楊麗新 江俊

(西安交通大學強度與振動國家重點實驗室，西安 710049)

引言

自從復雜網(wǎng)絡的小世界特性和無標度特性被發(fā)現(xiàn)以來［1-2］，復雜網(wǎng)絡就吸引了大量自然科學和工程應用領域方面的科研人員關注［3-4］.其主要原因是復雜網(wǎng)絡已經(jīng)廣泛應用于實際生活中，例如經(jīng)濟系統(tǒng)、因特網(wǎng)、生物神經(jīng)網(wǎng)絡以及大型機器人系統(tǒng)等.復雜網(wǎng)絡的應用，不僅簡化了系統(tǒng)的控制方法，而且節(jié)省了大量的能源和經(jīng)費，作為復雜網(wǎng)絡的一個重要動態(tài)特性，同步已經(jīng)得到了廣泛的研究，并且存在著大量的復雜網(wǎng)絡同步結果.過去十幾年，許多關于混沌同步的控制方法已被提出，文獻［5］研究了復雜網(wǎng)絡的帶有耦合延遲的全局同步，接著，文獻［6］基于牽引控制，討論了一類較為一般的復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)的同步問題，提出了一種簡化近似公式來估計牽制結點個數(shù)和未知的耦合強度等.

然而，研究復雜網(wǎng)絡的同步成果，考慮的節(jié)點大多數(shù)為整數(shù)階導數(shù)，近幾年來，分數(shù)階微積分的應用領域越來越廣泛，分數(shù)階模型更加準確地刻畫實際系統(tǒng)的物理現(xiàn)象，2010年，房建安等研究了加權網(wǎng)絡的牽引控制問題［7］，給出了分數(shù)階動力學網(wǎng)絡的控制性能與分數(shù)階次，以及耦合強度的關系，隨后，很多學者研究了復雜網(wǎng)絡的同步問題［8］.然而，分數(shù)階復雜網(wǎng)絡的同步控制問題還處于起步和探索階段，有許多問題值得去研究.

本文基于分數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，主要討論分數(shù)階混沌動力學網(wǎng)絡的混合投影同步控制問題，給出了一類具有不同節(jié)點的分數(shù)階混沌動力學模型，為使得該類網(wǎng)絡達到混合投影同步，設計了非線性控制器，并得到了實現(xiàn)同步的充分條件，數(shù)值仿真結果進一步驗證了所提方法的有效性.

1 準備知識和問題描述

目前為止，已經(jīng)有多種分數(shù)階微分的定義，常用的是Riemann–Liouvile和Caputo定義，由于后者更適合描述分數(shù)階微分方程的初值問題，因此，本文采用Caputo定義，簡單描述如下

其中Γ(·)表示Gamma函數(shù).

考慮一般的分數(shù)階線性微分方程［9］

其中X∈Rn，A∈Rn×n，0＜q≤1.

對于線性分數(shù)階系統(tǒng)(2)，若|arg(λi(A))|＞qπ/2成立，則分數(shù)階系統(tǒng)(2)漸近穩(wěn)定.

我們考慮含有N個節(jié)點的分數(shù)階動力學網(wǎng)絡如下:

其中q∈(0，1］;xi(t)=(xi1(t)，xi2(t)，…，xin(t))T∈Rn分別表示第i個節(jié)點動力學系統(tǒng)的階數(shù)和狀態(tài)變量，F(xiàn)i:Rn→Rn是非線性連續(xù)函數(shù)，用來描述第i個節(jié)點的動力學行為，Γ是內部耦合矩陣，C=(cij)N×N∈RN∈N是外部耦合矩陣，表示網(wǎng)絡的拓撲結構和耦合強度，矩陣元素cij定義如下:如果節(jié)點i和節(jié)點j之間有邊連接且(i≠j)，則cij＞0，否則，cij=0(i≠j)，矩陣C的對角元素定義如下:

假設復雜網(wǎng)絡的孤立節(jié)點的解滿足下式:

其中G:Rn→Rn是非線性光滑函數(shù).s(t)可以是一個穩(wěn)定點，或者周期解，也可以是混沌軌跡.

定義1 對于給定的分數(shù)階復雜網(wǎng)絡(3)，若存在一個非零矩陣Λ，使得Λs(t)‖=0，i=1，2，…，N成立，即復雜網(wǎng)絡實現(xiàn)了混合投影同步，其中，Λ=diag(λ1，λ2，…，λn)稱為標度矩陣，λi表示標度因子.

假設1 假設存在正的常值L，滿足不等式‖f(y)-f(x)‖≤L‖y-x‖，其中x和y是時變向量.

2 主要結果

我們考慮如下受控的分數(shù)階復雜網(wǎng)絡

其中，ui(t)∈Rn(i=1，2，…，N)是待設計的非線性控制器.

為了設計控制器的方便，我們可把目標節(jié)點和分數(shù)階網(wǎng)絡系統(tǒng)重新寫成如下形式

式中，Ai，B∈Rn×n，g(s(t))和fi(xi(t))分別是參考軌跡和第i個節(jié)點動力學系統(tǒng)的的非線性部分.

定義誤差向量

我們可以得到具體的誤差動力學系統(tǒng)如下:

我們的目標是設計合適的控制器ui(t)，使得誤差系統(tǒng)在原點穩(wěn)定.為此，我們設計如下的控制器，以定理形式給出.

定理1 對于給定的標度矩陣Λ和初值條件xi(0)，s(0)，若設計如下的控制器

式中，Λ=diag(λ1，λ2，…，λn)是標度矩陣，ki是正的反饋增益，則分數(shù)階網(wǎng)絡(7)可以實現(xiàn)混合投影同步.

證明:根據(jù)誤差向量的定義

把控制器(10)式代入(9)式，得到下式:

式中，Q=diag(Ai-kiIn)(i=1，2，…，N)

只要我們選取合適的反饋增益ki，使得矩陣P的任意特征值滿足成立，根據(jù)分數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理，則可以實現(xiàn)分數(shù)階網(wǎng)絡的混合投影同步.

3 數(shù)值仿真

我們選分數(shù)階超混沌Chen系統(tǒng)為網(wǎng)絡目標節(jié)點:

當q=0.98，a=35，b=3，c=12，d=7，r=0.5，系統(tǒng)(12)呈現(xiàn)超混沌吸引子，如圖1所示.

圖1 分數(shù)階超混沌Chen系統(tǒng)的吸引子Fig.1 The attractor of Chen fractional-order hyper-chaotic system

下面考慮一10個節(jié)點的分數(shù)階復雜網(wǎng)絡，前5個節(jié)點為一個新的超混沌分數(shù)階系統(tǒng)，動力學方程為:

參數(shù)取值為q=0.98，e=10，f=15，h=40，θ=10，d=2.5，系統(tǒng)(13)產(chǎn)生超混沌吸引子，如圖2所示.

圖2 分數(shù)階超混沌新系統(tǒng)的吸引子Fig.2 The attractor of the new fractional-order hyper-chaotic system

其余5個節(jié)點為分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)，如下描述

當參數(shù)取值為q=0.98，(a，b，c，r)=(10，8/3，28，-1)，系統(tǒng)(14)超混沌狀態(tài).

我們考慮10個節(jié)點的網(wǎng)絡，則具有不同節(jié)點的分數(shù)階動學網(wǎng)絡可以表示為下式:

圖3 分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)的混沌吸引子Fig.3 The attractor of Lorenz fractional-order system

圖4 同步誤差隨時間的變化歷程，當標度矩陣為Λ=diag(-1，1，1.-2)Fig.4 Time evolution of synchronization errors E(t)with scaling matrixΛ=diag(-1，1，1.-2)

為了數(shù)值仿真的簡單起間，選取內部耦合矩陣為Γ=I4，外部耦合矩陣任意選取為

定義eij(t)=xij(t)-Λjsj(t)(i=1，2，…，N;j=1，2，3，4)，則網(wǎng)絡系統(tǒng)狀態(tài)變量均方誤差:

狀態(tài)變量的初始值分別選取在區(qū)間(-5，5)間任意選取，選取標度矩陣為對角陣，元素分別為λ1=-1，λ2=1，λ3=1，λ4=-2，為了方便，我們固定階數(shù)q=0.98，得誤差隨時間演化如圖4所示:

4 結論

研究了分數(shù)階復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)的混合投影同步問題，我們所討論的分數(shù)階復雜網(wǎng)絡有更廣泛的形式，即內部和外部耦合矩陣都不必要滿足對角和可約簡的條件，同時以分數(shù)階混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論為基礎，設計合適的非線性控制器，實現(xiàn)了不同節(jié)點的分數(shù)階復雜網(wǎng)絡的混合投影同步，數(shù)值仿真進一步的說明了此方法的有效性.

1 Watts D J，Strogatz SH.Collective dnamics of small-world networks.Nature，1998，393(6684):440～442

2 Barabasi A L，Albert R.Emerging of scaling in random network.Science，1992，286:509～512

3 張剛，張偉.復雜網(wǎng)絡的脈沖同步.動力學與控制學報，2009，7(1):1～4(Zhang G，Zhang W.Impulsive synchronization of complex networks.Journal of Dynamics and Control，2009，7(1):1～4(in Chinese)

4 尚磊，鄭永愛.輸出耦合的復雜網(wǎng)絡自適應脈沖同步.動力學與控制學報，2012，10(1):48～51(Shang L，Zheng Y A.Adaptive impulsive synchronization of complex networks coupled with the outputs.Journal of Dynamics and Control，2012，10(1):48～51(in Chinese)

5 Sun W，Chen SH，Guo WL.Adaptive global synchronization of a general complex dynamical network with non-delayed and delayed coupling.Physics Letters A，2008，372:6340～6346

6 Tang Y，Wang Z，F(xiàn)ang J.Pinning control of fractional-order weighted complex networks.Chaos，2009，19(1):1311～1321

7 Tang Y，F(xiàn)ang J.Synchronization of N-coupled fractionalorder chaotic systems with ring connection.Communication in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2010(2)，15:401～412

8 Duan Z S，Chen G R，Huang L.Synchronization of weighted networks and complex synchronized regions.Physics Letters A，2008，372(21):3741～3751

9 Matignon D.Stability results for fractional differential equations with applications to control processing，In:Computational engineering in systems and application multi-conference.Lille:IMACS，IEEE-SMC Proceedings，1996，2:963～968