孫克輝 艾星星 左婷 朱從旭

(1.中南大學(xué)物理與電子學(xué)院，長沙 410083)(2.新疆大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，烏魯木齊 830046)

引言

相比單渦卷和雙渦卷混沌系統(tǒng)，多渦卷混沌系統(tǒng)具有更加復(fù)雜的動力學(xué)行為和更廣泛的應(yīng)用前景，因此，關(guān)于多渦卷混沌吸引子的研究正成為混沌領(lǐng)域的研究熱點(diǎn).國內(nèi)外研究人員在該領(lǐng)域先后提出了用分段線性、階梯波和符號函數(shù)等來產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子的方法［1-7］.然而這些提出的非線性函數(shù)多為不連續(xù)的，存在突變點(diǎn)［1-12］.眾所周知，混沌具有初值敏感性［13］，而函數(shù)的不連續(xù)和突變對混沌信號可能會造成一定的影響，物理實(shí)現(xiàn)也存在一定的困難.因此，研究采用連續(xù)的非線性函數(shù)產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子具有重要研究意義.在非線性電路研究中，蔡氏電路是最早提出并且研究得最為透徹的一個混沌電路.Chua電路中，隨著電路參數(shù)的變化，系統(tǒng)可呈現(xiàn)十分豐富的動力學(xué)行為，如倍周期分岔、單渦卷、周期、雙渦卷等.由于Chua電路簡單且容易實(shí)現(xiàn)，本文在Chua電路基礎(chǔ)上，采用由連續(xù)函數(shù)雙曲正切函數(shù)和線性函數(shù)疊加而成的非線性函數(shù)，研究基于連續(xù)非線性函數(shù)的多渦卷混沌吸引子設(shè)計方法及其動力學(xué)性能.

論文的安排如下，首先設(shè)計了兩類連續(xù)的非線性函數(shù)，并將連續(xù)的非線性函數(shù)應(yīng)用于Chua系統(tǒng)中，得到了單方向的多渦卷混沌吸引子，并對其進(jìn)行了性能分析，討論了系統(tǒng)參數(shù)的選取方法;然后設(shè)計了基于非線性函數(shù)的網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子，并對網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng)進(jìn)行了性能分析，最后給出結(jié)論.

1 基于Chua系統(tǒng)的單方向多渦卷混沌吸引子模型與性能分析

1.1 單方向多渦卷混沌吸引子的建模

多渦卷混沌系統(tǒng)的設(shè)計方法如下:選取適當(dāng)?shù)幕煦缦到y(tǒng)并設(shè)計合適的非線性項，進(jìn)行非線性項替代，并且使得在求平衡點(diǎn)的過程中能將平衡點(diǎn)計算簡化為一元方程和一個線性方程組的求解.此方法的關(guān)鍵在于設(shè)計能產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子的非線性函數(shù)，并注意調(diào)整平衡點(diǎn)的位置與類型.若設(shè)計的平衡點(diǎn)為指標(biāo)2的鞍焦點(diǎn)則能產(chǎn)生渦卷，若為指標(biāo)1的鞍焦點(diǎn)則能產(chǎn)生鍵帶，設(shè)計的平衡點(diǎn)是指標(biāo)1與指標(biāo)2相間隔便能產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子［5-7］.Chua系統(tǒng)微分方程為

其中α=10，β=16，h(x)是一個分段線性函數(shù).

構(gòu)造一個連續(xù)非線性函數(shù)替代原有的分段線性函數(shù)產(chǎn)生多渦卷吸引子，設(shè)計系統(tǒng)的非線性函數(shù)h(x)為

以上非線性函數(shù)h(x)是由線性的kx和非線性tanh(x)組合而成.因tanh(x)是連續(xù)的，連續(xù)函數(shù)相加減還是連續(xù)的，所以函數(shù)h(x)是連續(xù)的.k是線性項kx的斜率，p是非線性項的平移因子，可以控制產(chǎn)生渦卷的大小，p越大，吸引子范圍越大.參數(shù)n的選取對非線性函數(shù)有較大的影響，n越大，tanh(nx)在各點(diǎn)的斜率越大，當(dāng)n趨于無窮大時，tanh(nx)無限逼近符號函數(shù).這里連續(xù)非線性函數(shù)是多渦卷混沌系統(tǒng)中產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子的關(guān)鍵所在，tanh(x)函數(shù)波形如圖1所示，當(dāng)k=0.3，p=0.5，n=20時，以能產(chǎn)生六個渦卷為例，h(x)的波形如圖2所示.

圖1 tanh(x)函數(shù)波形Fig.1 Wave of tanh(x)

圖2 非線性連續(xù)函數(shù)波形Fig.2 Wave of continuous nonlinear function

下面分析系統(tǒng)的平衡點(diǎn)特性，令式(1)左邊等于零，得到平衡點(diǎn)方程組為h(x)=0，x+z=0，y=0.以兩渦卷為例，則有x-0.5tanh(nx)=0，用一元不動點(diǎn)迭代法可求得x1=0.125，x2=-0.125，x3=0.系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的Jacobian矩陣為

其中i=1，2，3.由此可得平衡點(diǎn)x1的3個特征值分別為-3.6228，0.2103±3.1116i.x2的3個特征值分別為-3.6228，0.2103±3.1116i.x3的3個特征值分別為27.3457，-0.6728±3.9173i.可見x1、x2平衡點(diǎn)為指標(biāo)2的鞍焦點(diǎn)，可以形成渦卷，而x3平衡點(diǎn)為指標(biāo)1的鞍焦點(diǎn)可以形成鍵帶，通過鍵帶將兩個渦卷連接在一起，從而形成兩渦卷吸引子.

1.2 單方向多渦卷混沌吸引子的數(shù)值仿真

取k=0.3，p=0.5，n=20，初始值為(0.3，0.1，0)，在Matlab中利用龍格-庫塔法進(jìn)行數(shù)值仿真，渦卷數(shù)目越多，呈現(xiàn)出完整吸引子的仿真時間越長，得單方向多渦卷吸引子相圖如圖3所示.

圖3 單方向多渦卷吸引子相圖(a)兩渦卷(b)三渦卷(c)四渦卷(d)五渦卷(e)六渦卷(f)七渦卷Fig.3 Phase phase diagram of single direction multi-scroll attractors(a)two-scroll(b)three-scroll(c)four-scroll(d)five-scroll(e)six-scroll(f)seven-scroll

由圖可知，利用連續(xù)的非線性函數(shù)可得到多渦卷混沌吸引子，并且系統(tǒng)是在x方向產(chǎn)生多渦卷吸引子，平衡點(diǎn)的分布位置是由連續(xù)非線性項所確定，得到吸引子清晰，大小一致，處于同一水平位置，y的取值范圍一致，有利于電路實(shí)現(xiàn)，因?yàn)槿裘總€吸引子的y范圍太大，當(dāng)渦卷數(shù)目太多時，會導(dǎo)致有些渦卷的y值會超出元器件的取值范圍，不利于電路實(shí)現(xiàn).

1.3 單方向多渦卷混沌吸引子的性能分析

這里以四渦卷吸引子為例，分析當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化時，系統(tǒng)的動力學(xué)特性.設(shè)p=0.5、n=20，參數(shù)k在［0，1］內(nèi)變化，仿真步長為0.002，得到四渦卷吸引子隨參數(shù)k變化的分岔圖如圖4所示.可見，縱坐標(biāo)分為四個區(qū)域，這與四渦卷吸引子相圖相對應(yīng);系統(tǒng)k參數(shù)在較大范圍內(nèi)處于混沌狀態(tài)，對于保密通信應(yīng)用而言，相應(yīng)密鑰范圍空間大，可提高保密系統(tǒng)抗窮舉攻擊的能力.計算四渦卷吸引子關(guān)于參數(shù)k的最大Lyapunov指數(shù)曲線如圖5所示，可見，最大Lyapunov指數(shù)在［0.072，0.826］范圍內(nèi)是正的，結(jié)果與圖4所示的分岔圖顯示的范圍相一致.此外，從圖中可知，對于k參數(shù)而言，當(dāng)k取0.3時吸引子大小和系統(tǒng)復(fù)雜性都比較合適.

圖4 四渦卷吸引子關(guān)于參數(shù)k的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram about k of four-scroll attractors

設(shè)k=0.3，n=20，參數(shù)p在［0.2，10］范圍內(nèi)變化，且仿真步長為0.002，四渦卷吸引子的關(guān)于參數(shù)p的分岔圖如圖6所示，可見參數(shù)p在該區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)是混沌的，p取0.5是正確的，而且隨著參數(shù)p的增大，分岔圖呈現(xiàn)持續(xù)增長的趨勢，說明吸引子隨p參數(shù)增加而變大，可見通過改變p的大小能夠控制渦卷的大小，這對多渦卷混沌系統(tǒng)的應(yīng)用具有實(shí)際意義.同樣，計算四渦卷吸引子關(guān)于參數(shù)p的最大Lyapunov指數(shù)如圖7所示.可見，系統(tǒng)在［0.2，10］范圍內(nèi)最大Lyapunov指數(shù)為正，表明系統(tǒng)在該范圍內(nèi)處于混沌狀態(tài)，與分岔圖6相一致，盡管在p=2.79附近，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)出現(xiàn)極小值，但其值仍然為正，所以此時附近系統(tǒng)也是處于混沌狀態(tài).

圖5 系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)隨參數(shù)k變化的波形Fig.5 Largest Lyapunov exponent about k of system

圖6 四渦卷吸引子關(guān)于參數(shù)p的分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram about p of four-scroll attractors

圖7 最大Lyapunov指數(shù)隨參數(shù)p變化的波形Fig.7 Largest Lyapunov exponent about p of system

設(shè)k=0.3，p=0.5，參數(shù)n在［3，25］范圍內(nèi)變化，且仿真步長為0.005，四渦卷吸引子的關(guān)于參數(shù)n的分岔圖如圖8所示，為了能夠清楚的觀察其分岔行為，將區(qū)間［3，5］放大可得圖9，可見系統(tǒng)是以倍周期分岔方式進(jìn)入混沌.同樣，計算四渦卷吸引子關(guān)于參數(shù)n的最大Lyapunov指數(shù)如圖10所示.可見，系統(tǒng)在［3.66，25］范圍內(nèi)最大Lyapunov指數(shù)為正，表明系統(tǒng)在該范圍內(nèi)處于混沌狀態(tài)，與分岔圖8相一致.而且隨著參數(shù)n的變化，系統(tǒng)可呈現(xiàn)極限環(huán)、周期、混沌等動力學(xué)狀態(tài)，如圖11示.

圖8 四渦卷吸引子關(guān)于參數(shù)n的分岔圖Fig.8 Bifurcation diagram about n of four-scroll

圖9 區(qū)間放大后的分岔圖Fig.9 Bifurcation diagram of region expinson

圖10 最大Lyapunov指數(shù)隨參數(shù)n變化的波形Fig.10 The largest Lyapunov exponent about n

為了更好地驗(yàn)證系統(tǒng)的混沌特性，計算y=0.01為截面的四渦卷混沌吸引子的Poincaré截面如圖12示，截面上是一些成片的密集點(diǎn)，說明系統(tǒng)是混沌的，并且主要密集地分布在四條并行的線上，說明系統(tǒng)處于四渦卷混沌吸引子狀態(tài)，截面上分散的點(diǎn)，說明渦卷之間通過鍵帶連接.

圖11 參數(shù)n變化時的吸引子相圖Fig.11 Phase diagrams with different n

圖12 四渦卷混沌吸引子的Poincaré截面圖Fig.12 Poincarésection of four-scroll chaotic attractor

2 基于Chua系統(tǒng)的網(wǎng)格多渦卷吸引子的建模與仿真

2.1 網(wǎng)格多渦卷吸引子的建模

網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子在不同的方向上同時產(chǎn)生多渦卷，具有更為復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).為了設(shè)計網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子，在y方向上引入一個非線性項，其微分方程為

式中，α=10，β=16，h(x)控制x方向的渦卷數(shù)目，f(y)控制y方向渦卷的數(shù)目.

以上函數(shù)中，k是線性項kx的斜率，p是非線性項的平移因子，能夠控制產(chǎn)生渦卷的大小，p越大，吸引子范圍越大，q為比例因子，控制y方向平衡點(diǎn)的位置.設(shè)k=0.5，p=0.25，q=0.25，n=20，以5×4網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子的平衡點(diǎn)為例，可得x-y相平面上鞍焦點(diǎn)分布如圖13所示，圖中符號“○”表示平衡點(diǎn)為指標(biāo)2的鞍焦點(diǎn)，可產(chǎn)生渦卷.

圖13 5×4網(wǎng)格多渦卷吸引子的鞍焦點(diǎn)分布Fig.13 Saddle-focus distribution of grid 5×4 multi-scroll attractor

2.2 網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子的數(shù)值仿真

取k=0.5，p=0.25，q=0.25，n=20，取初始值為(0.3，0.1，0)，采用龍格庫塔法進(jìn)行數(shù)值計算，得到的吸引子相圖如圖14所示.

圖14 Chua網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子(a)2×2多渦卷(b)2×3多渦卷(c)3×3多渦卷(d)3×5多渦卷(e)5×4多渦卷(f)6×5多渦卷Fig.14 Saddle-focus distribution of grid 5×4 multi-scroll attractor(a)2×2multi-scroll(b)2×3 multi-scroll(c)3×3 multi-scroll(d)3×5 multi-scroll(e)5×4 multi-scroll(f)6×5 multi-scroll

由圖可知，利用連續(xù)的非線性函數(shù)能夠得到網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子，平衡點(diǎn)的分布位置是由連續(xù)非線性項所確定，得到的吸引子清晰，大小一致，而且通過改變非線性函數(shù)可以得到任意數(shù)目的多渦卷混沌吸引子.

2.3 網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子的性能分析

以2×2網(wǎng)格多渦卷吸引子為例，分析系統(tǒng)參數(shù)變化時，系統(tǒng)的動力學(xué)特性，仿真步長均為0.002.1)設(shè)p=0.25，q=0.25，n=20，參數(shù)k在［0，2］內(nèi)變化，計算2×2網(wǎng)格多渦卷吸引子關(guān)于參數(shù)k的最大Lyapunov指數(shù)曲線如圖15(a)所示.可見，最大Lyapunov指數(shù)在［0.146，1.736］范圍內(nèi)是正的，表明該范圍內(nèi)系統(tǒng)處于混沌態(tài).2)設(shè)k=0.5，q=0.25，n=20，參數(shù)p變化，且p∈［0，4］，計算2×2網(wǎng)格多渦卷吸引子關(guān)于參數(shù)p的最大Lyapunov指數(shù)曲線如圖15(b)所示.可見，最大Lyapunov指數(shù)在［0，0.644］和［2.262，4］范圍內(nèi)是正的，表明在該范圍內(nèi)系統(tǒng)處于混沌態(tài)，但在區(qū)間［0.664，2.262］存在周期態(tài)窗口.3)k=0.3，p=0.25，n=20，參數(shù)q變化，且q∈［0，2］，計算2×2網(wǎng)格多渦卷吸引子關(guān)于參數(shù)q的最大Lyapunov指數(shù)曲線如圖15(c)所示，可見，最大Lyapunov指數(shù)在［0，0.51］和［0.766，0.95］范圍內(nèi)都是正的，表明在該范圍內(nèi)系統(tǒng)處于混沌態(tài)，且在區(qū)間［0.51，0.766］和［0.95，2］存在周期態(tài)窗口.4)設(shè)k=0.5，p=0.25，q=0.25，參數(shù)n在［0，25］內(nèi)變化，計算2×2網(wǎng)格多渦卷吸引子關(guān)于參數(shù)n的最大Lyapunov指數(shù)曲線如圖15(d)所示.可見，最大Lyapunov指數(shù)在［0，25］范圍內(nèi)是正的，表明在該范圍內(nèi)系統(tǒng)處于混沌態(tài).

圖15 2×2多渦卷系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)Fig.15 Largest Lyapunov exponent of 2×2 multi-scroll system(a)parameter of k(b)parameter of p(c)parameter of q(d)parameter of n

為了更好地驗(yàn)證系統(tǒng)的混沌特性，計算z=-0.5為截面的2×2網(wǎng)格多渦卷吸引子Poincaré截面圖如圖16所示，截面上是一些成片的密集點(diǎn)，表明系統(tǒng)是混沌的，并且主要密集地分布在四塊區(qū)域，說明系統(tǒng)是處于2×2網(wǎng)格多渦卷吸引子的狀態(tài).

圖16 2×2多渦卷混沌吸引子的Poincaré截面圖Fig.16 Poincarésection of 2×2 multi-scroll chaotic attractor

3 結(jié)論

本文研究了基于連續(xù)非線性函數(shù)的Chua系統(tǒng)多渦卷混沌系統(tǒng)的建模、仿真與動力學(xué)特性問題，通過構(gòu)造連續(xù)的非線性函數(shù)，在Chua系統(tǒng)中得到了單方向與網(wǎng)格的多渦卷混沌吸引子，得到的多渦卷混沌吸引子相圖清晰、渦卷大小相同.討論了系統(tǒng)參數(shù)對多渦卷吸引子及其性能的影響，為正確選取系統(tǒng)參數(shù)提供了實(shí)驗(yàn)依據(jù).研究表明，基于連續(xù)非線性函數(shù)的Chua多渦卷吸引子具有豐富的動力學(xué)特性，多渦卷混沌系統(tǒng)的理論分析和數(shù)值分析得到的結(jié)果相一致，說明多渦卷混沌吸引子設(shè)計方法可行.下一步將研究多渦卷吸引子的電路實(shí)現(xiàn)及其應(yīng)用.

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