王海宇

(中原工學院 系統(tǒng)與工業(yè)工程技術研究中心 河南 鄭州 450007)

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基于產品長度的3重抽樣均值控制圖優(yōu)化設計

王海宇

(中原工學院 系統(tǒng)與工業(yè)工程技術研究中心 河南 鄭州 450007)

研究了3重抽樣均值控制圖的優(yōu)化設計問題.分析了3重抽樣均值控制圖的平均產品長度分別在受控和失控情況下的計算方法，在此基礎上建立了基于失控狀態(tài)下平均產品長度最小化原則的控制圖參數優(yōu)化設計，并通過與原有的3重抽樣均值控制圖進行性能對比，驗證了優(yōu)化設計模型的有效性.

3重抽樣控制圖； 產品長度； 優(yōu)化設計

0 引言

在統(tǒng)計質量控制中，休哈特控制圖由于設置簡單且易于計算，已經廣泛應用于各類生產過程的質量監(jiān)控.休哈特均值控制圖是應用范圍最廣的一種控制圖方法，主要用于監(jiān)控過程均值的變異，當過程均值發(fā)生較大的偏移時，休哈特均值控制圖能快速有效地發(fā)現過程異常，但當過程均值發(fā)生微小偏移時，這種控制圖方法的監(jiān)控效果不佳.為了提高對微小偏移的監(jiān)測效率，人們對控制圖的設計和抽樣方式進行了改進，包括變化抽樣區(qū)間的均值(variable sampling intervals,VSI)控制圖、變化樣本容量(variable sampling size,VSS)控制圖、雙抽樣(double sampling,DS)控制圖等，并由此形成了動態(tài)控制圖這一新的研究領域[1-2].DS控制圖將二次抽樣檢測的概念結合到控制圖理論中，采用兩個階段的抽樣來監(jiān)控過程，這種方法能降低抽樣數量并提升檢測過程偏移能力[3].Costa曾比較了VSS、VSI和DS控制圖，結果發(fā)現DS控制圖的監(jiān)測效率最高[4].Lee等將雙抽樣技術和可變抽樣間隔結合起來，形成了變化抽樣區(qū)間的雙抽樣控制圖[5].Rodriguez將DS控制圖方法應用于計數型數據，構造了雙抽樣NP控制圖[6].He等對DS控制圖的思想進行了延伸，提出了3重抽樣(triple sampling,TS)控制圖，采用3個階段的抽樣來監(jiān)控過程，能夠比DS控制圖有更好的監(jiān)控效果[7].但是，He等在設計TS控制圖時，沿用了Irianto 和Shinozaki的DS控制圖多目標決策的設計方式[8]，在多個統(tǒng)計指標的情況下，很難客觀判別TS控制圖的監(jiān)控效果[9].因此，本文從效率優(yōu)化的角度出發(fā)，構建TS控制圖的優(yōu)化參數設計方案.

1 TS控制圖

圖1 TS均值控制圖

2 TS控制圖的效率評價

對于控制圖性能的度量，平均運行長度(ARL)是最常采用的一個指標，它表示從過程發(fā)生異常質量波動到該異常質量波動被控制圖發(fā)現平均需要的樣本數.對于TS控制圖，若過程處于穩(wěn)定狀態(tài)，通常用ARL0=1/α表示，其中α為控制圖第1類錯誤的概率；若過程出現異常，可以用σ(過程服從分布的標準差)的倍數表示過程均值偏移的程度(即δσ)，此時用ARLδ=1/(1-βδ)表示，其中βδ為控制圖第2類錯誤的概率.α和βδ的計算見式(1)，(2).α=P(z1∈I2)+P(z2∈I3)×P(z2∈I5)+P(z1∈I3)×P(z2∈I6)×P(z3∈I8)=

(1)

(2)

P(·)表示落在某區(qū)域的概率，Φ(·)表示標準正態(tài)分布的累計分布函數，φ(·)表示標準正態(tài)分布的概率密度函數.對于3重抽樣均值控制圖，過程穩(wěn)定時的期望樣本量E0(n)和過程偏移程度為δ倍標準差δσ的期望樣本量Eδ(n)，可以分別通過以下公式計算：

E0(n)=n1+n2P(z1∈I3)+n3P(z1∈I3)×P(z2∈I6)=

n1+n2·[Φ(-W1)-Φ(-L1)+Φ(L1)-Φ(W1)]+

(3)

(4)

要提高TS控制圖的監(jiān)測效率，不僅需要失控情況下的平均運行長度ARLδ盡可能小，而且受控情況下樣本容量的數學期望E0(n)和失控情況下樣本容量Eδ(n)也應該盡可能小，因此僅應用平均運行長度不足以有效衡量其監(jiān)控效率.Keat等提出的平均產品長度(average product length，APL)不失為一種更有效的效率度量指標，指從過程出現異常到該異常在控制圖中被發(fā)現之間平均生產的產品數量[10].于是受控和失控時的平均產品長度分別為：

(5)

其中，r為抽樣頻率，為了計算簡便，不失一般性，取r=1.

3 TS控制圖的優(yōu)化設計

TS控制圖的設計需要確定8個參數：3個控制限參數(L1、L2和L3)、3個階段的抽樣數(n1、n2和n3)、以及第1階段和第2階段的警告限參數(W1和W2).由于在實際控制圖應用過程中，若過程穩(wěn)定，希望錯誤報警的概率要小，即ARL0盡量大，同時樣本容量的數學期望E0(n)也要盡量小；當過程中出現異常波動時，希望能盡快發(fā)現，即ARLδ越小越好，同樣樣本容量的數學期望Eδ(n)也要盡量小.但二者互相影響，不能同時達到最優(yōu)，因此可以讓ARL0取一個足夠大的固定值D，而E0(n)取一個適當的較小值n0，如按照常規(guī)控制圖的設計思想，希望受控狀態(tài)下的ARL為370，樣本容量為3～5，在此基礎上要求APLδ達到最小. 由此可采用如下TS控制圖的設計模型：

MinAPLδ

約束：ARL0=D;E0(n)=n0;1

(6)

其中，3個階段的抽樣樣本容量(n1、n2和n3)必須是正整數，且n3>n2>n1，這是為了保證第2階段控制圖的檢測效率高于第1階段控制圖的檢測效率，第3階段控制圖的檢測效率高于第2階段控制圖的檢測效率；第1、第2階段警告限參數Wi都要小于同一階段的控制限參數Li，且Li也不能太大，可以設定控制限上限值為L′.

為了說明該設計方案的有效性，可以與He等的設計方案[7]進行對比分析.為了使兩種方案具有可比性，在He等的設計方案中，α′=0.002 7，轉換成受控狀態(tài)下的平均運行長度ARL0約為370.在本文的設計中，同樣設定D=370，n0=3.在兩種方案中，為了減少計算量，3個階段的抽樣樣本容量都取小于30的數，控制限上限L′=5.用本文優(yōu)化設計模型和He等的設計方案分別針對1倍、2倍和3倍標準差的過程異常偏移進行設計來確定最佳的控制參數，再分別用兩種方案對不同程度的過程偏移進行監(jiān)控效率的對比，采用Matlab編程計算，結果見表1.

從表中的對比可以發(fā)現，絕大多數情況下，本文提出的優(yōu)化設計方案的ARLδ、Eδ(n)和APLδ都要比He等的設計方案要好，尤其是在過程出現異常波動較小的情況(如δ=1.0)下.在ARL0相同的情況下，監(jiān)控所需用的樣本容量E0(n)和Eδ(n)，以及失控狀態(tài)的檢出效率ARLδ和APLδ都要比He等的設計方案小得多，說明這種優(yōu)化設計模型克服了He等的設計方案存在的多目標決策不利于效率最優(yōu)化的不足，有效提高了TS控制圖的監(jiān)控效率.

表1 兩種設計方案的監(jiān)控效率對比Tab.1 Performance compare of two design schemes

4 應用實例

某電路板加工過程將電路板厚度作為關鍵質量特性進行控制圖監(jiān)控，為了提高控制圖對過程中出現的較小偏移的靈敏性，擬采用TS控制圖方法.根據上一節(jié)優(yōu)化設計的分析可知，對于較小的過程偏移δ=1.0，TS控制圖的優(yōu)化設計參數為，n1=2，n2=7，n3=12，L1=3.21，W1=1.76，L2=3.34，W2=1.92，L3=2.77.按照此優(yōu)化設計參數構造TS控制圖，具體步驟如下：

圖2 分析用控制圖

圖3 第1重控制用控制圖

圖4 第2重控制用控制圖

圖5 第3重控制用控制圖

5 結論

本文主要討論了3重抽樣均值控制圖的優(yōu)化設計模型.通過對3重抽樣控制圖設計方案進行評價指標改進，構建了新的優(yōu)化設計模型，通過與原有設計方案的對比發(fā)現，新的優(yōu)化設計模型能夠有效提高該控制圖技術檢測各種程度異常偏移的有效性.

[1] Costa A F. JointXandRcharts with variable sample size and sampling intervals[J]. Journal of Quality Technology,1999,33(1):387-397.

[2] Croasdale P. Control charts for a double sampling scheme based on average production run length[J]. International Journal of Production Research,1974,29(6): 585-592.

[4] Costa A F,Rahim M A. JointXandRcharts with two stage sampling[C]//Proceedings of IIE Research Conference. Orlando,Fla,USA,2002.

[5] Lee P,Chang Y,Torng C. A design ofScontrol charts with a combined double sampling and variable sampling interval scheme[J]. Communications in Statistics: Theory & Methods, 2012,41(1): 153-165.

[6] Rodriguez D A, Epprecht K, Demagalhaes S, et al. Double-sampling control charts for attributes[J]. Journal of Applied Statistics,2011,38(1): 87-112.

[10]Keats J B,Miskulin J D,Runger G C. Statistical process control scheme design[J]. Journal of Quality Technology, 1995,27(1): 231-246.

[11]Torng C,Tseng C. Non-normality and combined double sampling and variable sampling interval control charts[J]. Journal of Applied Statistics,2010,37(6): 955-967.

(責任編輯：王浩毅)

The Optimal Design of Triple Sampling Mean Control Chart Based on Product Length

WANG Hai-yu

(CenterofSystem&IndustrialEngineering,ZhongyuanUniversityofTechnology,Zhengzhou450007,China)

The optimal design of triple sampling mean control chart was discussed. The calculating methods of average product length for in-control and out-of-control processes of this chart were proposed,and the optimal model of parameters design of triple sampling mean control chart was constructed to minimize average product length for out-of-control process. Moreover,the effectiveness of this model was demonstrated by comparing with the old design method of this chart.

triple sampling control chart; product length; optimal design

2015-01-16

國家自然科學基金資助項目，編號71002073；河南省高?？萍紕?chuàng)新人才支持項目，編號15HASTIT011；河南省高等學校人文社會科學重點研究基地資助.

王海宇(1979-)，男，山西晉城人，博士，副教授，主要從事質量管理研究，E-mail: wanghy1979@126.com.

王海宇. 基于產品長度的3重抽樣均值控制圖優(yōu)化設計[J].鄭州大學學報：理學版，2015，47(2)：121-126.

TB114.2

A

1671-6841(2015)02-0121-06

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.02.024