韓東穎,時(shí)培明,趙東偉
(1.燕山大學(xué)車(chē)輛與能源學(xué)院,河北秦皇島 066004;2.燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院,河北秦皇島 066004)
非線性軋機(jī)機(jī)電系統(tǒng)電機(jī)速度魯棒非脆弱控制
韓東穎1,時(shí)培明2,趙東偉2
(1.燕山大學(xué)車(chē)輛與能源學(xué)院,河北秦皇島 066004;2.燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院,河北秦皇島 066004)
針對(duì)軋機(jī)機(jī)電系統(tǒng)電機(jī)速度魯棒跟蹤非脆弱控制問(wèn)題,建立了含非線性、不確定性、負(fù)載轉(zhuǎn)矩軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。將系統(tǒng)的非線性按參數(shù)不確定性處理,通過(guò)H∞理論、Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式(linear maxtrix inequality,LMI)方法得到了通過(guò)狀態(tài)反饋使得系統(tǒng)滿足二次穩(wěn)定、抑制外界干擾的充分條件。為了實(shí)現(xiàn)給定速度信號(hào)跟蹤非脆弱控制,設(shè)計(jì)了前饋補(bǔ)償器。結(jié)果表明所設(shè)計(jì)控制器的非脆弱性表現(xiàn)為控制器參數(shù)的魯棒性,即可以通過(guò)控制器參數(shù)的直接選取達(dá)到非脆弱控制效果,能夠?qū)崿F(xiàn)電機(jī)速度魯棒跟蹤非脆弱控制及對(duì)外界干擾的抑制。實(shí)例仿真驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性。
軋機(jī);機(jī)電系統(tǒng);非線性;魯棒;非脆弱
軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)是軋制設(shè)備中的關(guān)鍵部分,其作用是將電機(jī)產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)力矩傳遞給軋輥,實(shí)現(xiàn)軋制生產(chǎn),因此電機(jī)速度平穩(wěn)性直接影響傳動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)定性和產(chǎn)品質(zhì)量[1-2]。軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)模型參數(shù)具有不確定性,同時(shí)存在軋制擾動(dòng)影響,軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)經(jīng)常發(fā)生振動(dòng)現(xiàn)象,其控制問(wèn)題受到廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[3-5]運(yùn)用H∞理論在該領(lǐng)域進(jìn)行了初步探索,文獻(xiàn)[3]針對(duì)軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)線性模型,基于H∞理論在傳統(tǒng)PI控制基礎(chǔ)上,從混合靈敏度角度設(shè)計(jì)了抑制電機(jī)速度振蕩補(bǔ)償器,抑制了外界干擾對(duì)電機(jī)速度、電機(jī)轉(zhuǎn)矩、軸力矩的影響,但模型中僅考慮了標(biāo)稱(chēng)值情形;文獻(xiàn)[4]建立了基于模型匹配的軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)模型,通過(guò)LMI(linear maxtrix inequality)方法有效改善了軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的跟蹤性能,但未考慮模型的參數(shù)不確定性;在直流電機(jī)無(wú)補(bǔ)償繞組或補(bǔ)償繞組不能完全抵消電樞反應(yīng)引起的非線性情形下,文獻(xiàn)[5]考慮了該非線性及參數(shù)不確定性,將非線性項(xiàng)視為結(jié)構(gòu)不確定性,在文獻(xiàn)[6]基礎(chǔ)上,通過(guò)求解Riccati不等式得到狀態(tài)反饋控制器,并設(shè)計(jì)了前饋補(bǔ)償器,較好地實(shí)現(xiàn)了電機(jī)速度跟蹤魯棒控制。文獻(xiàn)[7]采用LMIs的形式給出了非脆弱魯棒H∞控制的充分條件,并利用永磁同步電機(jī)混沌系統(tǒng)驗(yàn)證了控制方法的有效性。文獻(xiàn)[8]研究了星間光通信終端粗瞄系統(tǒng)魯棒非脆弱H∞控制問(wèn)題,通過(guò)設(shè)計(jì)非脆弱狀態(tài)反饋粗瞄控制器,具有魯棒穩(wěn)定性,對(duì)干擾有抑制力,其反饋控制量能滿足設(shè)計(jì)要求。
本文建立了軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)模型,考慮電樞反應(yīng)引起的非線性,參數(shù)不確定性,控制器的非脆弱性及外界干擾,將非線性處理為參數(shù)不確定性,基于H∞理論、Lyapunov穩(wěn)定性理論及LMI方法,研究了軋機(jī)機(jī)電系統(tǒng)中直流電機(jī)速度跟蹤非脆弱控制問(wèn)題,得到了系統(tǒng)非脆弱狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件,并由文獻(xiàn)[6]方法設(shè)計(jì)了前饋補(bǔ)償器。取得了較好的跟蹤控制效果。實(shí)例仿真過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)未考慮控制器攝動(dòng)時(shí),控制器自身帶有一定魯棒性,通過(guò)進(jìn)一步給出的簡(jiǎn)化定理和控制器參數(shù)靈活選取,即可實(shí)現(xiàn)電機(jī)速度跟蹤非脆弱控制,并通過(guò)實(shí)例仿真驗(yàn)證了有效性。
軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖1中,U為a、b兩端點(diǎn)間電機(jī)電樞輸入電壓,R為電樞繞組的電阻,L為電樞繞組的電感,i為流過(guò)電樞繞組的電流,T0表示電機(jī)轉(zhuǎn)矩,ω表示電機(jī)轉(zhuǎn)速,J表示電機(jī)及軋輥折合到電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,f為電機(jī)及負(fù)載折合到電機(jī)軸上的粘滯系數(shù),T為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。
圖1 軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)模型Fig.1The model of rolling mill mechanical and electrical transform system
由基爾霍夫定律、電磁感應(yīng)定律、牛頓第二定律建立軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)模型為
式中:kU為電機(jī)電勢(shì)系數(shù);T0=kTi,kT為電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)。
由文獻(xiàn)[9-10],知kT=CT+Bi,CT為無(wú)負(fù)載時(shí)電機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù),B為一個(gè)較小的負(fù)數(shù);由文獻(xiàn)[11],知將相關(guān)表達(dá)式代入式(1),整理得模型形式為
選擇電流和轉(zhuǎn)速為狀態(tài)變量,則式(2)的矩陣形式為
令狀態(tài)變量x=[iω]T,控制輸入u=U,式(3)中常量T可通過(guò)控制輸入進(jìn)行前饋補(bǔ)償,暫時(shí)可忽略其影響,即令T=0;由于項(xiàng)中,分子很小,分母很大,為使算法簡(jiǎn)單令該項(xiàng)為零。記A=,考慮系統(tǒng)矩陣A的參數(shù)攝動(dòng)矩陣ΔA,考慮外界干擾w對(duì)負(fù)載的影響,則式(3)可以表示成簡(jiǎn)化形式為
假設(shè)參數(shù)不確定性矩陣ΔA=EΣ(t)F,E∈Rn×s、F∈Rs×n為已知常數(shù)陣,s為矩陣A中發(fā)生攝動(dòng)元素的個(gè)數(shù),Σ(t)∈Rs×s為L(zhǎng)ebesgue可測(cè)未知函數(shù)矩陣,滿足ΣT(t)Σ(t)≤I,?t。
定義干擾抑制指標(biāo)為
其中,評(píng)價(jià)信號(hào)z(t)=Cx(t)+Du(t),C、D用來(lái)調(diào)節(jié)干擾抑制效果和控制輸入信號(hào)過(guò)大的矛盾,滿足CTD=0。
對(duì)于LMI方法中常用的矩陣不等式關(guān)系,文獻(xiàn)[12]給出了引理1、2、3。
引理1假設(shè)U、V是具有適當(dāng)維數(shù)的向量或矩陣,則對(duì)任意正數(shù)α?0,下述不等式成立
引理2假設(shè)U、V、Σ(t)為適宜維數(shù)矩陣,且ΣT(t)Σ(t)≤I,則對(duì)任意正數(shù)β?0,下述不等式成立
引理3假設(shè)A、D、E、F(t)為適宜維數(shù)矩陣,且FT(t)F(t)≤I,則對(duì)任意對(duì)稱(chēng)矩陣P>0及標(biāo)量τ>0,則有下述結(jié)論:
如果P-τDDT>0,則
建立系統(tǒng)(4)的增廣受控系統(tǒng)為
設(shè)狀態(tài)反饋控制器為文獻(xiàn)[13]所考慮的加法式攝動(dòng),令ΔK=EkΣk(t)Fk,Ek、Fk為適宜維數(shù)的常數(shù)陣,Σk(t)為L(zhǎng)ebesgue可測(cè)未知函數(shù)矩陣,滿足
定理1給定常數(shù)γ>0,對(duì)于系統(tǒng)(9),存在非脆弱狀態(tài)反饋控制器,使得閉環(huán)系統(tǒng)無(wú)干擾時(shí)二次穩(wěn)定[6];零初始條件下,滿足干擾抑制指標(biāo)(5)的一個(gè)充分條件為存在常數(shù)ε>0、λ>0和υ>0,正定對(duì)稱(chēng)矩陣X和矩陣Y,滿足
根據(jù)引理2及不確定性假設(shè),知對(duì)任意ε>0、λ>0,有
將式(14)、式(15)、式(16)、式(17)代入式(13)得φ<0成立的一個(gè)充分條件為
由Schur補(bǔ)引理[13]等價(jià)轉(zhuǎn)化式(18)為矩陣不等式,進(jìn)而左乘右乘diag[ P-1IIII],
令X=P-1,Y=KP-1,即可得到式(10)。
如果企業(yè)資產(chǎn)結(jié)構(gòu)不合理問(wèn)題長(zhǎng)期存在,會(huì)不斷加大其資產(chǎn)轉(zhuǎn)化成流動(dòng)現(xiàn)金的難度,從而進(jìn)一步加重其財(cái)務(wù)負(fù)擔(dān)。同時(shí),資產(chǎn)結(jié)構(gòu)不合理問(wèn)題還會(huì)導(dǎo)致企業(yè)外部信息失真現(xiàn)象的出現(xiàn)。現(xiàn)階段,不少企業(yè)進(jìn)行會(huì)計(jì)科目劃分的標(biāo)準(zhǔn)仍以傳統(tǒng)的期限為主,該方式無(wú)法反映出企業(yè)借款與風(fēng)險(xiǎn)的實(shí)際情況,還會(huì)導(dǎo)致一些企業(yè)出現(xiàn)挪用公款的違法行為產(chǎn)生,進(jìn)而提高了會(huì)計(jì)風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的概率。
當(dāng)系統(tǒng)(9)不考慮控制器非脆弱性時(shí),定理1簡(jiǎn)化為如下定理,有
定理2給定常數(shù)γ>0,對(duì)于系統(tǒng)(9),存在狀態(tài)反饋控制器,使得閉環(huán)系統(tǒng)(9)無(wú)外界干擾時(shí)二次穩(wěn)定;零初始條件下,滿足干擾抑制指標(biāo)(5)的一個(gè)充分條件為存在常數(shù)ε>0,正定對(duì)稱(chēng)矩陣X和矩陣Y,滿足
定理1、2是在零初始假設(shè)條件下給出的,為了使得觀測(cè)輸出1:1跟蹤給定信號(hào),由文獻(xiàn)[6]方法,令系統(tǒng)(2)中,記K=[k1k2]T,得到如下前饋補(bǔ)償器
圖2 含前饋的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2The closed-loop system structure diagram with feedforward
以2 030 mm冷連軋機(jī)第四機(jī)架上傳動(dòng)系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)[13]為實(shí)例參數(shù):主電機(jī)額定功率2×1 500 kW,額定電壓938 V,額定電流1 720 A,額定轉(zhuǎn)速290 r/min,電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JM=1 552 kg·m2,工作輥和支承輥這算到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和JL=1 542 kg·m2,由于該軋機(jī)為兩個(gè)同型號(hào)的電機(jī)驅(qū)動(dòng),每臺(tái)電機(jī)承擔(dān)一半的軋制任務(wù),則J=0.5× (JM+JL)=1 547 kg·m2,CU=29 N·m/A,R= 0.031 4 Ω,L=0.000 3 H,f=0.006 4,取參數(shù)R、J、f攝動(dòng)范圍為標(biāo)稱(chēng)值的20%,B取值在-0.001 1~-0.000 9之間。
系統(tǒng)(9)中,相關(guān)量參數(shù)為
取ε=1.08,λ=0.02,υ=0.000 01,γ=0.000 001,令控制器參數(shù)攝動(dòng)范圍均為±0.05。根據(jù)定理1,通過(guò)LMI工具箱中的feasp求解器,求得非脆弱狀態(tài)反饋控制器為
取ε=0.73,γ=0.000 001。根據(jù)定理2求得狀態(tài)反饋控制器為
取ε=0.3,γ=0.000 001。根據(jù)定理2求得狀
軋機(jī)軋制過(guò)程中,設(shè)負(fù)載轉(zhuǎn)矩T=32 000 N·m,當(dāng)給定速度r=27.23 rad/s時(shí),控制器K1、K2、K3對(duì)應(yīng)的前饋補(bǔ)償器數(shù)值上依次為ˉK1=29.38、ˉK2= 29.24、ˉK3=29.61;當(dāng)給定速度r=2.723 rad/s時(shí),數(shù)值上依次為ˉK4=35.26、ˉK5=33.14、ˉK6=37.4。
針對(duì)以上所述受控對(duì)象模型及參數(shù),利用SIMULINK仿真,結(jié)果如下:
圖3(a)、圖3(b)分別為給定高速階躍信號(hào)和低速階躍信號(hào)下的跟蹤曲線圖。圖中標(biāo)號(hào)1、2、3依次表示控制輸入為K1x+ˉK1r、K2x+ˉK2r、K3x+ˉK3r情形下的跟蹤曲線,下同;圖中標(biāo)號(hào)4、5、6依次表示控制輸入為K1x+ˉK4r、K2x+ˉK5r、K3x+ˉK6r情形下的跟蹤曲線。態(tài)反饋控制器為
圖3 階躍信號(hào)的跟蹤曲線Fig.3Tracking curves of the step signal
由圖3可見(jiàn),在高速和低速階躍信號(hào)兩種情形下,均能實(shí)現(xiàn)快速、無(wú)超調(diào)、平穩(wěn)跟蹤給定信號(hào),同時(shí)表明,狀態(tài)反饋控制器的參數(shù)在一定的范圍內(nèi)均能達(dá)到這一控制效果,且非脆弱控制器僅是該范圍內(nèi)的某一組值。
在圖3(a)仿真基礎(chǔ)上,考慮給定速度信號(hào)的動(dòng)態(tài)變化,令r=27.23+2.723sin(6.28t),此時(shí)的跟蹤仿真曲線如圖4所示;在圖3(a)仿真基礎(chǔ)上,考慮負(fù)載擾動(dòng)的動(dòng)態(tài)變化,令Τw=3 200sin(6.28t),此時(shí)的動(dòng)態(tài)跟蹤過(guò)程如圖5所示。低速情形與圖4、圖5類(lèi)似,不再給出。
由圖4、圖5可見(jiàn),本文所求控制輸入能夠較好實(shí)現(xiàn)對(duì)動(dòng)態(tài)信號(hào)的跟蹤和擾動(dòng)信號(hào)的抑制。圖4中,跟蹤曲線均能夠在給定信號(hào)第一個(gè)波峰之前實(shí)現(xiàn)跟蹤效果;圖5中,對(duì)于外界干擾為負(fù)載轉(zhuǎn)矩±10%的情況下,實(shí)現(xiàn)較好的跟蹤性能。對(duì)于非標(biāo)陳參數(shù)情形,以上各情形下的跟蹤曲線基本不變,故不再給出。
圖4 時(shí)變信號(hào)跟蹤曲線Fig.4Tracking curves of the time varying signal
圖5 在負(fù)載擾動(dòng)變化時(shí)的動(dòng)態(tài)跟蹤過(guò)程Fig.5The dynamic tracking process when load Disturbance varying
由以上仿真過(guò)程可見(jiàn),狀態(tài)反饋控制器的參數(shù)在一定范圍內(nèi)均能滿足對(duì)給定信號(hào)的良好跟蹤和對(duì)外界干擾抑制的指標(biāo),且非脆弱狀態(tài)反饋控制器僅是該范圍內(nèi)的某一組值。從而想到通過(guò)定理2,調(diào)節(jié)參數(shù)ε得到兩組狀態(tài)反饋控制器,將二者算數(shù)平均值作為魯棒非脆弱控制器,從而避免了經(jīng)由定理1求解魯棒非脆弱控制器時(shí),多個(gè)參數(shù)調(diào)節(jié)的繁瑣和N>0條件的限制。
取控制器K2、K3的算數(shù)平均值作為魯棒非脆弱控制器K4=[-0.120.11],參數(shù)攝動(dòng)范圍為±0.05,考察K4兩種最大攝動(dòng)情形:K5= [-0.070.17]和K6=[-0.170.06]。根據(jù)式(21)得到相應(yīng)前饋補(bǔ)償器,新控制輸入下的仿真結(jié)果如圖6所示,其中,標(biāo)號(hào)7、8、9依次代表含K4、K5和K6控制輸入下的跟蹤曲線。
根據(jù)控制效果圖6(a)、圖6(b)、圖6(c)和圖6(d)可見(jiàn),取兩組狀態(tài)反饋控制器的算數(shù)平均值所得控制器也可達(dá)到系統(tǒng)魯棒非脆弱控制的目的,驗(yàn)證了算法的有效性。
圖6 不同情形下的信號(hào)跟蹤曲線Fig.6Tracking curves in different situations
考慮電樞反應(yīng)引起的非線性,參數(shù)不確定性,控制器的非脆弱性及外界干擾等因素,建立了軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)模型。將非線性處理為參數(shù)不確定性,基于H∞理論、Lyapunov穩(wěn)定性理論及LMI方法,研究了軋機(jī)機(jī)電系統(tǒng)中直流電機(jī)速度跟蹤非脆弱控制問(wèn)題,得到了系統(tǒng)非脆弱狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件。結(jié)果表明,在非線性按參數(shù)不確定性處理方式下,本文算法達(dá)到了滿意的控制效果。仿真過(guò)程中,得知控制器的非脆弱性,在本文的單輸入單輸出情形下表現(xiàn)為控制器參數(shù)的魯棒性,從而給出另一種實(shí)現(xiàn)非脆弱控制的方法,通過(guò)實(shí)例仿真驗(yàn)證了方法的有效性,兩種方法均能較好實(shí)現(xiàn)電機(jī)速度魯棒跟蹤非脆弱控制及對(duì)外界干擾的抑制。
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(編輯:劉琳琳)
Speed robust and non-fragile control on motor of rolling mill’s nonlinear mechanical and electrical system
HAN Dong-ying1,SHI Pei-ming2,ZHAO Dong-wei2
(1.College of Vehicles and Energy,Yanshan University,Qinhuangdao 066004,China; 2.College of Electrical Engineering,Yanshan University,Qinhuangdao 066004,China)
For the problem of motor speed robust tracking and non-fragile control on the electromechanical system of rolling mill,considering nonlinearity,uncertainty and load torque,the dynamic model of electromechanical transmission system of rolling mill was built.As the nonlinearity was dealt with parameter uncertainty,the sufficient condition which lets the system attain quadratic stability and the outside disturbance attenuation was got based on H∞theory,Lyapunov stability theory and the method of LMI(Linear Maxtrix Inequality(LMI)).In order to achieve the given speed signal tracking and non-fragile control,the feedforward and compensatory controller was designed.The results show that the non-fragile of the controller reflected as the parameter robustness of the controller,so the effect of the non-fragile control could be fulfilled via choosing the parameters of the controller directly.The feasibility and validity of the method was verified by the simulation examples.
rolling mill;electromechanical system;nonlinear;robust;non-fragile
10.15938/j.emc.2015.03.013
TM 341
A
1007-449X(2015)03-0082-06
2013-05-15
國(guó)家自然科學(xué)基金(51005196);河北省自然科學(xué)基金(E2012203194)
韓東穎(1978—),女,博士,副教授,研究方向?yàn)轸敯艨刂?、軋機(jī)機(jī)電自動(dòng)控制;
時(shí)培明(1979—),男,博士,副教授,研究方向?yàn)轸敯艨刂?、智能控?
趙東偉(1986—),男,碩士研究生,研究方向?yàn)殡姍C(jī)及其控制、魯棒控制理論與應(yīng)用研究。
韓東穎