16),得到目標(biāo)位置p的最大似然估計(jì)為

(17)

式中

(18)

(19)

在聯(lián)合定位系統(tǒng)中,定義非一致噪聲下的多陣列最大似然DPD的代價(jià)函數(shù)為

(20)

式(20)并不能同時(shí)對(duì)噪聲的協(xié)方差矩陣和目標(biāo)位置進(jìn)行估計(jì)。因?yàn)楦鶕?jù)該式的形式可知,目標(biāo)位置p的估計(jì)依賴于根據(jù)式(13)對(duì)各陣列協(xié)方差矩陣Φn的估計(jì);反之,Φn的估計(jì)也通過式(14)依賴于目標(biāo)位置p。通過迭代的方式,可以實(shí)現(xiàn)Φn和p的聯(lián)合估計(jì)。

2.2 交替投影算法

本文提出的UN-ML-DPD算法是一個(gè)非線性的多維最優(yōu)化問題,需要全局極值的多維搜索。在單目標(biāo)的情況下,該算法只需要在二維平面上對(duì)目標(biāo)位置進(jìn)行搜索,而在多目標(biāo)條件下,則需要2Q維的搜索,在目標(biāo)數(shù)增多的時(shí)候算法的計(jì)算量會(huì)隨著搜索維數(shù)的增多而急劇增大。為了降低算法的搜索維數(shù),本文采用文獻(xiàn)[9]提出的交替投影DPD(alternative projection DPD,AP-DPD)算法來解決本文算法的多維優(yōu)化問題,其基本思想是通過迭代的方式將多維優(yōu)化問題進(jìn)行簡(jiǎn)單求解,在每一次迭代的每一步中,均相對(duì)于一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化,而其他參數(shù)保持不變。于是迭代過程中的每一步均只需要進(jìn)行一次二維的搜索。

(21)

(22)

對(duì)于任意具有相同行數(shù)的矩陣E和F,P[E,F]為矩陣[E,F]的列張成的子空間投影矩陣,則根據(jù)分塊Hermite矩陣的求逆公式可得

(23)

式中:FE=(I-PF)E。于是

(24)

(25)

則式(21)可以表示為

(26)

綜上所述,UN-ML-DPD算法的主要步驟如下。

(4)重復(fù)步驟2和步驟3直至得到最后目標(biāo)位置p的估計(jì)值。

(27)

同時(shí),為了考察算法在不同噪聲環(huán)境下的定位性能,定義非一致噪聲條件下的信噪比

(28)

式中:Pn=E[|sn,k|2]為第n個(gè)陣列接收信號(hào)功率。

假設(shè)傳統(tǒng)時(shí)域數(shù)據(jù)DPD算法對(duì)目標(biāo)定位搜索的平均計(jì)算量為Cp。本文算法需要聯(lián)合估計(jì)目標(biāo)位置p和噪聲協(xié)方差矩陣Φ,并需要一定次數(shù)的迭代,假設(shè)估計(jì)Φ的計(jì)算量為CΦ,算法收斂所需要的平均迭代次數(shù)為L(zhǎng),則本文算法定位平均計(jì)算量為L(zhǎng)(Cp+CΦ)。由于Φn估計(jì)的計(jì)算量主要集中在式(14)的矩陣計(jì)算中,式(17)的計(jì)算與式(14)相當(dāng),若采用QPSO算法實(shí)現(xiàn)p的最優(yōu)化,假設(shè)使用u個(gè)粒子進(jìn)行搜索,QPSO算法收斂需要的平均迭代次數(shù)為v,則式(17)計(jì)算就需要進(jìn)行uv次,因此在通常情況下Cp?CΦ,即本文算法定位平均計(jì)算量約為傳統(tǒng)算法的L倍。

3 定位誤差的克拉美羅下界

本章將分析非一致噪聲下多陣列DPD算法的克拉美羅下界(CRLB)。待估計(jì)的所有未知參數(shù)組成的矢量為

(29)

CRLB由Fisher信息矩陣的逆給出,有

(30)

式中

(31)

(32)

(33)

使用類似于文獻(xiàn)[12]的計(jì)算方法,可得

(34)

式中

(35)

(36)

(37)

其中?表示Kronecker積。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文算法的性能,對(duì)于不同的場(chǎng)景均做1 000次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn),并與文獻(xiàn)[8]中SDF-DPD以及文獻(xiàn)[9]中ML-DPD這2種時(shí)域數(shù)據(jù)DPD算法性能進(jìn)行比較。本文的所有仿真均將采用以下典型定位場(chǎng)景:假設(shè)目標(biāo)位置為(300 km,200 km)。多陣列聯(lián)合定位系統(tǒng)有4個(gè)測(cè)量站,其坐標(biāo)分別為(0 km,80 km)、(150 km,0 km)、(0 km,200 km)、(100 km,300 km),目標(biāo)與測(cè)量站的位置關(guān)系如圖2所示。

圖2 目標(biāo)與測(cè)量站位置關(guān)系圖

聯(lián)合定位系統(tǒng)中所有陣列都是陣元個(gè)數(shù)為10的平行于y軸的均勻直線陣,陣元間距與信號(hào)波長(zhǎng)的比值d/λ=0.5。信噪比為-5 dB,快拍數(shù)為32,信噪比范圍為-15～0 dB,用定位均方誤差eRMSE考察算法在不同信噪比下的定位性能,固定各陣列接收噪聲協(xié)方差矩陣為

(38)

圖3 不同信噪比下3種算法的性能對(duì)比

考察算法在不同最劣噪聲功率比下的定位性能,其他仿真條件不變,信噪比固定為-5dB,陣列的噪聲協(xié)方差矩陣設(shè)置如下

(39)

采用二次迭代后得到的位置估計(jì)值作為算法定位的最終估計(jì)值,得到的結(jié)果如圖4所示?？梢钥吹?最劣噪聲功率比越大,本文算法的精度較其他2種算法的提升效果越明顯。

圖4 不同最劣噪聲功率比下3種算法的定位性能對(duì)比

(40)

圖5 不同迭代次數(shù)下陣元噪聲功率估計(jì)誤差隨最大噪聲隨機(jī)功率的變化曲線

假設(shè)監(jiān)測(cè)區(qū)域內(nèi)存在2個(gè)目標(biāo),其位置分別為(300 km,200 km)和(300 km,100 km),內(nèi)外層各迭代3次,其他條件與圖3相同,得到的2個(gè)目標(biāo)條件下的定位均方誤差與信噪比之間的關(guān)系如圖6和圖7所示。可以看到,在2個(gè)目標(biāo)且噪聲非均勻的條件下,SDF-DPD算法受非一致噪聲的影響最大,性能最為不穩(wěn)定,而采用交替投影方式的本文算法與ML-DPD依然可以同時(shí)對(duì)2個(gè)目標(biāo)較為穩(wěn)定的進(jìn)行位置估計(jì),定位精度均高于SDF-DPD算法。經(jīng)過3次迭代本文算法的精度趨于穩(wěn)定,精度比均勻噪聲假設(shè)的ML-DPD算法高。且在信噪比較高時(shí)對(duì)2個(gè)目標(biāo)的定位性能均能逼近克拉美羅下界。

圖6 不同信噪比下3種算法的定位性能對(duì)比(目標(biāo)1)

圖7 不同信噪比下3種算法的定位性能對(duì)比(目標(biāo)2)

5 結(jié) 論

考慮各陣列之間與單個(gè)陣元之間的差異造成的接收噪聲非均勻的情況,本文的多陣列直接定位算法通過迭代的方法對(duì)陣列接收噪聲協(xié)方差矩陣與目標(biāo)位置進(jìn)行聯(lián)合估計(jì),降低了非一致噪聲對(duì)時(shí)域數(shù)據(jù)DPD算法的影響,提高了該算法的精度,且在信噪比較低及最劣噪聲功率比較大的情況下提升效果較為明顯。本文算法在信噪比較高的條件下可以逼近克拉美羅下界。在單目標(biāo)條件下,由于需要的迭代次數(shù)不多,本文算法較之傳統(tǒng)DPD算法的計(jì)算量并未顯著增加,但在多目標(biāo)條件下,由于本文算法的定位解算過程需要2層迭代,實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜,因此計(jì)算量較大。

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(編輯 劉楊)

A Direct Position Determination Algorithm Based on Multi Arrays in the Presence of Unknown Nonuniform Noise

HUANG Zhiying,WU Jiang,TANG Tao,WANG Yunlong

(Institute of Information System Engineering, Information Engineering University of PLA, Zhengzhou 450001, China)

A multi-array based maximum likelihood direct position determination (DPD) algorithm in the presence of unknown nonuniform noise (UN-ML-DPD) is proposed and an expression of Cramér-Rao lower bound (CRLB) is derived to solve the problem that the position accuracy of the DPD algorithm decreases due to dispersed multi-array distribution and nonuniform noise power distribution caused by difference among array elements in passive localization systems. The covariance matrixes of the array data are calculated and the results are transmitted to the process center. Then, the power of the nonuniform noise and the position of the targets are co-estimated simultaneously using the maximum likelihood method with iteration, and the converged result is taken as the target position estimation, so that the effect of the nonuniform noise is reduced. The alternative projection method is utilized to lower the algorithm complexity when multi targets exist. Compared with the traditional method, the UN-ML-DPD algorithm can improve the position accuracy under low signal-to-noise ratio (SNR). Simulation results show that the estimation error is lower than 15 km for SNR is -15 dB, and the accuracy of the position estimation is increased by 15% compared with the DPD method. The noise covariance matrix is well estimated, and the estimation error is less than 3.5 W when the standard power of the noise is lower than 30 W. Moreover, the position accuracy approaches the CRLB when the SNR are high.

passive localization; multi-array; nonuniform noise; direct position determination; maximum likelihood estimation

2015-01-09。

黃志英(1987—),男,碩士生;吳江(通信作者),男,副教授,碩士生導(dǎo)師。

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61201381)。

時(shí)間:2015-07-23

10.7652/xjtuxb201510022

TN911.7

A

0253-987X(2015)10-0136-07

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150723.0922.010.html