沈劍

【摘要】隨著社會(huì)的發(fā)展教育越來(lái)越重要，學(xué)生的數(shù)量也越來(lái)越多，學(xué)生的生活成為了社會(huì)比較關(guān)注的問(wèn)題，學(xué)生宿舍問(wèn)題事關(guān)學(xué)生在校學(xué)習(xí)期間的生活質(zhì)量，直接間接影響到學(xué)生的生活、學(xué)習(xí)以及健康成長(zhǎng)。第一部分，利用數(shù)學(xué)建模的方法對(duì)學(xué)生宿舍設(shè)計(jì)方案進(jìn)行綜合的量化和評(píng)價(jià)，使用層次分析法進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，運(yùn)用層次分析法定性與定量的特點(diǎn)，分別對(duì)經(jīng)濟(jì)性、舒適性、安全性三方面的子因素進(jìn)行了層次分析，根據(jù)問(wèn)題所提供的圖表和一些學(xué)生宿舍設(shè)計(jì)方案的實(shí)際情況，建立了相關(guān)的矩陣，進(jìn)行了成對(duì)比較，用了MATLAB軟件進(jìn)行計(jì)算，得出了在經(jīng)濟(jì)性方面方案一較優(yōu)，在舒適性方面方案二較優(yōu)，在安全性方面同樣也是方案二較優(yōu)。最終在綜合方面方案四最優(yōu)。第二部分，因考慮到層次分析法的主觀性比較大，為了更客觀的對(duì)四個(gè)學(xué)生宿舍設(shè)計(jì)方案進(jìn)行綜合量化與比較，再使用主成分分析法進(jìn)行分析。

【關(guān)鍵詞】宿舍設(shè)計(jì)方案；層次分析法；主成分分析法

一、問(wèn)題的提出和分析

學(xué)生在外讀書(shū)，家長(zhǎng)最擔(dān)心的就是學(xué)生在學(xué)校生活上的問(wèn)題，學(xué)生宿舍是最關(guān)鍵的，它是學(xué)生學(xué)習(xí)、社會(huì)交往和生活的重要場(chǎng)所。

本文是一個(gè)選擇最佳設(shè)計(jì)的問(wèn)題，需要從四個(gè)方案中選擇一個(gè)作為最佳設(shè)計(jì)方案，在進(jìn)行選擇時(shí)，所考慮的因素有建筑成本、使用成本、人均面積、費(fèi)用標(biāo)準(zhǔn)、人員疏散、互不干擾、防盜、通風(fēng)、采光。而這些因素是相互干擾、相互制約的。因此可以把這個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)稱(chēng)之為決策系統(tǒng)。

考慮到?jīng)Q策的因素太多，而且主觀性相對(duì)較大，所以需要把多指標(biāo)轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)。在實(shí)證這方面研究中，為了全面、系統(tǒng)地分析問(wèn)題，要考慮許多干擾因素。涉及到的因素都在不同程度上反映了所研究對(duì)象的一些信息，而且因素之間都有一定的相關(guān)性。特別是在用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的方法研究多變量函數(shù)的問(wèn)題的時(shí)候，變量數(shù)目過(guò)多會(huì)帶來(lái)計(jì)算量和復(fù)雜性的增大，所以采用主成分分析法，決定用它去量化這些因素，并進(jìn)行綜合的量化和評(píng)價(jià)。

一、模型的假設(shè)

1.本文的費(fèi)用標(biāo)準(zhǔn)均套用2004年江西省建筑工程消耗量定額及統(tǒng)一基價(jià)表和江西省建筑安裝工程費(fèi)用定額；2.忽略鋼精對(duì)建設(shè)成本的影響；3.各宿舍設(shè)計(jì)方案宿舍到各基礎(chǔ)設(shè)施的距離為均值；4.所有設(shè)計(jì)方案宿舍都坐北朝南；5.假設(shè)所有宿舍的樓梯是寬1.1m、9個(gè)踏步、每個(gè)踏步寬0.3m；6.假設(shè)每人的肩寬均為50cm，體重為60kg；7.根據(jù)江西省高校宿舍設(shè)計(jì)樓層的實(shí)際情況，把四個(gè)宿舍每層的樓高設(shè)為3.6m；8.假設(shè)學(xué)生宿舍樓使用年限為50年。

三、符號(hào)的說(shuō)明

CR_k：一致性比率，λ：最大特征根，

毪：指標(biāo)均值S^*_i²，修正方差，w'1' w'4' w'7' w‘”：準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的組合向量，w‘劭 w'5' w餌 w‘“：方案層對(duì)準(zhǔn)則層的組合向量，w怕 w怕 w姻 wn動(dòng)：方案層對(duì)目標(biāo)層的組合向量。

四、建立模型和求解

根據(jù)信息分析，用層次分析法和主成分分析法來(lái)對(duì)四個(gè)方案進(jìn)行綜合量化評(píng)價(jià)。

（一）層次分析法進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)

11.根據(jù)數(shù)據(jù)，利用層次分析法來(lái)對(duì)各方案進(jìn)行權(quán)重比較和評(píng)價(jià)：

把決策問(wèn)題分成三個(gè)層次，最上面的一層是目標(biāo)層0，也就是合理方案，最下面一層是方案層，有四個(gè)供選擇的方案，中間的一層是準(zhǔn)則層，有A，建筑成本、A，運(yùn)行成本、A。收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)、B，人均面積、B，使用面積、B。互不干擾、B4采光、B_通風(fēng)、C，人員疏散、C，防盜、C。防火11個(gè)準(zhǔn)則。

（1）準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的成對(duì)比較陣

求出它的權(quán)向量Wl= （0.1634，0.2970，0.5396）1，最大特征值3.0092和一致性指標(biāo)CRi=O.0079<0.1，通過(guò)了準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的一致性檢驗(yàn)。

經(jīng)經(jīng)過(guò)相互之間的比較后確定各個(gè)準(zhǔn)則項(xiàng)目對(duì)目標(biāo)的權(quán)重，和各個(gè)方案對(duì)于每一準(zhǔn)則的權(quán)重。這些權(quán)重在人的思想中一般都是定性的，不是定量的，而在層次分析法中需要權(quán)重的定量。比較各個(gè)方案P.，對(duì)每一準(zhǔn)則A、之間的之間權(quán)重，得出成對(duì)比較陣。

編寫(xiě)程序求出它們的權(quán)向量w。但，最大特征根X。和一致性指標(biāo)CRk，結(jié)果得到CRk的值都小于零點(diǎn)一，因此CRk均通過(guò)了準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的一次性檢驗(yàn)。

（2）把方案層對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)重和準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重進(jìn)行比較，來(lái)確定方案層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重。以Wk坦為列向量構(gòu)成的矩陣（w'2=（w1‘動(dòng)，w2‘勘，w3'2方案P1對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)重為：0.4514則第三層對(duì)第一層的組合向量為w'3=w'1'w'2求出向量W（3）= （0.4514，0.1156，0.1744，0.2568）。從得出的結(jié)果可以看出在經(jīng)濟(jì)方面方案一最優(yōu)。

2.從舒適性的角度評(píng)價(jià)

從大眾角度來(lái)看影響人均面積、使用方便、互不干擾三主因是人均面積，影響采光的主因是陽(yáng)臺(tái)面積，而影響通風(fēng)的主因是門(mén)的數(shù)目及位置。

（l）準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的成對(duì)比較陣

權(quán)向量為量W（4>=（0.0933，0.3562，0.1230，0. 1653）1，最大特征根入，=5.2218和一致性指標(biāo)CR7=0.0495<0.1，通過(guò)了一致性檢驗(yàn)。

建立成對(duì)比較陣得到的值均是小于零點(diǎn)一的，CRk均通過(guò)了準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的一次性檢驗(yàn)。

（2）把方案層對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)重和準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重進(jìn)行比較，來(lái)確定方案層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重。WK怕是列向量構(gòu)成的矩陣w'5=（w，（鄙，w2‘的，w3‘曲，方案層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重是0.2685，而第三層對(duì)第一層的組合向量為w'6二W'4'w

（向量為W（6）= （0. 2685，0.2859，0.2466，0.1992）.從結(jié)果可以看出在舒適方面方案二最優(yōu)。

3.從安全性的角度評(píng)價(jià)

從學(xué)校、學(xué)生的角度進(jìn)行雙向考慮，考慮到不管在學(xué)校的角度還是在學(xué)生的角度考慮，安全性都是第一，所以進(jìn)行了雙向考慮，安全性影響的主要數(shù)據(jù)。

（l）準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的成對(duì)比較陣

求出權(quán)向量是w{7>=（0.3108，0.1958，0.4934）1，最大特征根九。=3.0536和一致性指標(biāo)CRo=0.0462小于零點(diǎn)一，通過(guò)一致性檢驗(yàn)。

建立成對(duì)比較陣得到CRk的值均小于零點(diǎn)一，CRk通過(guò)準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的一次性檢驗(yàn)。

（2）把方案層對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)重和準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重進(jìn)行比較，來(lái)確定方案層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重。Wk'8）是列向量構(gòu)成的矩陣w-=twl‘趵，w2‘趵，w3'8），方案層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重為0.1385，而第三層對(duì)第一層的組合向量為w'9=w'7'w‘勖，向量為w（9）=（0.1385，0.4645，0.2531，0.1498）從得出的結(jié)果可以看出在安全方面方案二最優(yōu)。

4.從經(jīng)濟(jì)性、舒適性、安全性三方面綜合角度考慮評(píng)價(jià)

把決策問(wèn)題分成三個(gè)層次，最上面的一層是目標(biāo)層0，也就是合理方案，最下面一層是方案層，有四個(gè)供選擇的方案，中間的一層是準(zhǔn)則層，有D，經(jīng)濟(jì)性、D，舒適性、D。安全性3個(gè)準(zhǔn)則。

（1）準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的成對(duì)比較陣

求出權(quán)向量是wu∞=（0.5842，0.2318，0.1840）1，最大特征根九。=3.0536和一致性指標(biāo)CR4 0.0462小于零點(diǎn)一，通過(guò)一致性檢驗(yàn)。建立成對(duì)比較陣得到C凡的值都小于零點(diǎn)一，所以C凡通過(guò)了準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的一次性檢驗(yàn)。

（2）把方案層對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)重和準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重進(jìn)行比較，來(lái)確定方案層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重。W。u”是列向量構(gòu)成的矩陣w'11=（w]‘1D，%

（1”，w3（ll），方案層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重為0.1135，則第三層對(duì)第一層的組合向量為w'12=w'11'w'1們，向量為W'12=（0.1135，0.1004，0. 2258，0.4125）。

因此得出結(jié)果在經(jīng)濟(jì)性、舒適性、安全性三方面綜合角度方案四最優(yōu)。

（二）用主成分分析法進(jìn)行綜合評(píng)判

據(jù)江西省建筑工程造價(jià)管理站和參考高等學(xué)校宿舍實(shí)際情況，四個(gè)宿舍設(shè)計(jì)方案主要數(shù)據(jù)進(jìn)行整合，利用廣聯(lián)達(dá)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，得出各方案學(xué)生宿舍設(shè)計(jì)方案主要因素統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。

運(yùn)行成本，主要考慮宿舍維修費(fèi)和能源消耗費(fèi)，據(jù)國(guó)務(wù)院城鄉(xiāng)建設(shè)部規(guī)定推算知房屋“單方年均維修費(fèi)=35.135”，依照國(guó)家相關(guān)部門(mén)統(tǒng)計(jì)，房屋“年生均能源消耗費(fèi)=151.6”。

收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)=石否兩毒蓑戛寶衰去堡笪墮查

致×宿舍使用軍麗弋面了

人均面積=石薯薷善惡癸甄

使用方便，通過(guò)計(jì)算四套方案中每個(gè)宿舍分別到衛(wèi)生間、盥洗室、沐浴室的距離取其均值來(lái)確定：互不干擾=毒藉鏨孺霧&。

采光和通風(fēng)，分別統(tǒng)計(jì)四套方案的門(mén)窗數(shù)量，門(mén)窗越多當(dāng)然宿舍的采光和通風(fēng)就越好，這樣宿舍防盜的性能卻越差，即防盜=而i芻鬲。

人員疏散，根據(jù)樓梯最大承重量、樓梯最大承受人數(shù)，根據(jù)樓梯投影面積算出最多容納人數(shù)，取二者交集最小值。

排序規(guī)則：綜合得分=主成分得分×方差比率+主成分得分×方差比率

利用SAS軟件進(jìn)行綜合排名：方案四從綜合方面評(píng)判最優(yōu)，這與之前的層次分析法的判別結(jié)果一致；而方案二從綜合方面評(píng)判合理性最差。

五、模型的推廣

層次分析法廣泛的運(yùn)用于社會(huì)的方方面面，社會(huì)科學(xué)、城市規(guī)劃、經(jīng)濟(jì)管理、能源系統(tǒng)等。聚類(lèi)分析法運(yùn)用范圍也很廣，對(duì)于生活中的一些經(jīng)濟(jì)問(wèn)題需要分組的都可以使用。