王永茂， 王 丹， 龍 梅， 贠小青

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

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跳-擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型下的最優(yōu)投資和再保策略

王永茂， 王 丹， 龍 梅， 贠小青

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

研究了跳-擴(kuò)散模型下的最優(yōu)投資和最優(yōu)再保險(xiǎn)策略問題.基于跳-擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型，考慮購(gòu)買非便宜比例再保險(xiǎn)，以及資產(chǎn)投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的條件下,通過應(yīng)用HJB方程理論，得到破產(chǎn)時(shí)期望紅利最大的最優(yōu)策略和值函數(shù).同時(shí)給出了當(dāng)理賠分布為指數(shù)分布時(shí)最優(yōu)投資策略和值函數(shù)的計(jì)算方法.算例中給出了一些參數(shù)對(duì)投資策略的影響，可以看出投資策略是符合實(shí)際情況的.

跳-擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型； Hamilton-Jacobi-Bellman方程； 再保險(xiǎn)； 投資策略

0 引言

保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，保險(xiǎn)公司僅靠保費(fèi)收入來(lái)滿足保險(xiǎn)賠付并盈利是非常困難的.因此，保險(xiǎn)公司通常會(huì)采取再保險(xiǎn)，并對(duì)盈余部分進(jìn)行投資，從而使公司減少所面臨的風(fēng)險(xiǎn)，并從投資中獲得大量的收益.但再保險(xiǎn)安排不當(dāng)會(huì)減少自身的收益，同時(shí)投資也是有風(fēng)險(xiǎn)的.因此，控制投資和再保險(xiǎn)使得某個(gè)目標(biāo)最優(yōu)是風(fēng)險(xiǎn)理論的一個(gè)研究熱點(diǎn).文[1]對(duì)跳-擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了研究，在盈余投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的條件下，考慮了同樣的最優(yōu)投資問題，但沒考慮再保險(xiǎn).文[2-3]又對(duì)此內(nèi)容進(jìn)行了擴(kuò)充.本文加入了再保險(xiǎn)因素，使得內(nèi)容更符合實(shí)際.

1 模型的描述

假設(shè)在完備的概率空間(Ω,F,P)上定義所有的隨機(jī)過程和隨機(jī)變量，并且有一滿足通常條件的σ-流{Ft,t≥0}，即Ft右連續(xù)且P完備.并且假設(shè)允許連續(xù)交易，所有資產(chǎn)都是無(wú)窮可分的.此處不考慮交易費(fèi)用和稅收.

下面給出此模型的假設(shè).假設(shè)模基型于跳-擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型，同時(shí)考慮保險(xiǎn)公司允許再保險(xiǎn)，并將資產(chǎn)投資于金融市場(chǎng),最后還要考慮邊界分紅.

1.1 跳-擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型

考慮跳-擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型，盈余為

(1)

其中，c是保險(xiǎn)公司單位時(shí)間的保費(fèi)收入；{W0(t),t≥0}是標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)，表示擴(kuò)散變差參數(shù)；Yk表示第k次的賠付額，{Yk,k=1,2,…}的共同分布為F(y)，密度函數(shù)為f(y)；{Nt,t≥0}是參數(shù)為λ>0的Poisson過程，表示t時(shí)刻為止發(fā)生的索賠次數(shù).

1.2 再保險(xiǎn)因素下的跳-擴(kuò)散模型

假設(shè)保險(xiǎn)公司允許再保險(xiǎn).考慮非便宜比例再保險(xiǎn)[4]，再保的水平為(1-a)，即保險(xiǎn)公司的自留比例為0≤a≤1，分出比例為(1-a).保險(xiǎn)公司要向再保公司支付一定的保費(fèi)，設(shè)保費(fèi)率為θ(1-a)，θ>μ，其中μ=c-EYk.則式(1)變?yōu)?/p>

(2)

1.3 資產(chǎn)投資因素下的跳-擴(kuò)散模型

考慮一個(gè)金融市場(chǎng)，市場(chǎng)只有兩種資產(chǎn)可供交易，其中一個(gè)是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn).無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格過程滿足dB(t)=rB(t)dt，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格過程[5]滿足dS(t)=S(t)(μdt+σdW1(t))，其中,r>0為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，μ>0表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)期收益率，σ>0表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率，{W1(t),t≥0}是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，假設(shè)布朗運(yùn)動(dòng)W0(t)和W1(t)的相關(guān)系數(shù)為ρ，即E[W0(t)W1(t)]=ρt.

在任何時(shí)間t，Xt為保險(xiǎn)公司的總財(cái)富，At為保險(xiǎn)公司投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的財(cái)富，一旦At給定，則t時(shí)刻，保險(xiǎn)公司的財(cái)富過程為

(3)

1.4 邊界分紅因素下的跳-擴(kuò)散模型

投資的目的是使破產(chǎn)時(shí)的期望紅利最大[6]，即找到最優(yōu)的值函數(shù)(期望折現(xiàn)紅利的最大值),

2 最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)策略

由Schmidli[7]得到引理1,2.

引理1假設(shè)V(x;π)是定義在R+上的二次連續(xù)可微函數(shù)，則V(x;π)滿足Hamilton-Jacobi-Bellman方程

(4)

V(x,π)=x-π+V(π-;π),x≥π.

引理2方程(4)可以表示成

證明在方程(4)中對(duì)A求一階偏導(dǎo),得到對(duì)應(yīng)的最優(yōu)策略為

(5)

將(5)式代入(4)式得

(6)

為使方程簡(jiǎn)化，假設(shè)

將其代入式(6)，則式(6)化簡(jiǎn)為

(7)

3 理賠分布為特殊分布時(shí)的最優(yōu)策略

當(dāng)理賠為一些特殊分布時(shí)，給出它們的計(jì)算方法，并進(jìn)一步給出經(jīng)濟(jì)分析.

定理1假設(shè)V(x;b)滿足引理中的HJB方程及邊界條件，并且方程中的理賠分布為指數(shù)分布時(shí)，則最優(yōu)策略A滿足

其中Zn可由下列離散化等式求出,

證明假設(shè)理賠為指數(shù)分布，理賠分布為f(y)=ke-ky，則

F(y)=1-e-ky，H(y)=e-ky.

下面給出值函數(shù)、最優(yōu)投資策略的計(jì)算方法.

設(shè)w(y)=v(y)eky則有

w′(y)=v′(y)eky+kw(y),(w′(y)-kw(y))/w(y)=v′(y)/v(y)，

將其代入(7)式，并且等式兩邊同時(shí)乘以eks,得到

(8)

將Z(s)代入(8)式，得

(9)

在式(9)中對(duì)s求導(dǎo)，求導(dǎo)后兩邊同時(shí)除以w(s)，則

(10)

設(shè)Wn=W(nh),Zn=Z(nh),vn=v(nh),An=A(nh)，則可將以上結(jié)果離散化為

由(7)式可知

因?yàn)関=V′(x;π)=V′(nh;π)=Vn，所以

得證.

4 數(shù)值模擬

設(shè)a=0.5,λ=3,δ=0.06,r=0.04,k=1,c=3.6,θ=0.6,ρ=-0.1,β=0.1,h=0.01.圖1和圖2分別給出了參數(shù)σ和μ對(duì)投資策略A(x)的影響.

由圖1可以看出，隨著σ的增大，A(x)逐漸減小.因?yàn)棣冶硎撅L(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)，σ越大說(shuō)明風(fēng)險(xiǎn)越大，所以投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資額就要越少，這是與實(shí)際相符的.

由圖2可以看出，隨著μ的增大，A(x)逐漸增大.因?yàn)棣瘫硎撅L(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的利率，μ越大說(shuō)明投資者的預(yù)期收益率越大，所以投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的額度就越多，這也是與實(shí)際相符的.

圖1 μ=0.1時(shí)σ對(duì)投資策略的影響

圖2 σ=0.1時(shí)μ對(duì)投資策略的影響

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Optimal Investment and Reinsurance Policy for Jump-diffusion Risk Model

WANG Yong-mao, WANG Dan, LONG Mei， YUAN Xiao-qing

(DepartmentofScience,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

The optimal investment and reinsurance policies of an insurer was studied with jump-diffusion risk model. It was obtained that the equation of optimal policy and value function which maximized the expected dividend in the ruin time through applying the theory of HJB equation, under the assumption that the insurer was allowed to purchase non-cheap proportional reinsurance and invest in the risky-free asset and risky asset. The calculation method of optimal investment strategy and value function were presented when the claim distribution was exponential. In numerical example, according to the effect of some parameters on the investment strategy, it was concluded that the investment strategy conformed to actual situation.

jump-diffusion risk model; Hamilton-Jacobi-Bellman equation; reinsurance; investment strategy

2014-09-21

秦皇島市科學(xué)技術(shù)研究與發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目，編號(hào)201302A221.

王永茂(1958-)，男，河北阜城人，教授，主要從事保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)分析及金融數(shù)學(xué)研究，E-mail:mrymw@ysu.edu.cn.

F840.62

A

1671-6841(2015)01-0050-05

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.01.011