呂延軍， 郭冰軍， 張永芳， 陳永輝， 周超

(1.西安理工大學(xué) 機械與精密儀器工程學(xué)院，陜西 西安 710048；2.西安交通大學(xué) 機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室，陜西 西安 710049；3.西安理工大學(xué) 印刷包裝工程學(xué)院，陜西 西安 710048)

紊流滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性

呂延軍1,2， 郭冰軍1,2， 張永芳3， 陳永輝1,2， 周超1,2

(1.西安理工大學(xué) 機械與精密儀器工程學(xué)院，陜西 西安 710048；2.西安交通大學(xué) 機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室，陜西 西安 710049；3.西安理工大學(xué) 印刷包裝工程學(xué)院，陜西 西安 710048)

在軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，由于轉(zhuǎn)子尺寸的不斷增大和線速度的不斷提高，使得大部分軸承在紊流工況下運行。為分析軸承-轉(zhuǎn)子動力學(xué)的穩(wěn)定性，本文采用無限長滑動軸承模型假設(shè)，結(jié)合Sommerfeld變換，獲得了紊流工況下非線性油膜力，建立了紊流滑動軸承支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型，運用Routh-Hurwitz判據(jù)分析了軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性，研究了紊流效應(yīng)對紊流滑動軸承的剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)、轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速和在臨界轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)速頻率比的影響。

軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)； 紊流效應(yīng)； 無限長滑動軸承

軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是發(fā)電機組、航空發(fā)動機等大型旋轉(zhuǎn)機械的核心部件，因此軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定、安全運行就顯得尤為關(guān)鍵。作為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)支承的軸承的非線性特性對整個軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定運轉(zhuǎn)有著重要影響，因此，支承軸承穩(wěn)定性的研究越來越受到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。王小靜等[1-3]對滑動軸承復(fù)合紊流潤滑理論模式進行了深入研究。并提出了先進的復(fù)合紊流潤滑理論，能準(zhǔn)確地分析滑動軸承的紊流潤滑性能，為高速重載滑動軸承的設(shè)計提供了依據(jù)。張永芳等[4]利用多參數(shù)攝動原理，采用零方程模式的Constantinescu理論即Prandtl混合長度潤滑理論模式對有限長紊流滑動軸承的Reynolds方程進行了求解，得到了紊流有限長軸承承載力的近似解析表達(dá)式，使得非線性油膜承載力能夠被快速計算出來。Zhang Yongfang等[5]采用變分原理和分離變量法給出了一種紊流無限長軸承非線性油膜力的近似解析表達(dá)式，快速求解了具有下游Reynolds和上下游Reynolds邊界條件的軸承潤滑Reynolds方程。Chang-Jian C.W.等[6]對紊流滑動軸承支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分岔和混沌等非線性行為進行了研究，通過采用長軸承假設(shè)模型得到了紊流長軸承假設(shè)下的油膜力。Amamou A.等[7]以徑向滑動軸承為剛性轉(zhuǎn)子提供支承，采用無限短軸承模型研究了轉(zhuǎn)子平衡點的分岔和極限環(huán)。Chouchane M.等[8]以徑向滑動軸承為剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的支承，采用無限長軸承模型求解非線性油膜力，運用數(shù)值延拓法分析了動壓滑動軸承的非線性穩(wěn)定性。以上這些研究均是針對滑動軸承(紊流或?qū)恿?的非線性油膜力或其支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)展開的研究，并未對軸承的動力學(xué)系數(shù)及穩(wěn)定性進行研究。 Wang J.K.等[9]以無限短軸承為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)提供支承，并將Hopf分岔理論應(yīng)用于軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，分析了考慮紊流效應(yīng)的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Lu Yanjun等[10]將預(yù)估校正機理、Newton-Raphson和Wilson-θ法相結(jié)合，運用Hopf分岔理論分析了非線性軸承-轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性和分岔。

本文以無限長滑動軸承的非線性油膜力作為軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的支承力，推導(dǎo)了紊流條件下長軸承的剛度和阻尼系數(shù)以及軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速。運用Routh-Hurwitz判據(jù)分析了軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性，研究了紊流效應(yīng)對剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)、轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速和在臨界轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)速頻率比的影響。

1 軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動方程

圖1(a)是紊流滑動軸承支承的剛性轉(zhuǎn)子模型，圖1(b)是轉(zhuǎn)子在軸承間隙圓中的運動軌跡示意圖。

圖中，Ob為軸承中心；Ojs為軸頸中心的靜態(tài)平衡位置；Ojd為軸頸中心的動態(tài)位置；W為每個軸承的載荷；ε和θ分別表示軸頸中心的動態(tài)無量綱偏心率和無量綱偏位角；c為半徑間隙；fε和fθ分別表示徑向軸承油膜力的徑向和切向分量；x和y分別表示水平方向和垂直方向的坐標(biāo)。

圖1中所示的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在極坐標(biāo)系下的運動方程可寫為：

(1)

式中，m為集總到每個軸承上的轉(zhuǎn)子質(zhì)量。

用τ=ωt將時間無量綱后得到運動方程的無量綱形式為：

(2)

式中，F(xiàn)ε和Fθ分別為無量綱非線性油膜力的徑向分量與切向分量。

圖2所示為軸承計算坐標(biāo)。圖中，xOby是軸承坐標(biāo)系，φ是從軸承上方垂線開始計量至油膜位置的角度，ω是軸頸轉(zhuǎn)速。

無限長滑動軸承非線性油膜力的徑向和切向分量分別為：

(3)

(4)

為了求解式(2)的二階非線性運動方程，將該運動方程表示在狀態(tài)空間。

x1′=x2

(5)

(6)

(7)

(8)

式中，g是引力常量。

將式(5)～(8)表示為如下形式：

(9)

(10)

x2s=0

(11)

(12)

x4s=0

(13)

通過Sommerfeld數(shù)σ=μBωR3/(Wc2)，引入系統(tǒng)參數(shù)Ｓ：

(14)

2 軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

2.1 軸承的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)

剛度系數(shù)kij(i,j=ε,θ)和阻尼系數(shù)bij(i,j=ε′,θ′)的定義如下：

(15)

(16)

將無量綱油膜壓力表達(dá)式代入式(15)，并簡化結(jié)果表達(dá)式，得到剛度矩陣K的元素為：

(17)

(18)

6πε4θ′+3πε4+6πε2θ′-3πε2+

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

2.2 不穩(wěn)定臨界值

應(yīng)用泰勒展開，將非線性運動方程的右端在靜態(tài)平衡位置x=xs處展開為：

(25)

(26)

通過引入變量x1s=εs,x2s=εs′,x3s=θs,x4s=θs′,以及上述的剛度和阻尼系數(shù)矩陣，式(26)可以寫為：

(27)

(28)

(29)

(30)

將式(29)代入式(28)，得到下面的表達(dá)式：

(31)

(32)

(33)

即：

(34)

(35)

分別令式(35)的實部和虛部為零，則：

(36)

(37)

通過式(36)和(37)可以得到如下關(guān)系式：

(38)

(39)

因此，無量綱臨界轉(zhuǎn)速為：

(40)

式中，無量綱轉(zhuǎn)速為：

(41)

3 數(shù)值算例及分析

軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)如下：寬徑比B/d=3，半徑間隙c=0.24 mm，B=0.03 m，m=1 kg，潤滑油粘度μ=0.022 Pa·s。圖3示出了紊流對穩(wěn)態(tài)偏心率ε的影響。圖3表明當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)S≤0.02時，紊流對穩(wěn)態(tài)偏心率有很大的影響。當(dāng)S=0.01時，在層流狀態(tài)下，穩(wěn)態(tài)偏心率ε=0.82。在系統(tǒng)參數(shù)數(shù)相同的條件下，當(dāng)雷諾數(shù)Re=2 500時，ε=0.76；當(dāng)雷諾數(shù)Re=5 000時，ε=0.70；當(dāng)雷諾數(shù)Re=10 000時，ε=0.56。隨著系統(tǒng)參數(shù)S的增大，紊流對穩(wěn)態(tài)偏心率的影響會逐漸減弱。圖4和圖5分別示出了當(dāng)雷諾數(shù)Re=5 000時紊流對軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度系數(shù)kij(i,j=ε,θ)和阻尼系數(shù)bij(i,j=ε,θ)的影響，可以看出紊流對軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度和阻尼系數(shù)有較大的影響。

圖6所示為紊流對臨界轉(zhuǎn)速的影響。在紊流和層流情況下，隨著系統(tǒng)參數(shù)S的增大，系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速也隨著增大。特別地，在紊流狀況時這種變化比較明顯。

圖7所示為紊流對臨界轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)速頻率比的影響。表明當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)S大于0.15時，紊流對轉(zhuǎn)速頻率比的影響可以忽略，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù) 0.08

4 結(jié) 論

1) 推導(dǎo)了紊流條件下長軸承的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，并結(jié)合Routh-Hurwitz判據(jù)推導(dǎo)了軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速。

2) 隨著系統(tǒng)參數(shù)S的增大，紊流對穩(wěn)態(tài)偏心率的影響逐漸減弱。紊流對軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度和阻尼系數(shù)有較大的影響。

3) 隨著系統(tǒng)參數(shù)數(shù)S的增大，系統(tǒng)的臨界速度也隨之增大。臨界轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)動頻率比隨之減小。

[1]王小靜, 張直明, 孫美麗.復(fù)合型紊流潤滑理論模式的研究[J].摩擦學(xué)學(xué)報,2000,20(2):127-130.

Wang Xiaojing, Zhang Zhiming, Sun Meili. A combined theory for turbulence in lubricating films [J]. Tribology, 2000,20(2):127-130.

[2]王小靜, 蘇葒, 張直明.基于復(fù)合型紊流潤滑理論的徑

向滑動軸承紊流潤滑性能的研究[J]. 機械工程學(xué)報, 2003,39(3):85-89.

Wang Xiaojing, Su Hong, Zhang Zhiming. Study on the performance of journal bearing in turbulent regime with the combined Reynolds stress model[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering,2003,39(3):85-89.

[3]王小靜, 張直明, 孫美麗. 復(fù)合型紊流潤滑理論在周隙密封紊流潤滑研究中的應(yīng)用[J]. 摩擦學(xué)學(xué)報, 2002, 22(4S):359-362.

Wang Xiaojing, Zhang Zhiming, Sun Meili. Application of combined Reynolds stress turbulent model to study of plain seal[J]. Tribology,2002,22(4S):359-362.

[4]張永芳, 劉成, 王東，等. 紊流滑動軸承油膜承載力的近似解析解[J]. 振動與沖擊,2014,33(7):181-186.

Zhang Yongfang, Liu Cheng, Wang Dong, et al. Approximate solution to load-carrying capacity of a turbulent flow sliding bearing’s oil film[J]. Journal of Vibration and Shock,2014,33(7):181-186.

[5]Zhang Yongfang, Hei Di, Liu Cheng, et al. An approximate solution of nonlinear oil film forces of turbulent finite length journal bearing[J]. Tribology International,2014,74:110-120.

[6]Chang-Jian C W, Chen C K. Bifurcation and chaos analysis of a flexible rotor supported by turbulent long journal bearings[J]. Chaos, Solutions and Fractals,2007,34(4):1160-1179.

[7]Mnaouar Chouchane, Amira Amamou. Bifurcation of limit cycles in fluid film bearings[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics,2011,46(9):1258-1264.

[8]Amira Amamou, Mnaouar Chouchane. Nonlinear stability analysis of long hydrodynamic journal bearings using numerical continuation [J]. Mechanism and Machine Theory,2014,72:17-24.

[9]Wang J K, Khonsari M M. Application of Hopf bifurcation theory to rotor-bearing systems with consideration of turbulent effects[J]. Tribology International,2006,39(7):701-714.

[10]Lü Yanjun, Dai Rong, Hei Di, et al. Stability and bifurcation of a non-linear bearing-flexible rotor coupling dynamic system[J]. IMechE Journal of Mechanical Engineering Science,2009,223(4):835-849.

(責(zé)任編輯 王衛(wèi)勛)

Stability of rotor system supported by sliding bearing with turbulent effect

Lü Yanjun1,2， GUO Bingjun1,2， ZHANG Yongfang3， CHEN Yonghui1,2， ZHOU Chao1,2

(1.Faculty of Mechanical and Precision Instrumental Engineering， Xi’an University of Technology,Xi’an 710048,China；2.State Key Laboratory of Strength and Vibration of Mechanical Structures,Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049，China; 3.Faculty of Printing and Packaging Engineering,Xi’an University of Technology, Xi’an 710048,China)

The much more sliding bearings operate under the turbulent condition owing to an increase in the size and the linear velocity of the rotor in the bearing-rotor system. The analytical expression of nonlinear oil film forces of the turbulent sliding bearings is obtained by the Sommerfeld transformation under the infinitely long bearing assumption, and then a rotor system with the sliding bearings support is modeled. The stability of the bearing-rotor system is determined by Routh-Hurwitz criteria. The effect of turbulence on the stiffness coefficient, damping coefficient, the critical speed of the rotor and the whirl frequency ratio at the critical speed are investigated.

bearing-rotor system; turbulent effects; infinitely long journal bearing

1006-4710(2015)01-0034-06

2014-08-19

國家自然科學(xué)基金資助項目(51375380)；機械結(jié)構(gòu)強度及振動國家重點實驗室開放課題(SV2014-KF-08)；陜西省自然科學(xué)基金資助項目(2014JM2-5082)。

呂延軍，男，教授，博導(dǎo)，主要研究方向為潤滑理論和新型軸承技術(shù)、非線性動力學(xué)及控制。 E-mail:yanjunlu@xaut.edu.cn。

TH133.31

A