劉俊, 宋文萍, 韓忠華, 王樂

(西北工業(yè)大學(xué) 翼型葉柵空氣動力學(xué)國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安　710072)

梯度增強(qiáng)的Kriging模型與Kriging模型在優(yōu)化設(shè)計(jì)中的比較研究

劉俊, 宋文萍, 韓忠華, 王樂

(西北工業(yè)大學(xué) 翼型葉柵空氣動力學(xué)國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安710072)

摘要：在許多工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中，由于需要采用費(fèi)時的數(shù)值模擬方法獲得目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)值，出現(xiàn)了優(yōu)化時間過長、優(yōu)化難度大的問題。為了提高設(shè)計(jì)效率，縮短優(yōu)化設(shè)計(jì)周期，代理模型方法受到人們的歡迎。近些年來，為了進(jìn)一步提高設(shè)計(jì)效率，人們在傳統(tǒng)代理模型基礎(chǔ)上又發(fā)展了一些更高效、預(yù)測精度更高的新型代理模型，如變可信度模型、梯度增強(qiáng)的代理模型等。為了研究新型代理模型在優(yōu)化設(shè)計(jì)中的優(yōu)化效率和優(yōu)化效果，首先結(jié)合代理模型、多點(diǎn)加點(diǎn)準(zhǔn)則及多種傳統(tǒng)優(yōu)化算法，發(fā)展了一套適用于代理模型、梯度增強(qiáng)的代理模型的通用優(yōu)化算法框架，基于該框架，采用典型的數(shù)值算例對當(dāng)前應(yīng)用較為廣泛的Kriging模型和近些年來發(fā)展的梯度增強(qiáng)的Kriging模型進(jìn)行了對比研究。結(jié)果顯示，在假定目標(biāo)函數(shù)的梯度與目標(biāo)函數(shù)計(jì)算量相同的情況下，采用梯度增強(qiáng)的Kriging模型得到的優(yōu)化結(jié)果在絕大多數(shù)情況下都優(yōu)于采用Kriging模型得到的結(jié)果。最后，應(yīng)用翼型設(shè)計(jì)算例對兩種代理模型進(jìn)行了對比，其中目標(biāo)函數(shù)的梯度采用與目標(biāo)函數(shù)本身計(jì)算量基本一致的Adjoint方法獲得；結(jié)果顯示，梯度增強(qiáng)的Kriging模型表現(xiàn)優(yōu)于Kriging模型。

關(guān)鍵詞：優(yōu)化設(shè)計(jì)；代理模型；Kriging模型；梯度增強(qiáng)的Kriging模型；氣動優(yōu)化設(shè)計(jì)

在工程優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域，目標(biāo)函數(shù)的獲得往往十分耗時，發(fā)展高效的優(yōu)化方法(即減少目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算次數(shù))是縮短設(shè)計(jì)周期的關(guān)鍵。此外，為了提高設(shè)計(jì)效果，優(yōu)化方法應(yīng)盡可能地具有好的全局性，即應(yīng)盡可能地找到全局最優(yōu)解。

基于代理模型的優(yōu)化方法被認(rèn)為是一類能夠?qū)崿F(xiàn)全局優(yōu)化的高效優(yōu)化方法。Kriging模型具有較好的預(yù)測非線性、多峰值的能力，且能預(yù)測出未知點(diǎn)的誤差，因而成為最受歡迎的代理模型之一，并被越來越多地應(yīng)用于多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)中[1-3]。盡管如此，Kriging模型的效率和精度有時仍然不能滿足工程實(shí)際的需求，這是由于在很多實(shí)際問題中，建立一個具有合理精度的近似模型仍然需要大量的高精度數(shù)值模擬，而這一問題將隨著設(shè)計(jì)變量的個數(shù)和范圍的增加變得更加突出。為此，近些年來，人們正尋求比傳統(tǒng)代理模型更為高效的新型代理模型。

提高代理模型效率的一種方法是使用大量低可信度樣本數(shù)據(jù)來輔助高可信度樣本數(shù)據(jù)來建立一種用于預(yù)測高可信度分析程序輸出結(jié)果的變可信度模型[4-7]，如Cokriging模型。該方法的思想是在設(shè)計(jì)空間內(nèi)同時采用高可信度分析程序(如Navier-Stokes方程程序)和低可信度程序(如Euler方程程序)進(jìn)行抽樣，通過大量的低可信度樣本數(shù)據(jù)獲得設(shè)計(jì)空間內(nèi)響應(yīng)值的全局趨勢，通過少量高可信度樣本數(shù)據(jù)來校正預(yù)測值。另一種提高Kriging模型效率的方法是在Kriging模型中引入梯度信息，即在建立代理模型時不僅利用樣本點(diǎn)處的函數(shù)值，同時利用樣本點(diǎn)處的梯度值。引入梯度的Kriging模型被稱為梯度增強(qiáng)的Kriging模型(gradient-enhanced Kriging,GEK)。Liu等[8]提出了一種間接GEK模型。Chung等[9]提出了一種直接GEK模型。Laurenceau等[10]比較了Kriging、直接GEK、間接GEK模型在氣動問題中的預(yù)測精度，發(fā)現(xiàn)在相同樣本點(diǎn)數(shù)下2種GEK的精度都高于Kriging模型。Han等[1]發(fā)展了一種更一般化的GEK模型， 允許梯度信息在任意位置引入，且允許在某些樣本點(diǎn)處不使用梯度信息。

目前，對于Kriging模型及基于該模型的優(yōu)化方法已得到大量研究，對于GEK模型本身的研究也不少見[9-12]，而鮮見對GEK模型和Kriging模型在應(yīng)用于優(yōu)化設(shè)計(jì)時的優(yōu)化效率和優(yōu)化效果的比較仔細(xì)的對比研究。為了探討GEK模型在優(yōu)化設(shè)計(jì)中的效率及效果，本文首先在Han等[11]發(fā)展的GEK模型基礎(chǔ)上，結(jié)合多種加點(diǎn)準(zhǔn)則[13]及多種傳統(tǒng)優(yōu)化算法，發(fā)展了一套基于代理模型的高效優(yōu)化設(shè)計(jì)框架；其次，在統(tǒng)一的優(yōu)化框架下，采用典型數(shù)值算例將GEK模型和Kriging模型進(jìn)行了對比研究，最后采用工程中的氣動設(shè)計(jì)問題將二者進(jìn)行了對比。結(jié)果顯示，對于大多數(shù)問題，使用GEK時收斂更快且優(yōu)化結(jié)果更好。

1Kriging模型/梯度增強(qiáng)的Kriging模型

參考文獻(xiàn)對于Kriging模型的詳細(xì)介紹，本文不再贅述，見相關(guān)[1,14-15]。GEK模型是在Kriging模型基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，其思想、原理和建模方法與Kriging模型基本一致，只是在模型中不僅利用了樣本點(diǎn)處的函數(shù)值，還利用了樣本點(diǎn)處的梯度值。下面介紹本文所采用的由Han等[11]發(fā)展的一種直接GEK模型。

首先,在Kriging模型中,對于一個m維問題,假設(shè)對目標(biāo)函數(shù)(或約束函數(shù))y抽樣獲得n個函數(shù)值,抽樣位置及相應(yīng)的響應(yīng)值可寫成

(1)

對于GEK,將上述樣本數(shù)據(jù)的響應(yīng)值列向量加以拓展,把樣本點(diǎn)處的梯度信息以偏導(dǎo)數(shù)的形式加入到響應(yīng)值中。于是得到含梯度信息的樣本及響應(yīng)值矩陣:

(2)

1.1GEK預(yù)測值與均方誤差

GEK模型對未知函數(shù)的預(yù)測值定義為所有抽樣函數(shù)值和所有抽樣偏導(dǎo)數(shù)值的加權(quán),即

(3)

式中,w(i)代表第i個函數(shù)值的加權(quán)系數(shù),λ(j)代表第j個偏導(dǎo)數(shù)信息的加權(quán)系數(shù)。與Kriging模型類似,引入靜態(tài)隨機(jī)過程假設(shè):

(4)

式中，β0是未知的常數(shù),Z(·)為均值為0的靜態(tài)隨機(jī)過程,且協(xié)方差滿足關(guān)系式

cov[Z(x(i)),Z(x(j))]=σ2R(x(i),x(j)),

(5)

與Kriging模型推導(dǎo)過程類似,可得到GEK模型的預(yù)測值:

(6)

式中,R為樣本點(diǎn)相關(guān)矩陣,r為樣本點(diǎn)與未知點(diǎn)x的相關(guān)向量:

均方誤差MSE由下式計(jì)算:

(7)

1.2相關(guān)函數(shù)模型

相關(guān)矩陣R和相關(guān)向量r的建立需要計(jì)算相關(guān)函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)值。此處考慮以下形式的相關(guān)模型:

(8)

本文采用與文獻(xiàn)[11]類似的3次樣條相關(guān)函數(shù):

(9)

1.3模型參數(shù)的獲得

由(8)式可知,GEK模型中存在超參數(shù)θ,與Kriging模型相同,θ值采用最大似然估計(jì)法求解下列優(yōu)化問題獲得:

(10)

2多點(diǎn)加點(diǎn)準(zhǔn)則及其約束處理

基于代理模型的優(yōu)化方法的一個關(guān)鍵技術(shù)是加點(diǎn)準(zhǔn)則。由于建立一個較精確的全局近似模型需要大量的樣本點(diǎn),特別是設(shè)計(jì)變量較多時。因此,為了減少總的樣本點(diǎn)數(shù),首先使用較少的樣本點(diǎn)建立初始代理模型,再尋找一定準(zhǔn)則下的最優(yōu)點(diǎn)并將其作為新的樣本點(diǎn)來更新代理模型重新優(yōu)化。加點(diǎn)準(zhǔn)則的使用直接決定了優(yōu)化的成敗及優(yōu)化效率。本文發(fā)展一種多點(diǎn)加點(diǎn)準(zhǔn)則:同時采用局部收斂性好的目標(biāo)函數(shù)最小值準(zhǔn)則和全局收斂性好的EI最大準(zhǔn)則,并分別將其推廣到含約束的形式。

2.1目標(biāo)函數(shù)值最小準(zhǔn)則及其約束處理

該準(zhǔn)則認(rèn)為代理模型足夠精確,直接尋找代理模型上目標(biāo)函數(shù)的最小值,即建立代理模型后,求解下列子優(yōu)化問題:

(11)

式中，NG是約束個數(shù)。本文使用遺傳算法(GA)和梯度優(yōu)化相結(jié)合的方法求解最小化問題。

該準(zhǔn)則沒有考慮模型的誤差,新加的樣本點(diǎn)主要集中在當(dāng)前真實(shí)最優(yōu)解附近,因而它是一種局部加點(diǎn)準(zhǔn)則。本文稱之為minimizingtheconstrainedprediction, 簡稱CMP。

2.2EI最大值準(zhǔn)則及其約束處理(CEI)

設(shè)樣本集中的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值為ymin,在x處目標(biāo)函數(shù)相對的改進(jìn)量為I=ymin-Y(x)>0,于是I的期望值可由下式計(jì)算:

(12)

式中,φ表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù),Φ表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積函數(shù)。

(13)

滿足約束的EI值(CEI)如下:

(14)

若存在多個約束,則將(12)式中乘以每一個約束函數(shù)滿足約束的概率。

該準(zhǔn)則以當(dāng)前真實(shí)最優(yōu)解為參照,同時考慮了代理模型的誤差,因而是一種全局加點(diǎn)準(zhǔn)則。

上述2種加點(diǎn)準(zhǔn)則的結(jié)合兼顧了優(yōu)化的局部收斂性和全局收斂性,因而可以更好地適用局部優(yōu)化問題和全局優(yōu)化問題。

3基于代理模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

本文結(jié)合代理模型、試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法(本文采用LHS)、多點(diǎn)加點(diǎn)準(zhǔn)則、遺傳算法、梯度優(yōu)化算法等發(fā)展了1套基于GEK模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該方法的流程如下:

1) 使用試驗(yàn)設(shè)計(jì)在設(shè)計(jì)空間內(nèi)生成一些初始樣本點(diǎn)。

2) 調(diào)用真實(shí)分析模型,獲得每個樣本點(diǎn)的真實(shí)目標(biāo)函數(shù)值和約束函數(shù),對于GEK模型,還需計(jì)算二者的梯度值。

3) 針對目標(biāo)函數(shù)及每一個約束函數(shù),分別建立目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的代理模型。

4) 分別使用CEI和CMP進(jìn)行子優(yōu)化,獲得代理模型上的2個最優(yōu)解。

5) 檢查2個新的最優(yōu)點(diǎn)是否重合或與已有的樣本點(diǎn)出現(xiàn)重合,若重合,剔除新出現(xiàn)的重疊點(diǎn)。

6) 調(diào)用真實(shí)函數(shù)校驗(yàn)兩種加點(diǎn)準(zhǔn)則所得的最優(yōu)點(diǎn)的真實(shí)目標(biāo)函數(shù)值和約束函數(shù),對于GEK模型,還需計(jì)算二者的梯度。

7) 檢驗(yàn)優(yōu)化是否達(dá)到終止標(biāo)準(zhǔn),若是,停止優(yōu)化,否則將上步中所得最優(yōu)點(diǎn)作為新樣本點(diǎn)加入樣本點(diǎn)集,回到步驟3)。

4算例測試

在本文優(yōu)化算例中,為了與Kriging模型進(jìn)行對比，假設(shè)計(jì)算1次目標(biāo)函數(shù)的梯度所需的計(jì)算量等同于1次目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算量(類似在氣動優(yōu)化設(shè)計(jì)中,若使用Adjoint方法[12]計(jì)算梯度,其計(jì)算量大致等于1次流場求解的計(jì)算量。由于初始樣本點(diǎn)的生成具有隨機(jī)性,且在子優(yōu)化過程中使用了具有隨機(jī)性的遺傳算法,因此,本文基于代理模型的優(yōu)化算法也會存在隨機(jī)性。因此本文對所有算例重復(fù)優(yōu)化30次來進(jìn)行研究。

4.1無約束算例(局部優(yōu)化)

該算例是求解Rosenbrock函數(shù)的最小值。優(yōu)化模型如下:

minimize:f(x)=

(15)

其真實(shí)最優(yōu)解為x*=(1.0,…,1.0),f(x*)=0。圖1給出了Rosenbrock函數(shù)的云圖,圖中的“+”為最優(yōu)點(diǎn)。

圖1　Rosenbrock函數(shù)云圖

分別使用Kriging模型和GEK模型進(jìn)行優(yōu)化,在優(yōu)化過程中,使用LHS方法生成4個初始樣本點(diǎn)。使用GEK模型進(jìn)行優(yōu)化時,最大樣本點(diǎn)數(shù)取100,加上100次梯度所需的計(jì)算量,總計(jì)200個計(jì)算量。在使用Kriging模型進(jìn)行優(yōu)化時,最大樣本點(diǎn)數(shù)取200。圖2給出了使用Kriging模型和GEK模型運(yùn)行30次得到的平均收斂曲線的比較?？梢钥闯?在相同的樣本點(diǎn)數(shù)情況下,使用GEK模型優(yōu)化的結(jié)果明顯優(yōu)于Kriging模型優(yōu)化的結(jié)果。然而,計(jì)算梯度需要額外的計(jì)算量,在相同計(jì)算量情況下,使用GEK模型優(yōu)化的結(jié)果好于Kriging模型優(yōu)化的結(jié)果。表1給出了使用GEK模型、Kriging模型優(yōu)化結(jié)果的比較。作為參照,表中還給出了直接使用GA優(yōu)化得到的結(jié)果。從表1還可以看出使用2種代理模型方法的優(yōu)化結(jié)果都明顯優(yōu)于GA所得的結(jié)果,盡管GA調(diào)用了10 000次目標(biāo)函數(shù)。(表中“計(jì)算量”一列中“f”表示真實(shí)目標(biāo)函數(shù)計(jì)算，“g”表示真實(shí)目標(biāo)函數(shù)的梯度計(jì)算作為參照。)

圖2　使用Kriging和GEK優(yōu)化Rosenbrock函數(shù)的　目標(biāo)函數(shù)平均收斂曲線對比

方法最好值平均值標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算量真實(shí)值0///GEK1.4293×10-75.1020×10-59.7061×10-5200(100f+100g)Kriging1.6552×10-79.2790×10-44.3244×10-3200GA8.2308×10-54.5529×10-25.8429×10-210000

4.2無約束算例(全局優(yōu)化)

本算例是一個全局優(yōu)化算例,目標(biāo)是求解Rastrigin函數(shù)的最小值,優(yōu)化模型如下:

minimize:f(x)=

(16)

函數(shù)的真實(shí)最優(yōu)解為x*=(0,…,0),f(x*)=0。圖3給出了Rastrigin函數(shù)圖,可以看出,該函數(shù)是一個復(fù)雜多極值函數(shù)。

圖3　Rastrigin函數(shù)

使用LHS方法獲得10個初始樣本點(diǎn)。使用GEK模型進(jìn)行優(yōu)化時,最大樣本點(diǎn)數(shù)取150;使用Kriging模型進(jìn)行優(yōu)化時,最大樣本點(diǎn)數(shù)取300。圖4給出了使用Kriging模型和GEK模型運(yùn)行30次得到的平均收斂曲線?？梢钥闯?基于Kriging模型的優(yōu)化方法和基于GEK模型的優(yōu)化方法都表現(xiàn)很好。然而,GEK模型優(yōu)化的收斂精度要高于Kriging模型優(yōu)化的收斂精度。表2給出了使用本文GEK方法、基于Kriging模型的優(yōu)化方法優(yōu)化結(jié)果的比較。該表也反映了圖4所顯示的結(jié)果。作為參考,表中也給出了直接使用GA優(yōu)化得到的結(jié)果。

圖4　使用Kriging和GEK優(yōu)化Rastrigin函數(shù)　的目標(biāo)函數(shù)平均收斂曲線對比

方法最好值平均值標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算量真實(shí)值0///GEK1.5792×10-121.0088×10-101.6978×10-10300(150f+150g)Kriging4.5025×10-112.4409×10-87.9442×10-8300GA03.5527×10-161.9459×10-1530000

4.3約束優(yōu)化算例

本算例是一個壓力容器設(shè)計(jì)問題。該優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型如下所示:

s.t. g1=-x1+0.0193x3≤0

g2=-x2+0.00954x3≤0

g4=x4-240≤0

0.062 5≤x1,x2≤6.187 5,

10.0≤x3,x4≤200.0

(17)

圖5給出了2種代理模型方法重復(fù)優(yōu)化的平均收斂曲線的對比。表3給出了3種方法分別優(yōu)化30次所得最好最優(yōu)值、平均最優(yōu)值、最優(yōu)值的標(biāo)準(zhǔn)差,以及計(jì)算量的比較。與上例類似,GEK模型幾乎每次都精確地收斂到相同的值,30次重復(fù)優(yōu)化最優(yōu)值的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差都小于Kriging,這說明GEK模型效果好于Kriging且表現(xiàn)更穩(wěn)定。該表也給出了直接使用GA優(yōu)化得到的結(jié)果,可以看出,使用基于GEK和Kriging的優(yōu)化方法所得的優(yōu)化結(jié)果都明顯優(yōu)于GA,而計(jì)算量卻遠(yuǎn)小于GA。

圖5　使用Kriging和GEK優(yōu)化pressure vessel design的　目標(biāo)函數(shù)平均收斂曲線對比

方法最好值平均值標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算量真實(shí)值未知///GEK5885.3335885.3360.005100(50f+50g)Kriging5885.7895902.44419.731100GA5910.7936671.307623.20340000

4.4翼型設(shè)計(jì)算例

為了比較2種代理模型應(yīng)用于工程優(yōu)化設(shè)計(jì)的的優(yōu)化效率和效果,以翼型壓力反設(shè)計(jì)進(jìn)行測試。

設(shè)計(jì)狀態(tài)為Ma=0.73,Re=6.5×105,α=2.0°。首先給定RAE2822翼型在該設(shè)計(jì)狀態(tài)的壓力分布,以該壓力分布作為目標(biāo)壓力分布,將反設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題求解,優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下:

(18)

式中,p為計(jì)算壓力,pd為目標(biāo)壓力,B表示沿物面的積分。

翼型的幾何參數(shù)化采用“CST”參數(shù)化方法[17],18個設(shè)計(jì)變量。流場求解采用課題組發(fā)展的求解器PMNS2D;計(jì)算網(wǎng)格采用C型結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。目標(biāo)函數(shù)的梯度使用Adjoint方法計(jì)算。因此,通過求解一次RANS方程和一次與之計(jì)算量相當(dāng)?shù)腁djoint方程即可得到目標(biāo)函數(shù)及其梯度值。

分別使用GEK模型、Kriging模型進(jìn)行翼型的反設(shè)計(jì),重復(fù)運(yùn)行30次。作為參考,這里還給出了使用基于Adjoint的梯度優(yōu)化算法所得的結(jié)果,其中梯度優(yōu)化算法采用BFGS擬牛頓法,初始翼型為NACA0012翼型。圖6給出了基于代理模型的優(yōu)化方法的平均收斂曲線及Adjoint方法收斂曲線的對比。從圖6可以看出,使用Kriging時花費(fèi)300個樣本點(diǎn)已基本收斂,而GEK方法僅花費(fèi)50個樣本點(diǎn)(100個計(jì)算量)目標(biāo)函數(shù)就已收斂,優(yōu)化結(jié)果也好于使用Kriging模型。

圖6　基于GEK方法和Kriging方法的優(yōu)圖7　使用GEK和Kriging模型反　化方法的翼型反設(shè)計(jì)平均收斂曲線　設(shè)計(jì)前后翼型的壓力分布及　及Adjoint翼型反設(shè)計(jì)收斂曲線對比　幾何形狀與目標(biāo)翼型的對比　(一次Adjoint方程計(jì)算等同于　一次流場計(jì)算)

圖7給出了分別使用GEK、Kriging所得的某次反設(shè)計(jì)結(jié)果對應(yīng)的翼型幾何形狀及壓力分布與目標(biāo)翼型幾何形狀及壓力分布的對比。可以看出,使用2種模型反設(shè)計(jì)所得的翼型的幾何形狀及壓力分布與目標(biāo)翼型的幾何形狀及壓力分布都吻合得很好,但是仔細(xì)比較,GEK表現(xiàn)比Kriging更好,這可在圖中圓圈部分可以看出。

5結(jié)

在氣動設(shè)計(jì)領(lǐng)域，由于當(dāng)前已具備高效計(jì)算梯度的技術(shù)——Adjoint方法，因此，將目標(biāo)函數(shù)與其梯度相結(jié)合建立代理模型來進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，可能有著很大的潛力。為了研究梯度的引入對優(yōu)化設(shè)計(jì)的影響，本文首先將Kriging模型、梯度增強(qiáng)的Kriging模型、多點(diǎn)加點(diǎn)準(zhǔn)則、多種傳統(tǒng)優(yōu)化算法相結(jié)合，發(fā)展了一套基于代理模型的高效、通用優(yōu)化設(shè)計(jì)框架。其中，本文發(fā)展了一種多點(diǎn)加點(diǎn)準(zhǔn)則，并將加點(diǎn)準(zhǔn)則推廣到含約束的形式。再次，基于相同的優(yōu)化設(shè)計(jì)框架，對使用梯度增強(qiáng)的Kriging模型和使用Kriging模型的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行了比較。在假設(shè)梯度的計(jì)算花費(fèi)與目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算花費(fèi)相同的情況下，對于絕大多數(shù)問題，在總的計(jì)算量一致的前提下，使用GEK時收斂更快且優(yōu)化結(jié)果更好。此外，還使用工程實(shí)際中的翼型壓力反設(shè)計(jì)對Kriging和GEK的效果進(jìn)行了對比，結(jié)果顯示，當(dāng)使用GEK模型時，優(yōu)化結(jié)果和優(yōu)化效率都高于使用Kriging模型。

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Comparative Study of GEK (Gradient-Enhanced Kriging) and

Kriging When Applied to Design Optimization

Liu Jun, Song Wenping, Han Zhonghua, Wang Le

US News and World Report把北大、清華、復(fù)旦

列入2016年世界高校最強(qiáng)的前96名

中國日報(bào)Thursday,Cotober 8th,2015刊載了US News and World Report 2014年開始列出world′s top 750 universities overall的名次。2016年世界最強(qiáng)高校的前10名，8個在美國(第1名Harvard，第2名MIT，第3名UC Berkeley，第4名Stanford，第7名CIT，第8名UCLA，第9名Columbia，第10名Chicago)2個在英國(第5名Oxford，第6名Cambridge)。

中國三校列入2016年世界最強(qiáng)高校的前96名：北京大學(xué)41名，清華大學(xué)59名，復(fù)旦大學(xué)96名。

在工科科研方面2016年rankings把清華大學(xué)列為世界最強(qiáng)高校。

胡沛泉

2015年10月

Abstract:In many engineering optimization design problems, the objective function (s) as well as the constraint function (s) are really computationally expensive. To reduce the computational time and shorten the design process, surrogate models are often used. In recent years, to further improve the design efficiency, a variety of new surrogate models are developed as extensions from the traditional models and verified to have higher efficiency for prediction, such as the variable-fidelity models and gradient-enhanced models. To investigate the design optimization efficiency when these new surrogate models are used, a universal surrogate-based optimization framework, which combines the surrogate models, multi sample point infill criteria, and multi-type traditional optimization algorithms, is developed first. Then, several typical analytical optimization problems are employed to compare the optimization efficiency when the widely used Kriging and a newly developed GEK are used respectively. The results and their analysis show preliminarily that, for most cases, GEK get better optimal solution with the same computational expense. Finally, an engineering problem, the airfoil inverse design is introduced for comparison; the gradients of the objective functions used to construct the GEK are obtained by the efficient adjoint method. The results and their analysis also show preliminarily that, when using the GEK, not only the efficiency, but also the optimal solution can be improved as compared with the Kriging model.

Key words:aerodynamic drag, aerodynamics, airfoils, angle of attack, computational efficiency, convergence of numerical methods, design, drag coefficient, efficiency, flowcharting, force cashing, genetic algorithms, inverse problems, Mach number, matrix algebra, maximum likelihood estimation, mean square error, optimization, parameterization, Reynolds number; aerodynamic optimization design, expected improvement, GEK (gradient-enhance Kriging), infill criteria, Kriging model

中圖分類號：V211.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號:1000-2758(2015)05-0819-08

作者簡介：劉俊(1986—)，西北工業(yè)大學(xué)博士研究生，主要從事飛行器的氣動優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。

基金項(xiàng)目：國家高技術(shù)發(fā)展計(jì)劃863項(xiàng)目(2012AA051301)與國家自然科學(xué)基金(11272265)資助

收稿日期：2015-03-15