張 蕾,史娟榮

1.安徽師范大學數學計算機科學學院，安徽蕪湖，241000； 2.安徽機電職業(yè)技術學院基礎教研室，安徽蕪湖，241000

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一類具有轉向點的非線性奇攝動問題

張 蕾1,2,史娟榮2

1.安徽師范大學數學計算機科學學院，安徽蕪湖，241000； 2.安徽機電職業(yè)技術學院基礎教研室，安徽蕪湖，241000

討論了一類具有轉向點的非線性奇攝動問題，首先用漸近展開法構造出該問題的外部解，通過引入伸長變量，得到在x=x0附近三種不同情形的內層解；利用Prandtl匹配原理，找到轉向點的準確位置，并求出該問題的一階一致有效的漸近展開式。最后將求得結果與數值解進行比較，得到較高的精度。

奇攝動；轉向點；非線性；Prandtl匹配原理

1 問題的提出與分析

非線性奇攝動問題中的一個典型例子：

εy″+yy′-y=0，0

y(0)=α，y(1)=β

其中，ε>0是小參數，α,β為給定的常數。Cole和Nayfeh[1]等人曾對它展開了深入的探討，近年來，國內有關學者[2-8]也就相關問題展開了系列研究。本文以一種更為簡便的方法討論如下奇攝動方程的轉向點問題：

εy″-yy′+yex=0，0

(1)

y(0)=1，y(1)=-1

(2)

其中，ε>0是小參數。因為y(0)=1，y(1)=-1，所以至少存在一點x0∈(0,1)使得y(x0)=0，在此假設僅存在一點x0∈(0,1)使得y(x0)=0，那么當0≤x0，則方程(1)-(2)在x=x0處出現內層現象。

2 外部解

令方程(1)的外部解漸近展開式的形式為：

(3)

將(3)式代入(1)和(2)式,并令等式兩邊ε0的系數相等,可得到：

解得：Y0=0(舍去),或Y0=ex+c0(其中c0為任意常數)。

因此，有外部解：

Y0(x,ε)=ex+c0+O(ε),

(其中0<ε<<1)

(4)

將邊界條件(2)式代入(4)式可得方程(1)的左右解分別為：

接下來構造方程(1)在x=x0處的內層解。

3 構造在x=x0附近的內層解

(5)

令方程(1)在x=x0附近的內層解的漸近展開式的形式為：

(6)

將(6)式代入(5)式并令等式兩邊ε0的系數相等,則有：

(7)

(8)

(9)

(10)

(3)當c1=0時，則(8)式可表示為：

(11)

其中(9)、(10)和(11)式中的b0,b1,c2,c3,c4需通過匹配來確定。

4 內層解與外部解的匹配

(12)

5 復合解

綜合可得方程(1),(2)的復合解為：

(13)

利用不動點定理[10]，可以證明上述(13)式是方程(1),(2)解的一致有效的漸近展開式。

6 匹配漸近解與數值解的比較

取ε=0.1，將利用模擬方法得到的數值解曲線和利用匹配方法得到的漸近解曲線的圖形進行比較，如圖1所示。

由圖1可以看出方程(1),(2)的匹配解和模擬數值解的曲線非常接近，這意味著匹配漸近解具有較高的精確度。

圖1 匹配漸近解與模擬數值解的曲線圖比較

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10.3969/j.issn.1673-2006.2015.04.025

2014-11-25

張蕾(1978-)，女，安徽安慶人，講師，主要研究方向：應用微分方程。

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1673-2006(2015)04-0089-03