李強(qiáng), 張佼龍, 周軍, 高智剛

(西北工業(yè)大學(xué) 精確制導(dǎo)與控制研究所, 陜西 西安　710072)

行星滾柱絲杠傳動(dòng)機(jī)構(gòu)非線性建模與仿真

李強(qiáng), 張佼龍, 周軍, 高智剛

(西北工業(yè)大學(xué) 精確制導(dǎo)與控制研究所, 陜西 西安710072)

摘要：以行星滾柱絲杠為研究對(duì)象，針對(duì)伺服控制所關(guān)注的傳動(dòng)間隙和機(jī)構(gòu)剛度2個(gè)非線性因素，建立了基于行星滾柱絲杠的擺動(dòng)搖臂式彈載伺服系統(tǒng)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)非線性數(shù)學(xué)模型。重點(diǎn)建立了該傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)間隙模型、間隙動(dòng)態(tài)計(jì)算模型及變剛度模型，結(jié)合行星滾柱絲杠運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和擺動(dòng)搖臂式傳動(dòng)機(jī)構(gòu)傳動(dòng)模型，最終得到行星滾柱絲杠傳動(dòng)機(jī)構(gòu)非線性數(shù)學(xué)模型。據(jù)此進(jìn)行了帶載條件下的伺服機(jī)構(gòu)性能仿真，分析了間隙與剛度對(duì)伺服機(jī)構(gòu)性能的影響，并使用性能向量法對(duì)不同傳動(dòng)間隙和組件剛度的影響進(jìn)行了評(píng)價(jià)總結(jié)。

關(guān)鍵詞：行星滾柱絲杠;間隙;剛度;性能向量;彈載伺服系統(tǒng)

行星滾柱絲杠具有承載能力和剛度更高，壽命更長，轉(zhuǎn)速更高，體積更小的優(yōu)異特性[1]，使其成為大傳動(dòng)比彈載伺服系統(tǒng)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的很好選擇[2-3]。然而，若行星滾柱絲杠式伺服機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)不當(dāng)，傳動(dòng)間隙過大或傳動(dòng)剛度不足的問題會(huì)極大影響行星滾柱絲杠傳動(dòng)性能。目前，針對(duì)行星滾柱絲杠式傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的研究中尚無針對(duì)行星滾柱絲杠傳動(dòng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中剛度的動(dòng)態(tài)變化進(jìn)行建模和分析的成果發(fā)表。傳動(dòng)機(jī)構(gòu)間隙方面的成果尚無在行星滾柱絲杠傳動(dòng)模型中引入多個(gè)間隙動(dòng)態(tài)計(jì)算模型并仿真分析間隙對(duì)彈載伺服系統(tǒng)性能影響的成果發(fā)表。

本文旨在針對(duì)行星滾柱絲杠式彈載伺服傳動(dòng)機(jī)構(gòu)建立考慮傳動(dòng)間隙和機(jī)構(gòu)剛度兩大非線性因素的數(shù)學(xué)模型。此模型既可用于高速、高過載、高作動(dòng)頻率下的彈載伺服系統(tǒng)仿真，又可用于分析各部位傳動(dòng)間隙和組件剛度對(duì)伺服機(jī)構(gòu)性能的影響。

1行星滾柱絲杠理想傳動(dòng)模型

行星滾柱絲杠采用行星傳動(dòng)原理。滾柱既在絲杠驅(qū)動(dòng)下自轉(zhuǎn)，又隨著滾柱保持架公轉(zhuǎn)，從而將絲杠的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為螺母的直線運(yùn)動(dòng)，其徑向剖面結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1　行星滾柱絲杠徑向剖面結(jié)構(gòu)簡圖

若絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)、螺母直線運(yùn)動(dòng)，則滾柱與螺母接觸點(diǎn)為滾柱的速度瞬心，由速度瞬心法得：

(1)

式中,ω為絲杠角速度;ωμ為滾柱自轉(zhuǎn)角速度;ω′為滾柱公轉(zhuǎn)角速度。

(2)

式中,P為螺距;s1為絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)一周,滾柱相對(duì)螺母的軸向位移;s2為絲杠旋轉(zhuǎn)一周,滾柱相對(duì)絲杠的軸向位移;ns為絲杠頭數(shù);nL為螺母頭數(shù)。

由滾柱與螺母間無軸向相對(duì)運(yùn)動(dòng)得出:

(3)

同理,螺母轉(zhuǎn)動(dòng)、絲杠直線運(yùn)動(dòng)情況下的行星滾柱絲杠運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為:

(4)

式中,H1為螺母旋轉(zhuǎn)一周,滾柱相對(duì)絲杠的軸向位移;H2為螺母旋轉(zhuǎn)一周,滾柱相對(duì)螺母的軸向位移。

由滾柱與絲杠間無軸向位移得出:

(5)

聯(lián)立(2)式～(5)式得,螺母與絲杠相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)一周產(chǎn)生的直線位移為:

(6)

2擺動(dòng)搖臂式傳動(dòng)機(jī)構(gòu)理想模型

行星滾柱絲杠的螺旋運(yùn)動(dòng)可以等效為圖2所示運(yùn)動(dòng)。F1為絲杠公稱半徑處的作用力,其對(duì)絲杠的驅(qū)動(dòng)力矩為T1;F2為絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的軸向推力;α為絲杠導(dǎo)程角。

圖2　滾柱絲杠副受載模型[4]

定義擺動(dòng)搖臂式伺服機(jī)構(gòu)中行星滾柱絲杠副組件(AB段)與搖臂(BC段)垂直時(shí)為伺服系統(tǒng)零位,則伺服系統(tǒng)受力模型可等效為圖3所示。

圖3　伺服系統(tǒng)等效受力模型

由力學(xué)平衡與幾何關(guān)系得出機(jī)構(gòu)受載模型為:

(7)

式中,ρ為當(dāng)量摩擦角;η為正傳動(dòng)效率;b、a、l、δ分別為伺服機(jī)構(gòu)長度、零位長度、搖臂長度及舵偏角。

由(7)式得出伺服電機(jī)的驅(qū)動(dòng)力矩:

(8)

故伺服機(jī)構(gòu)傳動(dòng)比為:

(9)

3傳動(dòng)間隙建模及動(dòng)態(tài)計(jì)算

根據(jù)各組件的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系可知,行星滾柱絲杠傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中的間隙主要出現(xiàn)在以下4個(gè)位置:

1) 電機(jī)與主絲杠連接間隙,定義為δ1;

2) 行星滾柱絲杠傳動(dòng)間隙,定義為δ2;

3) 支撐軸承安裝支耳間隙,定義為δ3;

則電機(jī)克服以上間隙所要轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為:

(10)

以上模型給出了4處間隙的最大值。由于彈載伺服系統(tǒng)高頻往復(fù)的作動(dòng)特性,各間隙在零至最大值之間動(dòng)態(tài)變化,且多間隙共同作用的結(jié)果并非每個(gè)間隙作用的簡單疊加。因此需要根據(jù)伺服機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),進(jìn)行傳動(dòng)間隙動(dòng)態(tài)計(jì)算，方法如下:

1) 在時(shí)刻ti判斷間隙模型輸入速度ωin和加速度αin方向。若ωin、αin同向,標(biāo)識(shí)符Pi=1,反之Pi=-1。

4) 若δ≤0,速度輸出跟蹤速度輸入;否則,間隙模型輸出速度保持不變。

通過在(10)式中各間隙對(duì)應(yīng)的傳動(dòng)比后引入該動(dòng)態(tài)計(jì)算模型即可實(shí)現(xiàn)多間隙動(dòng)態(tài)計(jì)算。

反應(yīng)壽險(xiǎn)需求的指標(biāo)較多，在這里我們考慮數(shù)據(jù)的可得性和人口數(shù)量對(duì)壽險(xiǎn)需求的影響，選取人均壽險(xiǎn)保費(fèi)收入(元)Y來作為被解釋變量。

4傳動(dòng)機(jī)構(gòu)剛度分析與建模

設(shè)圓錐滾子軸承、上下支耳、螺母、絲杠、螺牙、搖臂受到軸向力F作用產(chǎn)生的軸向變形分別為Δ1、Δ2、Δ3、Δ4、Δ6、Δ7;螺母相對(duì)于絲杠的軸向變形為Δ5;絲杠在電機(jī)扭矩T作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形Δθ1;輸出軸受鉸鏈力矩M作用產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形Δθ2。則可將以上變形根據(jù)部件組成分為五類:(1)絲杠支撐軸承及上下支耳變形Δ1Δ2;(2)絲杠螺母軸向變形Δ3Δ4Δθ1;(3)滾柱與絲杠、滾柱與螺母接觸變形Δ5Δ6;(4)搖臂變形Δ7;(5)輸出軸變形Δθ2。

其中,Δ5由螺母和絲杠分別相對(duì)于滾柱的軸向變形量組成,為接觸變形,可根據(jù)赫茲變形理論得出;除Δ5外的變形可根據(jù)受載分析得出。

最終建立起基于行星滾柱絲杠的擺動(dòng)搖臂式傳動(dòng)機(jī)構(gòu)剛度模型為:

(11)

根據(jù)(7)式,機(jī)構(gòu)長度b隨舵偏角δ變化,因此剛度隨伺服機(jī)構(gòu)作動(dòng)是動(dòng)態(tài)變化的。將舵偏角δ和軸向力F作為輸入變量,采用與間隙引入相似的方法將(11)式所示剛度模型引入行星滾柱絲杠傳動(dòng)機(jī)構(gòu)理想模型后,即可實(shí)現(xiàn)行星滾柱絲杠傳動(dòng)機(jī)構(gòu)剛度的動(dòng)態(tài)解算。

5性能坐標(biāo)與性能向量

為評(píng)價(jià)和分析不同非線性因素對(duì)系統(tǒng)性能的影響,需要定義統(tǒng)一的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。這里提出性能坐標(biāo)和性能向量的概念,并給出歸一化范數(shù)表達(dá)式。

定義:

性能坐標(biāo):設(shè)系統(tǒng)A存在特性P1、P2、P3、…、Pn,其相應(yīng)的歸一化性能指標(biāo)p1、p2、p3、…、pn∈C,則定義(p1,p2,p3,…,pn)∈Cn為系統(tǒng)A特性P1、P2、P3、…、Pn的性能坐標(biāo)。

基于性能向量的概念,可以利用性能向量的范數(shù)來定量衡量系統(tǒng)性能的變化。為消除各性能指標(biāo)量綱不同對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果的影響,給出經(jīng)過歸一化處理的范數(shù)表達(dá)式:

(12)

式中,下標(biāo)j表示不同的系統(tǒng)。

對(duì)于機(jī)電伺服系統(tǒng)研制過程中關(guān)注的系統(tǒng)幅頻特性和動(dòng)態(tài)特性,定義帶寬為x,上升時(shí)間為y。

6仿真分析與評(píng)價(jià)

仿真過程中采用彈性負(fù)載力矩模擬舵面氣動(dòng)力矩的負(fù)載特性，傳動(dòng)間隙和組件剛度影響下，伺服系統(tǒng)頻帶特性曲線如圖4所示，方波指令下速度曲線如圖5所示。

圖4　間隙、剛度影響下的系統(tǒng)Bode圖

圖5　方波指令下的系統(tǒng)速度曲線

用性能向量法分析各主要傳動(dòng)間隙和組件剛度對(duì)系統(tǒng)性能的影響，結(jié)果如表1所示。

表1　間隙及剛度對(duì)系統(tǒng)性能的影響

分析上述仿真圖表可得以下4點(diǎn)結(jié)論：

1)間隙對(duì)系統(tǒng)頻帶性能的影響表現(xiàn)為低頻段和高頻段系統(tǒng)增益的增大；而剛度的影響為全頻段系統(tǒng)響應(yīng)幅值衰減、相位滯后。

2)受剛度不足影響，系統(tǒng)響應(yīng)速度下降，上升時(shí)間延長。間隙影響表現(xiàn)在速度調(diào)節(jié)呈階梯狀變化，且達(dá)到穩(wěn)態(tài)后速度曲線呈方波狀振蕩。

3)各傳動(dòng)間隙對(duì)系統(tǒng)性能綜合影響大小順序?yàn)椋盒行菨L柱絲杠傳動(dòng)間隙≈絲杠支撐軸承與支耳游隙>電機(jī)與絲杠傳動(dòng)間隙≈限位軸承與導(dǎo)向槽間隙。

4)各組件剛度對(duì)系統(tǒng)性能影響大小為：支撐軸承及支耳剛度>搖臂剛度>絲杠螺母軸向剛度>行星滾柱絲杠接觸剛度>輸出軸剛度。

7結(jié)論

針對(duì)彈載伺服機(jī)構(gòu)高速、高過載、高作動(dòng)頻率的工作特性，本文基于行星滾柱絲杠運(yùn)動(dòng)學(xué)及受載分析，建立了行星滾柱絲杠傳動(dòng)機(jī)構(gòu)理想模型。在此基礎(chǔ)上，考慮傳動(dòng)間隙和組件剛度2個(gè)非線性因素，建立了各部位傳動(dòng)間隙模型、間隙動(dòng)態(tài)計(jì)算方法和各組件變剛度模型，按照運(yùn)動(dòng)傳遞關(guān)系將其引入理想模型，完成了行星滾柱絲杠傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的非線性建模。本文在仿真分析間隙和剛度對(duì)系統(tǒng)性能影響的基礎(chǔ)上，以性能向量衡量各傳動(dòng)間隙及不同組件剛度對(duì)系統(tǒng)性能的影響。

參考文獻(xiàn)：

[1]Velinsky S A. Kinematics and Efficiency Analysis of the Planetary Roller Screw Mechanism[J]. Journal of Mechanical Design, 2009, 131(1):1-8

[2]Lemor P C. The Roller-Screw, an Efficient and Reliable Mechanical Component of Electro-Mechanical Actuators[C]//Proceedings of the 31st Intersociety, 1996: 215-220

[3]Wander J. Initial Disturbance Accommodating Control System Analysis for Prototype Electromechanical Space Shuttle Steering Actuator[C]//Proceedings of the American Control Conference, 1995: 3961-3964

[4]張佼龍, 周軍, 周鳳岐. 滾珠絲杠舵機(jī)應(yīng)用問題研究[J]. 機(jī)械與電子, 2011(10):15-19

Zhang Jiaolong, Zhou Jun, Zhou Fengqi. Application Study on Ball Screw Actuator[J]. Machinery & Electronics, 2011(10):15-19 (in Chinese)

Nonlinear Modeling and Simulation of a Planetary Roller Screw

Based Transmission

Li Qiang, Zhang Jiaolong, Zhou Jun, Gao Zhigang

(Institute of Precision Guidance and Control, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

Abstract:In this paper, the planetary roller screw (PRS) is studied through focusing on the nonlinear factors of clearance and stiffness to constitute a nonlinear model of a PRS based transmission. By combining the focally constructed models of clearances, dynamic calculation of clearance and variable stiffness with those of PRS mechanism and transmission, the proposed nonlinear model is established. After simulating the effects of overall clearance and compliance, performance vector is applied to collating effects of various clearances and compliances across the mechanism for further analysis.

Key words:angular velocity, Bode diagrams, calculations, computer simulation, friction, kinematics, mathematical models, mechanisms, servomotors, stiffness, transmissions, vectors; clearance, missile-borne servo systems, performance vector, planetary roller screw

中圖分類號(hào)：TP391.9

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào):1000-2758(2015)05-0739-05

作者簡介：李強(qiáng)(1990—)，西北工業(yè)大學(xué)博士研究生，主要從事導(dǎo)彈及航天器制導(dǎo)與控制、電動(dòng)伺服系統(tǒng)控制研究。

收稿日期：2015-04-16