邵延君，馬春茂，潘宏俠，劉永姜

（1.中北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，太原030051；2.西北機(jī)電工程研究所，陜西咸陽712099）

基于排隊(duì)系統(tǒng)的GERT模型的故障裝備數(shù)量預(yù)測*

邵延君1，馬春茂2，潘宏俠1，劉永姜1

（1.中北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，太原030051；2.西北機(jī)電工程研究所，陜西咸陽712099）

針對排隊(duì)維修系統(tǒng)的故障武器裝備數(shù)量預(yù)測的難點(diǎn)，提出了利用GERT隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型對故障武器裝備數(shù)量進(jìn)行預(yù)測，GERT隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型是一種針對隨機(jī)變化的系統(tǒng)的一種網(wǎng)絡(luò)描述，恰好能解決故障武器裝備數(shù)量的預(yù)測問題，準(zhǔn)確的故障裝備數(shù)量預(yù)測是武器裝備科學(xué)管理的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。通過實(shí)例驗(yàn)證表明，GERT隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型是解決故障武器裝備數(shù)量預(yù)測的一種有效手段和方法。

故障裝備，GERT模型，排隊(duì)系統(tǒng)，維修

0 引言

自Erlang開創(chuàng)排隊(duì)論至今已經(jīng)有一百多年的歷史，在社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，經(jīng)典的排隊(duì)論已經(jīng)是非常成熟的理論，經(jīng)典的排隊(duì)論假設(shè)顧客的到達(dá)過程是泊松過程，到達(dá)的時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，假設(shè)服務(wù)系統(tǒng)對顧客的服務(wù)過程是一個(gè)生滅過程，在這些假設(shè)的基礎(chǔ)上，得到了排隊(duì)系統(tǒng)中的幾個(gè)基本數(shù)量指標(biāo):平均隊(duì)長、平均排隊(duì)對長、平均逗留時(shí)間、平均等待時(shí)間等［1］。在武器裝備維修系統(tǒng)中，如果把故障的裝備看作是顧客，除了經(jīng)典排隊(duì)模型求出的基本數(shù)量指標(biāo)以外，還關(guān)心裝備維修系統(tǒng)在運(yùn)行一段時(shí)間以后，整個(gè)武器裝備系統(tǒng)發(fā)生故障的數(shù)量，以便及時(shí)安排備件采購和維修人員調(diào)配等工作，以免影響裝備的戰(zhàn)斗力水平。但經(jīng)典的排隊(duì)論理論是無法解決這個(gè)問題的，因此，考慮在排隊(duì)維修系統(tǒng)中引入GERT（Graphical Evaluation Review Technique）隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型來對故障裝備數(shù)量進(jìn)行預(yù)測。

GERT簡稱圖示評審技術(shù)，是一種針對隨機(jī)變化的環(huán)境條件和系統(tǒng)內(nèi)部隨機(jī)因素共同作用下對系統(tǒng)的一種網(wǎng)絡(luò)描述［2-3］。它是將控制論中的信號流圖和概率論中的矩母函數(shù)等多種理論和方法相融合的一種方法，當(dāng)前，它已被廣泛應(yīng)用在產(chǎn)品回收、再制造、災(zāi)害演化等很多方面［4-6］。本文建立GERT隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)排隊(duì)維修系統(tǒng)的仿真模型，來解決故障的武器裝備數(shù)量預(yù)測問題，該模型能將排隊(duì)維修系統(tǒng)的參數(shù)轉(zhuǎn)化為形象直觀的網(wǎng)絡(luò)圖，并通過參數(shù)的計(jì)算來預(yù)測故障的裝備數(shù)量，對武器裝備的預(yù)防性維修等管理工作具有現(xiàn)實(shí)的指導(dǎo)意義。

1 GERT隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型的解析算法原理

1.1 矩母函數(shù)

對于任意一個(gè)隨機(jī)變量X，任意一個(gè)實(shí)數(shù)s，令MX（s）是X這個(gè)隨機(jī)變量的矩母函數(shù)，并且定義：

1.2 梅森拓?fù)浞匠?/p>

此方程可以表述如下：

設(shè)：Ti，j為由一個(gè)節(jié)點(diǎn)i到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)j的等價(jià)傳遞系數(shù)；xi，xj表示信號流圖中節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j之間的變量值

式中：pk表示由i到j(luò)第k條路徑上的傳遞系數(shù)；Δk表示消去與第k條路徑有關(guān)的全部節(jié)點(diǎn)和箭頭后剩余圖的特征式；Δ表示信號流圖的特征式；Δ=1-∑T（L1）+∑T（L2）-∑T（L3）+…=1-∑奇階環(huán)的傳遞系數(shù)+∑偶階環(huán)的傳遞系數(shù)。

1.3 GERT網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)

信號流圖原理和矩母函數(shù)的特征是形成GERT網(wǎng)絡(luò)解析算法的基礎(chǔ)。令活動(dòng)（ij）的條件概率密度函數(shù)為f（tij），則得到隨機(jī)變量的條件矩母函數(shù)為：

令節(jié)點(diǎn)i實(shí)現(xiàn)時(shí)，活動(dòng)（ij）被執(zhí)行的概率為pij；并定義活動(dòng)（ij）的傳遞函數(shù)為Wij（s），使得：

對具有傳遞函數(shù)Wij（s）的網(wǎng)絡(luò)，利用信號流圖的原理，求解它的等效WE（s）函數(shù)，然后根據(jù)矩母函數(shù)的特征進(jìn)行換算，就得到了網(wǎng)絡(luò)圖的等價(jià)參數(shù)PE和TE，在GERT網(wǎng)絡(luò)中，信號流圖原理和矩母函數(shù)相互的結(jié)合為我們提供了求解隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的工具。

1.4 GERT網(wǎng)絡(luò)求解原理

根據(jù)WE（s）=pE×WE（s）

根據(jù)矩母函數(shù)的特征，當(dāng)s=0時(shí)：

因而，等價(jià)概率pE就等于等價(jià)傳遞函數(shù)WE（s）在s=0時(shí)的值。即：

對于任意的GERT網(wǎng)絡(luò)，如果能利用梅森公式求解出它的等價(jià)傳遞函數(shù)WE（s），則就能相應(yīng)的求得它的矩母函數(shù)ME（s）：

根據(jù)矩母函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)在s=0處的數(shù)值為隨機(jī)變量的n階原點(diǎn)矩這一基本性質(zhì)，有：

因此，對于一個(gè)任意的GERT網(wǎng)絡(luò)，首先收集各項(xiàng)活動(dòng)的參數(shù)，用W函數(shù)來描述傳遞關(guān)系，并利用梅森拓?fù)浞匠虂砬蠼獾葍r(jià)概率和等價(jià)傳遞函數(shù)WE（s），再根據(jù)矩母函數(shù)的基本性質(zhì)，即可反演求得網(wǎng)絡(luò)的所有參數(shù)。這就是GERT解析算法的基本思路，它可以求任意的節(jié)點(diǎn)之間的WE（s），也就是能求出任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的PE和TE。

2 GERT網(wǎng)絡(luò)模型的實(shí)例分析

XX防空雷達(dá)維修小組負(fù)責(zé)維修的XX型號雷達(dá)共有2臺(tái)，另有1臺(tái)備用，以便在出現(xiàn)故障時(shí)投入使用。假設(shè)每臺(tái)雷達(dá)維修時(shí)間和出現(xiàn)故障的間隔時(shí)間均服從負(fù)指數(shù)分布，則該裝備維修服務(wù)系統(tǒng)符合輸入過程為泊松過程，服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布的隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，系統(tǒng)容量和顧客總體均為有限，且按先到先服務(wù)規(guī)則的排隊(duì)系統(tǒng)，裝備維修的過程是可以表示為（M/M/1）：（m+n/m/FCFS）排隊(duì)系統(tǒng)。

假設(shè)每臺(tái)雷達(dá)的平均故障間隔時(shí)間為1/λ，平均修理一臺(tái)雷達(dá)的時(shí)間為1/μ，即λ和μ分別表示平均的故障發(fā)生速率和平均修理速率，故障發(fā)生速率和平均修理速率之比為λ/μ=1/2，用處于修理和等待修理中的雷達(dá)臺(tái)數(shù)來表示該排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)，用i表示，i=0，1，2，3。

（1）求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

對于狀態(tài)有限的排隊(duì)系統(tǒng)，其系統(tǒng)到達(dá)速率與服務(wù)速率的關(guān)系如表1所示：

表1 到達(dá)速率與服務(wù)速率的關(guān)系

故系統(tǒng)由狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到i+1的概率為λi/（λi+μi），而由狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到i-1的概率為μi/（λi+μi），則p01=1；p10=1/2；p12=1/2；p21=2/3；p23=1/3；p32=1。

（2）建立GERT網(wǎng)絡(luò)模型

由于雷達(dá)出現(xiàn)故障的間隔時(shí)間和維修時(shí)間都服從負(fù)指數(shù)分布，根據(jù)式（2）求各節(jié)點(diǎn)間的矩母函數(shù)為：

根據(jù)式（3）可以得到節(jié)點(diǎn)之間的傳遞函數(shù)，從而得到該系統(tǒng)的GERT網(wǎng)絡(luò)模型如圖1所示。

圖1 GERT網(wǎng)絡(luò)模型圖

（3）求解在裝備維修小組正常工作條件下，來求解從全部雷達(dá)均處于正常狀態(tài)到首次出現(xiàn)雷達(dá)全部發(fā)生故障，并處于修理或等待修理狀態(tài)的期望時(shí)間（即首次出現(xiàn)i=3的情況的期望時(shí)間），這時(shí)可將節(jié)點(diǎn)3的引出箭頭刪除，其余各個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的傳遞函數(shù)沒有變化，則求得的網(wǎng)絡(luò)的源節(jié)點(diǎn)（0狀態(tài)）傳遞到終結(jié)點(diǎn)（3狀態(tài)）的期望時(shí)間就是雷達(dá)全部發(fā)生故障并處于修理或等待修理狀態(tài)的期望時(shí)間。將圖1的GERT網(wǎng)絡(luò)模型圖改為圖2的網(wǎng)絡(luò)模型圖。

圖2 首次出現(xiàn)雷達(dá)全部故障GERT網(wǎng)絡(luò)模型圖

首先來求梅森的拓?fù)浞匠汤锩娴膮?shù)：

①信號流圖的特征式Δ為：

②消去第k條路徑有關(guān)的全部節(jié)點(diǎn)、箭頭和傳遞系數(shù)后的剩余圖的特征式的乘積的和為：

根據(jù)式（1）則可以得到0狀態(tài)到3狀態(tài)的傳遞函數(shù)為：

根據(jù)式（6），對矩母函數(shù)求導(dǎo)，令s＝0，則可以得到雷達(dá)由正常運(yùn)行到首次全部停止運(yùn)行的期望時(shí)間TE為：

根據(jù)這個(gè)結(jié)果可以預(yù)測，整個(gè)雷達(dá)裝備系統(tǒng)由正常運(yùn)行開始，大約經(jīng)過7個(gè)單位時(shí)間，整個(gè)雷達(dá)裝備系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)全部停止運(yùn)行的情況。依據(jù)上面的步驟和方法，可繼續(xù)利用GERT隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的解析算法，把任何一個(gè)狀態(tài)終結(jié)點(diǎn)引出的所有箭頭去掉，就可以得到初始狀態(tài)到任何一個(gè)狀態(tài)的首達(dá)期望時(shí)間，也就能解決系統(tǒng)運(yùn)行過程中的故障裝備的數(shù)量預(yù)測問題?？勺C明GERT隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的解析算法是預(yù)測故障裝備數(shù)量的一種有效工具。

4 結(jié)論

GERT網(wǎng)絡(luò)豐富的節(jié)點(diǎn)和箭線參數(shù)能夠?qū)ο到y(tǒng)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)拿枋?，能將?fù)雜的系統(tǒng)過程轉(zhuǎn)化為直觀形象的網(wǎng)絡(luò)圖。GERT網(wǎng)絡(luò)模型中的參數(shù)能對事件的概率分布進(jìn)行合理的表達(dá)，最重要的是GERT網(wǎng)絡(luò)能對整個(gè)維修系統(tǒng)運(yùn)用相應(yīng)的解析算法，進(jìn)而求出解析表達(dá)式，對系統(tǒng)運(yùn)行一段時(shí)間以后的裝備故障數(shù)量進(jìn)行預(yù)測，根據(jù)預(yù)測的結(jié)果可以為裝備的預(yù)防性維修等工作提供數(shù)據(jù)支持，在整個(gè)裝備系統(tǒng)發(fā)生癱瘓前進(jìn)行科學(xué)的預(yù)防性維修。

［1］甘應(yīng)愛，田豐，李維錚，等.運(yùn)籌學(xué)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2009.

［2］馮允成，呂春蓮.隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)及其應(yīng)用［M］.北京:北京航空航天大學(xué)出版社，1987.

［3］Pritsker A A B.Graphical Evaluation and Review Technique［M］.Santa Monica:Rand Corp，1966.

［4］Abdi R，Ghasemzadeh H R，Abdollahpour S，et al.Modeling and Analysis of Mechanization Projects of Wheat Production by GERT Networks［J］.Agricultural Sciences in China，2010，9（7）:1078-1083.

［5］謝家平，趙忠.基于GERT隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的廢棄回收預(yù)測模型研究［J］.管理學(xué)報(bào)，2010，7（2）:294-300.

［6］方志耕，楊保華，陸志鵬，等.基于Bayes推理的災(zāi)害演化GERT網(wǎng)絡(luò)模型研究［J］.中國管理科學(xué)，2009，28（3）：39-42.

Prediction for Number of Faulted Equipment Based on Queuing System GERT Model

SHAO Yan-jun1，MA Chun-mao2，PAN Hong-xia1，LIU Yong-jiang1
（1.School of Mechanical Engineering and Automation，North University of China，Taiyuan 030051，China；
2.North West Institute of Mechanics and Electrics Engineering，Xianyang 712099，China）

Aiming at the difficulty to forecast the number of fault armament of queuing maintenance system，this paper proposes the use of GERT random network model to predict the number of fault armament.GERT random network model，a description of randomly changing system，could just solve the problem of predicting the number of faulted armament.Accurate prediction of the number of fault armament is an important part of the scientific management of armament.Experiments show that，GERT random network model is an effective method to forecast the number of fault armament.

fault equipment，GERT model，queuing system，maintenance

TJ307

A

1002-0640（2015）01-0016-03

2013-11-25

：2014-02-19

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51175480）；山西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2012011046-12）

邵延君（1972-），男，內(nèi)蒙古赤峰人，博士。研究方向：武器裝備的維護(hù)與管理、裝備故障診斷等。