聞新　李新　王爾申

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué)航空航天工程學(xué)部,沈陽(yáng) 110136)

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單隱含層模糊遞歸小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的觀測(cè)器設(shè)計(jì)

聞新李新王爾申

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué)航空航天工程學(xué)部,沈陽(yáng) 110136)

摘要根據(jù)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在非線性函數(shù)逼近方面的特性和小波變換具有良好的時(shí)頻兩維信號(hào)的分析能力,建立了結(jié)合兩者優(yōu)點(diǎn)的單隱含層模糊遞歸小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Single hidden Layer Fuzzy Recurrent Wavelet Neural Network, SLFRWNN),并分析了SLFRWNN的結(jié)構(gòu)、激活函數(shù)形式及激活函數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)性能的影響.在此基礎(chǔ)上,提出了一種基于SLFRWNN的自適應(yīng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法,并通過(guò)引入Lyapunov函數(shù),證明了這種觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法的穩(wěn)定性,進(jìn)而給出該網(wǎng)絡(luò)觀測(cè)器的初始化和最佳訓(xùn)練算法;仿真結(jié)果表明SLFRWNN觀測(cè)器能很好地觀測(cè)系統(tǒng)的狀態(tài).

關(guān)鍵詞模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);自適應(yīng)觀測(cè)器;非線性系統(tǒng);仿真

資助項(xiàng)目: 國(guó)家自然科學(xué)基金(基金號(hào)：61571309,61101161)

聯(lián)系人： 聞新 E-mail: wen_xin2004@126.com

引言

在復(fù)雜的系統(tǒng)工程中,系統(tǒng)存在諸多不確定因素和難以描述的非線性特性,為了解決這些問(wèn)題,各種各樣的觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法不斷涌現(xiàn),神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在處理非線性問(wèn)題方面具有較強(qiáng)優(yōu)勢(shì)[1],所以利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ)的狀態(tài)觀測(cè)器得到了迅速發(fā)展.相比傳統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)觀測(cè)器具有較強(qiáng)的自適應(yīng)性.

狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題是由測(cè)得的輸出量和整個(gè)狀態(tài)變量不一致引起的[2].狀態(tài)觀測(cè)器通常是重構(gòu)一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài),并在反饋控制、系統(tǒng)監(jiān)控、故障檢測(cè)和故障診斷等方面有著非常重要的應(yīng)用.非線性系統(tǒng)的觀測(cè)器設(shè)計(jì)已在過(guò)去幾十年得到了廣泛的應(yīng)用[3],如張正強(qiáng)等[4]對(duì)具有未建模動(dòng)態(tài)、未知參數(shù)、外部干擾的一類多輸入多輸出非線性系統(tǒng)構(gòu)造了觀測(cè)器,Musavi 等[5]利用低成本的微型電子機(jī)械系統(tǒng)(Micro-Electro-Mechanical System, MEMS)傳感器設(shè)計(jì)了自適應(yīng)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)觀測(cè)器應(yīng)用于GPS系統(tǒng),為了解決諸如系統(tǒng)模型不確定、多重時(shí)間延遲狀態(tài)的不確定性和外部干擾等問(wèn)題，文雄宇等[6]利用自適應(yīng)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)觀測(cè)器的跟蹤控制方案對(duì)機(jī)器人的運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)行了全面的分析.賈鶴鳴等[7]使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)了一種吊重防搖晃的控制系統(tǒng).但在設(shè)計(jì)或構(gòu)造神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)觀測(cè)器時(shí),必須遵守一些限定性條件,如要求非線性系統(tǒng)的狀態(tài)完全可觀等,因此對(duì)于復(fù)雜的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的觀測(cè)器設(shè)計(jì)面臨許多復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題.因?yàn)樯窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)在學(xué)習(xí)過(guò)程中存在收斂速率慢等問(wèn)題,所以用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)非線性系統(tǒng)觀測(cè)器的研究還有待進(jìn)一步完善[8-14].

單隱含層模糊遞歸小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Single hidden Layer Fuzzy Recurrent Wavelet Neural Netnork, SLFRWNN)具有較強(qiáng)的泛化能力,因此它能夠以較高的精度實(shí)現(xiàn)函數(shù)逼近和系統(tǒng)辨識(shí).本文提出了一種基于SLFRWNN的自適應(yīng)狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法,并應(yīng)用于非線性系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證.

1單隱含層模糊遞歸小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

具有5層神經(jīng)元的SLFRWNN其模型如圖1所示,其中隱含層使用小波函數(shù)作為激活函數(shù).隱含層神經(jīng)元是一種記憶單元,它存儲(chǔ)了隱含層神經(jīng)元上一步的輸出,下個(gè)時(shí)間步時(shí)便把記憶的輸出乘以一個(gè)反饋增益后再輸入到隱含層.正是這種遞歸記憶的特性,才使該網(wǎng)絡(luò)具有動(dòng)態(tài)逼近非線性的性能.

圖1　單隱含層模糊遞歸小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

圖1中,網(wǎng)絡(luò)第二層的輸入隸屬度函數(shù)μAIJ(xi)和每個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出通過(guò)式(1)計(jì)算:

? i=1∶Nin; j=1∶Nr.

(1)

式中: cij表示隸屬度函數(shù)中心; σij表示隸屬度函數(shù)寬度.

第三層的每個(gè)節(jié)點(diǎn)表示模糊規(guī)則R,其輸出用式(2)表示

j=1∶Nrand0<μj≤1.

(2)

第四層是網(wǎng)絡(luò)的單隱含層,其小波函數(shù)作為激活函數(shù)見(jiàn)表1所示.

1) 高斯小波函數(shù)具有全局映射泛化能力,而且在細(xì)化局部方面也有效果,已有多種類型網(wǎng)絡(luò)使用該函數(shù)作為激活函數(shù),網(wǎng)絡(luò)收斂速度不僅快,還能避免過(guò)擬合現(xiàn)象.

2) 墨西哥草帽函數(shù)是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù),它沒(méi)有尺度函數(shù)及不具正交性,但它具有對(duì)稱性和指數(shù)衰減性,時(shí)頻域具有良好的局部化能力.該函數(shù)作為網(wǎng)絡(luò)激活函數(shù)時(shí),網(wǎng)絡(luò)收斂較快,但無(wú)法避免陷入局部極小值的缺點(diǎn).

3)Morlet小波函數(shù)是一種復(fù)值小波函數(shù),尺度函數(shù)不存在且不具有正交性,該函數(shù)作為網(wǎng)絡(luò)激活函數(shù)時(shí),網(wǎng)絡(luò)收斂較前兩者慢,但模型過(guò)低的自由度會(huì)導(dǎo)致欠擬合現(xiàn)象.

表1　小波函數(shù)

選擇高斯小波函數(shù)作為激活函數(shù),則第四層的每個(gè)小波φij為

φijφij(zij(k))=(μij(k)-tij(k))/dij(k),

?i=1∶Nin, j=1∶Nr.

(3)

在離散時(shí)間k時(shí),

μij(k)=xi(k)+φij(k-1)·θij(k),

i=1∶Nin, j=1∶Nr.

(4)

式中: tij和dij分別表示小波平移系數(shù)和伸縮系數(shù); θij為反饋增益,類似于存儲(chǔ)系數(shù).

則第四層的子小波函數(shù)計(jì)算為

? j=1∶Nr.

(5)

相應(yīng)的輸出為

υj(k)=wj·Ψj, j=1∶Nr.

(6)

第四層與第三層的節(jié)點(diǎn)輸出相乘,結(jié)果為

(7)

式中:

(8)

第五層為網(wǎng)絡(luò)的輸出層,其輸出為

(9)

2基于SLFRWNN的自適應(yīng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

2.1　觀測(cè)器設(shè)計(jì)

考慮如下非線性系統(tǒng):

(10)

式中: x(t)∈Rn為狀態(tài)變量; u(t)∈Rq為輸入變量;f(x(t),u(t))為非線性函數(shù)向量; A∈Rn×n為定常矩陣;在輸出方程中y(t)∈Rm為輸出變量; C∈Rm×m為定常矩陣; (A, C)是可觀測(cè)的矩陣對(duì).

針對(duì)式(10)的非線性系統(tǒng),構(gòu)造圖2所示的SLFRWNN觀測(cè)器模型.

圖2　基于SLFRWNN的狀態(tài)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)圖

式(10)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器描述為

(11)

式中: G為觀測(cè)器的增益矩陣,滿足M=A-GC為漸進(jìn)穩(wěn)定的Hurwitz矩陣.

假設(shè)SLFRWNN的輸入輸出之間的關(guān)系為y(t)=WTg(x(t)),給定逼近誤差ε(x(t)),根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有逼近任意非線性系統(tǒng)的性能,則存在εi(x(t))∈ε(x(t))>0使得SLFRWNN能夠逼近非線性函數(shù)f(x(t),u(t)),表示如下:

ζ(x(t))=Wg(x(t))+εi(x(t)).

(12)

式中:f(·)是使用高斯小波函數(shù)作為激活函數(shù); W為隱含層的權(quán)值矩陣,滿足‖εi(x(t))‖≤εN,εN是它的邊界函數(shù),并由隱含層神經(jīng)元決定.在這里假設(shè)權(quán)值矩陣W有界,且有‖W‖F(xiàn)≤WM.

根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近性能,利用f(x(t),u(t))來(lái)替代ζ(x(t)),式(12)變?yōu)?/p>

f(x(t),u(t))=Wg(x(t),u(t))+

εi(x(t)).

(13)

因此,網(wǎng)絡(luò)函數(shù)估計(jì)為

(14)

將式(14)帶入式(11)得

(15)

定義狀態(tài)誤差e(t)和輸出誤差ey(t)為

(16)

由式(10)、(15)、(16)可得誤差動(dòng)態(tài)方程為

(17)

2.2　穩(wěn)定性分析

在一定的條件下定義一個(gè)合適的學(xué)習(xí)規(guī)則,能更好地訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),這就需要保障觀測(cè)器的穩(wěn)定性.要使觀測(cè)器保持穩(wěn)定性,一般采用權(quán)值校正準(zhǔn)則,并引入Lyapunov函數(shù)證明權(quán)值誤差的有界性.為了更簡(jiǎn)潔地證明本文所設(shè)觀測(cè)器的穩(wěn)定性,將式(17)進(jìn)行如下簡(jiǎn)化

(18)

式中:

根據(jù)文獻(xiàn)[15]對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值進(jìn)行修正，有

(19)

將式(18)進(jìn)行求解得

(20)

則

(21)

將式(20)和式(21)代入式(19)得到修正后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值為

(22)

(23)

引入正定的Lyapunov函數(shù)[16]為

(24)

式中: P=PT>0為正定矩陣,且對(duì)任意正定矩陣Q滿足

MTP+MPT=-Q.

(25)

將式(24)求導(dǎo)可得

(26)

將式(18)、(23)、(25)代入式(26)得

(27)

(28)

根據(jù)下列不等式組

(29)

可得

‖δ‖+ρ‖Ce(t)‖·(WM‖eW‖-

‖eW‖2).

(30)

式中:λmin(Q)為矩陣Q的最小特征值;WM=sup(W);gM=sup(g).進(jìn)一步整理得

‖eW‖(gM‖δ‖+ρWM‖C‖)].

(31)

(32)

此外,為了表示權(quán)值誤差的界限,式(23)可表示為

ρ‖ey(t)‖W-ρ‖ey(t)‖eW.

(33)

2.3　基于SLFRWNN觀測(cè)器的初始化

由于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的收斂速度取決于初始值的選擇,使用GA對(duì)SLFRWNN進(jìn)行初始化.假設(shè)有Ns個(gè)樣本(x(1),x(2),…，x(k),…，x(Ns)),時(shí)間為0到t.SLFRWNN初始化就是基于期望值和網(wǎng)絡(luò)輸出值之間誤差的最小化.設(shè)yd(k)為期望輸出,yq(k)為實(shí)際輸出,因此,在樣本為k時(shí),第q個(gè)核函數(shù)計(jì)算為

(34)

式中

?i=1∶Nin,j=1∶Nr，

(35)

(36)

用向量表示為

?i=1∶Nin,j=1∶Nr.

(37)

式中:

在種群中,用GA在解空間中進(jìn)行全局搜索,則相應(yīng)最小適應(yīng)度函數(shù)值的最優(yōu)解取決于網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的初始值[17].

2.4　基于SLFRWNN觀測(cè)器的最佳訓(xùn)練算法

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的過(guò)程中,模糊準(zhǔn)則后件的所有參數(shù)需要進(jìn)行自動(dòng)調(diào)整,本文使用反向傳播算法對(duì)后件參數(shù)進(jìn)行調(diào)整.令yd(k)和y(k)分別為網(wǎng)絡(luò)在離散時(shí)間k時(shí)的期望輸出和實(shí)際輸出,則k時(shí)刻的網(wǎng)絡(luò)誤差為

e(k)=yd(k)-y(k).

(38)

取代價(jià)函數(shù)

(39)

設(shè)網(wǎng)絡(luò)從時(shí)間步1工作到時(shí)間步Nr,則每個(gè)周期的總誤差函數(shù)為

(40)

后件參數(shù)wj、tij、dij和θij使用式(41)～(44)進(jìn)行調(diào)整:

(41)

(42)

(43)

(44)

式中:γ=[γw,γt,γd,γθ]表示學(xué)習(xí)速率,即0<γ<1.式(41)～(44)的偏導(dǎo)數(shù)值為

=(y(k)-yd(k))·

(45)

(46)

(47)

(48)

式(36)和式(45)～(48)均使用高斯小波函數(shù)作為小波母函數(shù).

3系統(tǒng)仿真

考慮如下非線性系統(tǒng),狀態(tài)方程如式(10),其對(duì)應(yīng)參數(shù)值如下：

圖3　x1的狀態(tài)估計(jì)曲線以及估計(jì)誤差

圖4　x2的狀態(tài)估計(jì)曲線以及估計(jì)誤差

由圖3和圖4的仿真曲線可以看出,SLFRWNN自適應(yīng)觀測(cè)器對(duì)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量具有很好的跟蹤能力.圖4在開(kāi)始階段的逼近效果不是很好,這主要是由于狀態(tài)變量進(jìn)行初始化時(shí),初始值的選取是按照經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行選取,從而造成開(kāi)始階段的估計(jì)誤差相對(duì)較大.圖4中狀態(tài)誤差有微小的波動(dòng),主要是由狀態(tài)變量存在輕微的震蕩引起的,震蕩周期大約為1ms.從圖5可以看出,在剛開(kāi)始階段,SLFRWNN的跟蹤估計(jì)誤差相對(duì)較大,但隨著時(shí)間的推移,誤差值越來(lái)越小,其SLFRWNN平均估計(jì)誤差為0.041,這歸結(jié)為高斯函數(shù)作用的結(jié)果.圖3和圖4的仿真結(jié)果最終表明,該自適應(yīng)觀測(cè)器可以克服微小的波動(dòng),從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)的快速跟蹤.

圖5　輸出y的相對(duì)誤差

4結(jié)論

本文建立了5層單隱含層模糊遞歸小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),該網(wǎng)絡(luò)后件具有較少的神經(jīng)元,并能有效地跟蹤快速變化的過(guò)程,并在此基礎(chǔ)上使用該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)了一種新的自適應(yīng)觀測(cè)器.仿真結(jié)果表明,該自適應(yīng)觀測(cè)器能夠快速有效的跟蹤狀態(tài)參數(shù)的變化,并對(duì)非線性動(dòng)態(tài)神經(jīng)系統(tǒng)具有很好的自適應(yīng)逼近能力.但是,由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自身的缺陷,如網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時(shí)間長(zhǎng)、迭代次數(shù)多、優(yōu)化的參數(shù)多等,這些問(wèn)題有待于進(jìn)一步的完善.

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聞新(1961-),男,遼寧人,沈陽(yáng)航空航天大學(xué)博士生導(dǎo)師,南京航空航天大學(xué)航天控制系主任,主要研究的方向?yàn)楹教炱骺傮w設(shè)計(jì)與故障診斷．

李新 (1988-),男,江蘇人,沈陽(yáng)航空航天大學(xué)航空航天工程學(xué)部碩士研究生,主要研究方向?yàn)橹悄軝z測(cè)與診斷及航天器故障診斷技術(shù)．

王爾申(1980-),男,遼寧人,博士,副教授,在站博士后,主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星導(dǎo)航、智能信號(hào)處理．

張忠祥, 孔勐, 陳明生, 等. 一種計(jì)算復(fù)雜天線散射截面的新型快速方法[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào),2015,30(6):1205-1210. doi: 10.13443/j.cjors. 2014103003

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Observer design for the single hidden layer fuzzy

recurrent wavelet neural network

WEN XinLI XinWANG Ershen

(FacultyofAerospaceEngineering,ShenyangAerospaceUniversity,Shenyang110136,China)

AbstractThe fuzzy neural network has good nonlinear function approximation properties, and wavelet transform has good time-frequency signal analysis capabilities. The single hidden layer fuzzy recurrent wavelet neural network (SLFRWNN) is developed by combining with the advantages of both in this paper. The structure of networks, the form of its activation functions and its influence on SLFRWNN are analyzed. Then a design method of adaptive observer based on the single hidden layer recurrent fuzzy wavelet neural network is proposed. The Lyapunov function is introduced to prove the stability of this observer design method. And the network observer of initialization and the optimal learning algorithm is given. The final simulation results show that the single hidden layer neural fuzzy recurrent wavelet network observer can easily observe the state of the system.

Key wordsfuzzy neural networks; adaptive observer; nonlinear systems; simulation

作者簡(jiǎn)介

收稿日期：2014-10-14

中圖分類號(hào)TP183

文獻(xiàn)標(biāo)志碼A

文章編號(hào)1005-0388(2015)06-1197-08