王永茂， 祁曉玉， 贠小青

(1.燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004； 2.燕山大學(xué) 里仁學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

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基于經(jīng)典風(fēng)險模型的最優(yōu)分紅和最優(yōu)注資策略研究

王永茂1， 祁曉玉1， 贠小青2

(1.燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004； 2.燕山大學(xué) 里仁學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

基于經(jīng)典風(fēng)險模型，對有限分紅率下公司分紅和注資的最優(yōu)策略進行了深入研究，以便實現(xiàn)公司風(fēng)險最小化或者股東凈收益最大化的目的.首先根據(jù)保險公司的盈余過程推導(dǎo)了值函數(shù)V(x)的具體表達式，證明了值函數(shù)V(x)具有的某些性質(zhì)，然后建立V(x)滿足的HJB方程，通過對方程的研究得到保險公司最優(yōu)分紅和最優(yōu)注資策略，并給出了最優(yōu)注資上限和最優(yōu)注資下限.最后對公司面臨破產(chǎn)風(fēng)險時是否選擇注資以及注資量大小進行了探討.

經(jīng)典風(fēng)險模型； 分紅策略； 注資策略； HJB方程

0 引言

隨著保險市場的高速發(fā)展，策略由分紅開始逐步拓展到注資、再保險等領(lǐng)域.公司一般通過控制某些組合策略來滿足預(yù)定的目標函數(shù)，從而得到最優(yōu)的分紅策略和注資策略，使公司的破產(chǎn)風(fēng)險達到最小，或者使股東的利益達到最大.在經(jīng)典風(fēng)險模型下，文[1-2]認為隨機控制問題很難找到清晰解，只能在閡值策略中尋求最優(yōu)解.文[3]研究了資產(chǎn)注入過程的最優(yōu)控制問題，文[4]對保險效用最大化理論進行了分析，文[5]給出了最優(yōu)分紅值的估計方法，文[6]對二項風(fēng)險模型進行了研究，文[7]進一步研究了分紅控制過程的最優(yōu)停止問題.

本文基于經(jīng)典風(fēng)險模型，對有限分紅率下公司分紅和注資的最優(yōu)策略進行了研究.

1 模型建立

設(shè)t時刻，保險公司盈余表示為

其中，x∈R為初始準備金，c>0為保費收入率，{Ui,i≥1}是一列正的且相互獨立同分布的實際變量序列，表示第i次索賠的大小，分布函數(shù)為F(x)，{Nt,t≥0}為索賠計數(shù)過程，是一個參數(shù)為λ>0的Possion過程，{Ui,i≥1}和{Nt,t≥0}相互獨立.假設(shè)EUi=μ<∞且F(x)連續(xù).{Xt}在空間(Ω，F(xiàn)，{Ft}t≥0，P)上，Ex和Px代表初值為x的期望和概率.

用{Dt}和{Zt}表示截止到t時刻的累積分紅和累積注資，在原模型的基礎(chǔ)上，本文引入策略π={(Dt,Zt)}:

1) {Dt}是右連續(xù)的具有左極限的增的適應(yīng)過程，滿足D0-=0；

2) {Zt}是左連續(xù)的具有右極限的增的適應(yīng)過程，滿足Z0=0.

則新的盈余過程可以表示為

目標函數(shù)是最大化股東的折現(xiàn)分紅與折現(xiàn)注資二者之差的期望值，即股東的凈收益.因此，定義π對應(yīng)的值函數(shù)為

2 值函數(shù)V(x)的性質(zhì)

定理1如果定義注資策略為

那么對于x∈R+，在任意可能的分紅策略下，值函數(shù)都有下界-φλμ/δ.

證明在定理1定義的注資策略假設(shè)下，公司破產(chǎn)的時刻為∞.股東可能承擔(dān)一切索賠，如果不考慮分紅，這時的值函數(shù)達到最小.第k個索賠的到達時刻Tk服從Γ(λ,k)分布，則

所以值函數(shù)有下界-φλμ/δ.

定理2V(x)在(-∞，+∞)上是增的Lipschitz連續(xù)的函數(shù)，并且

證明V(x)是增函數(shù)是顯然的.當(dāng)x<0時，若定義策略π：Zt=Ut=0，則V(x)≥Vπ(x)=0.因為V(x)是增函數(shù)，所以V(x)≥0，x∈R.若Zt=0，Ut=u0,則

(1)

由定理1，則

當(dāng)x≥0時，令h>0充分小，定義

因此

根據(jù)V(x)的有界性，

0≤V(x+ch)-V(x)≤V(x+ch)(1-e-(λ+δ)h)≤

V(x+ch)(λ+δ)h≤u0δ-1(λ+δ)h.

當(dāng)x<0時，股東注資h后，應(yīng)用最優(yōu)策略，則

V(x)≥V(x+h)-φh，

即V(x+h)-V(x)≤φh,由此可證明V(x)在(-∞,+∞)上的Lipschitz連續(xù)性.

3 HJB方程和最優(yōu)策略

c為保費收入率，u表示分紅率，δ,φ分別表示折現(xiàn)因子和罰金因子，由文[8]以及V(x)滿足的動態(tài)規(guī)劃原理,

可以得到V(x)在[0,∞]上滿足的Hamilton-Jacobi-Bellman方程為

(2)

首先，由于u(1-V′(x))關(guān)于u是線性的，最大化u(1-V′(x))的u*為

若V(x)在[0,∞]是凹的，那么存在最優(yōu)分紅限b=inf{x:V′(x)≤1}滿足

并且存在邊界a0=sup{x,V′(x)≥φ}.若盈余小于a0，根據(jù)z*，股東會采取如下策略：

1) 若赤字大于z*，股東選擇拒絕注資，公司破產(chǎn)；

2) 若赤字小于z*，如果注資，就必須讓盈余過程恢復(fù)a0.若a0<0，注資不會使公司擺脫破產(chǎn).

綜上考慮，本文定義注資上限為a=a0∨0.

4 結(jié)論

由于經(jīng)典風(fēng)險模型具有索賠不確定性，索賠很大時很可能會產(chǎn)生赤字，因此每一次注資都相當(dāng)于投資，投資能不能得到合理的回報，就要股東進行判斷，選擇出最佳的注資策略. 用b表示最優(yōu)分紅限，若值函數(shù)V(x)在[0,∞]是凹的，那么對于股東來說，最優(yōu)策略是公司盈余在(0，b)上，不采取分紅和注資.若超出了b，公司就要以最大分紅率u0對股東進行分紅.公司發(fā)生赤字時，如果赤字小于z*，股東應(yīng)選擇注資至0點，使公司繼續(xù)經(jīng)營，而如果赤字超過z*，就無需注資，公司選擇破產(chǎn).

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[2] Schmidli H. Stochastic Control in Insurance[M]. London: Springer, 2008.

[3] Eisenberg J, Schmidli H. Optimal control of capital injections by reinsurance in a diffusion approximation[J]. Bl?tter der DGVFM, 2009, 30(1): 1-13.

[4] 呂會茹，王永茂，管巍，等.基于效用最大化理論關(guān)于保險人監(jiān)管成本的分析[J].鄭州大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2011，45(1): 42-45.

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[6] 劉超，王永茂，顏玲，等.帶干擾的多險種二項風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率[J].鄭州大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2012，44(1): 46-49.

[7] 李巖，劉國新.經(jīng)典風(fēng)險模型分紅控制過程的最優(yōu)停止問題[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2010, 33(6): 1121-1132.

[8] Schmidli H, Scheer N. Optimal dividend strategies in a Cramer-Lundberg model with capital injections and administratin costs[D]. Germany: University of Cologne，2011.

(責(zé)任編輯：王海科)

Optimal Dividend and Capital Injection Strategy in Classical Risk Model

WANG Yong-mao1， QI Xiao-yu1， YUN Xiao-qing2

(1.DepartmentofScience,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China;2.CollegeofLiren,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

Based on the classical risk model, the optimal dividend and injection were studied to minimize the risks for the company or maximize the shareholder’s profit when the dividend was restricted. Firstly, the surplus process of insurance company was explored, and the value functionV(x) was presented. Secondly, some properties of the value functionV(x) were examined, then the HJB equations were established. And the optimal dividend and capital injection strategies were found. At the same time, the capital injection boundary was put forward. Finally, whether to inject and the amount of injection were discussed when facing the risk of bankruptcy.

classical risk model; dividend strategy; capital injection strategy; HJB equation

2015-01-13

王永茂(1958-)，男，河北阜城人，教授，主要從事保險風(fēng)險分析、金融數(shù)學(xué)研究，E-mail:mrymw@ysu.edu.cn；通訊作者：祁曉玉(1988-)，女，河北石家莊人，碩士研究生，主要從事壽險精算研究，E-mail:qxysjz@sina.com.

王永茂，祁曉玉，贠小青. 基于經(jīng)典風(fēng)險模型的最優(yōu)分紅和最優(yōu)注資策略研究[J].鄭州大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2015,47(2)：37-40.

F842.62

A

1671-6841(2015)02-0037-04

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.02.008