高 輝， 高勝哲， 尹 麗

(大連海洋大學(xué) 理學(xué)院 遼寧 大連 116023)

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關(guān)于F-反正規(guī)的極大子群與s-完備

高 輝， 高勝哲， 尹 麗

(大連海洋大學(xué) 理學(xué)院 遼寧 大連 116023)

設(shè)F是包含所有超可解群類的飽和群系,利用F-反正規(guī)的極大子群的s-完備性來(lái)刻畫(huà)群的結(jié)構(gòu),得到了群G∈F的一些充要條件.

群系;F-反正規(guī)的極大子群; 正規(guī)指數(shù);s-完備

0 引言

設(shè)F是一個(gè)群類, 稱F是一個(gè)群系, 若滿足(1)G∈F且H?G, 則G/H∈F; (2)G/H∈F且G/K∈F, 則G/(H∩K)∈F. 稱群系F是飽和的, 如果G/Φ(G)∈F,可推出G∈F.

設(shè)F是包含所有超可解群類的飽和群系,GF是使G/N∈F的所有正規(guī)子群N的交.文[1-3]分別通過(guò)GF的極小子群和GF的Sylow子群的極大子群來(lái)刻畫(huà)G∈F.文[4]提出了F-正規(guī)的概念.文[5]利用了F-反正規(guī)的完備性刻畫(huà)了群的結(jié)構(gòu).設(shè)F是包含U的飽和群系,有限群G∈F當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每個(gè)F-反正規(guī)且有合數(shù)指數(shù)的極大子群M, 存在一個(gè)關(guān)于M的極大完備C,使得G=MC且C/K(C)的階無(wú)平方因子.文[6]利用了極大θ-完備獲得超可解群的一個(gè)刻畫(huà).有限群G超可解當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于有合數(shù)指數(shù)的極大子群M,M有一個(gè)極大θ-完備C, 使CG/K(C)循環(huán).

但是, 注意到以往的研究分別是通過(guò)對(duì)完備和θ-完備賦予“極大”這一條件來(lái)刻畫(huà)群的結(jié)構(gòu). 為了得到更好的結(jié)論, 對(duì)賦予的“極大”這一條件去掉, 文[7]中給出了極大子群的s-完備這一概念.本文借助F-反正規(guī)的極大子群的s-完備的條件, 得到了G∈F的一些充要條件.

本文中所用符號(hào)皆為標(biāo)準(zhǔn)的, 涉及的群指有限群,S和U分別表示所有可解群類和所有超可解群類.

1 定義及引理

定義1[4]設(shè)M是G的極大子群, 若G/MG∈F, 稱M在G中F-正規(guī).否則,稱M在G中F-反正規(guī).

顯然地,G∈F當(dāng)且僅當(dāng)G的所有的極大子群在G中F-正規(guī).

定義2[8]設(shè)M是G的極大子群.G的一個(gè)子群C稱為M在G中的一個(gè)完備, 如果CM,而C的每個(gè)G-不變真子群都在M中. 用K(C)表示C的所有G-不變真子群之積, 則K(C)

定義3[7]給定群G的極大子群M, 設(shè)C是關(guān)于M的完備,稱C是關(guān)于M的s-完備, 如果C=G或者存在G的子群B,使得(i)C是B的極大子群;(ii)B不是關(guān)于M的完備.

定義4[9]給了群G及極大子群M, 令N/K是G的一個(gè)主因子,滿足G=MN,并且N有盡可能小的階,N/K的階叫作M在G中的正規(guī)指數(shù)，記作η(G∶M).

定義5定義下列集合.

引理1[5]每個(gè)極大子群M在G中F-反正規(guī),當(dāng)且僅當(dāng)G=GFM.

引理2[7]令G是一個(gè)群,N?G使得G/N有唯一極小正規(guī)子群U/N, 設(shè)M是群G的極大子群,滿足N≤M但UM. 令F是一個(gè)子群閉的同態(tài)像, 假設(shè)C是M的s-完備, 且有C/K(C)∈F, 但U/N?F. 記則是M的s-完備，且滿足：且).是的極大子群.

引理3Φ1(G)可解.

證明假設(shè)命題不真, 設(shè)G為極小階反例. 若F1(G)=?, 則?M<·G,均有η(G∶M)無(wú)平方因子, 從而G超可解, 于是Φ1(G)=G超可解, 矛盾. 故F1(G)≠?且設(shè)Φ1(G)≠1, 則G非單. 令N是G的極小正規(guī)子群, 由G的極小性知,Φ1(G/N)可解, 又Φ1(G)N/N≤Φ1(G/N), 故Φ1(G)N/N可解.

若N∩Φ1(G)=1, 則Φ1(G)可解, 矛盾. 于是N∩Φ1(G)≠1, 即N≤Φ1(G), 從而Φ1(G)/N可解, 且N是G的唯一極小正規(guī)子群.

引理4[9]群G超可解，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于G的每個(gè)有合數(shù)指數(shù)的極大子群M,η(G∶M)無(wú)平方因子.

引理5[10]設(shè)F是包含U的飽和群系, 假設(shè)群G有素?cái)?shù)階正規(guī)子群N,使得G/N∈F, 則G∈F.

引理6設(shè)F是包含U的飽和群系,群G∈F,當(dāng)且僅當(dāng)G的每個(gè)F-反正規(guī)的極大子群M,有η(G∶M)無(wú)平方因子.

證明必要性證明.若G∈F, 則G的每個(gè)極大子群是F-正規(guī), 所以必要性顯然成立.

充分性證明.假設(shè)結(jié)論不成立且設(shè)G為反例. 若GF=G, 假設(shè)存在M<·G使得M在G中F-正規(guī), 則GF≤M. 于是G≤M, 矛盾. 所以?M<·G,M均在G中F-反正規(guī), 由題設(shè)知,η(G∶M)無(wú)平方因子. 由引理4知,G超可解. 特別地,G∈F, 矛盾.

引理7[11]設(shè)F是包含U的飽和群系, 假設(shè)G有正規(guī)子群E使得G/E∈F, 若E為循環(huán)群, 則G∈F.

引理8[7]令F是一個(gè)群系, 假設(shè)群G?F, 那么存在一個(gè)正規(guī)子群N,使得G/N∈b(F), 其中b(F)指的是F的Q-邊界.即G/N?F,但是G/N每個(gè)同態(tài)像都屬于F,并且G/N有唯一的極小正規(guī)子群.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)F是包含U的飽和群系, 記CG為C在G中的正規(guī)閉包. 群G∈F當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于M∈Uη(G), 存在關(guān)于M的s-完備C, 使CG/K(C)循環(huán).

證明必要性的證明.若G∈F, 則G的每個(gè)極大子群是F-正規(guī), 所以必要性顯然成立.

充分性的證明.假設(shè)G?F, 并且G是一個(gè)極小階反例. 選取N?G具有盡可能大的階，使得G/N?F, 那么G/N有唯一極小正規(guī)子群U/N，且U/N非循環(huán). 由N的選取得G/U∈F, 即(G/N)/(U/N)=G/U∈F, 于是由GF的定義得(G/N)F≤U/N. 而U/N是G/N的唯一極小正規(guī)子群, 故U/N≤(G/N)F.于是U/N=(G/N)F=(GFN)/N.

定理2設(shè)F是包含U的飽和群系, 群G∈F當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于M∈Uη(G), 存在關(guān)于M的s-完備C，使得G=MC且C/K(C)的階無(wú)平方因子.

證明必要性顯然成立,下面只證充分性.

假設(shè)G?F, 并且G是一個(gè)極小階反例. 選取N?G具有盡可能大的階，使得G/N?F, 那么G/N有唯一極小正規(guī)子群U/N. 由N的選取得G/U∈F, 即(G/N)/(U/N)=G/U∈F, 于是由GF的定義得(G/N)F≤U/N. 而U/N是G/N的唯一極小正規(guī)子群, 故U/N≤(G/N)F. 于是U/N=(G/N)F=(GFN)/N.

(1) 存在M∈Uη(G), 使得N?M但U?M.

若Uη(G/N)=?, 由定義1和引理6得G/N∈F, 矛盾. 所以Uη(G/N)≠?, 即存在正規(guī)指數(shù)含有平方因子的極大子群M/N，使得U/NM/N. 從而存在G的極大子群M，使得N?M但UM, 即GFM, 所以M∈Uη(G).

(2)U/N是非可解的特征單群.

(3)K(C)=N,C是CU的極大子群且GF?C.

由(2)知,U/N非可解, 而C/K(C)可解. 由于所有的可解群組成的群類為子群閉的同態(tài), 而U/N不屬于這一群類, 所以由引理2知,可以選擇C，使得K(C)=N, 且C是CU的極大子群. 若GF?C, 則U=GFN≤C. 由C/N可解知, (GFN)/N可解, 即U/N可解, 矛盾.

基于由低階思維能力向高階思維能力、從基礎(chǔ)目標(biāo)向高級(jí)目標(biāo)發(fā)展的布魯姆學(xué)習(xí)目標(biāo)分類法，2016年中國(guó)藥科大學(xué)進(jìn)行了臨床藥學(xué)教育體系的大改革。新改的實(shí)踐教學(xué)體系(圖3)幫助學(xué)生提高對(duì)臨床藥學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)和專業(yè)知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)臨床問(wèn)題的分析、綜合與決策能力，改善目前臨床藥學(xué)教學(xué)中注重灌輸知識(shí)，忽視分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)新技能培養(yǎng)的坐而論道的教學(xué)方式，令學(xué)生的臨床藥學(xué)工作能力從低年級(jí)的初步認(rèn)識(shí)逐步提升到高年級(jí)(畢業(yè)時(shí))能夠初步勝任臨床藥學(xué)工作的水平。

(4)G的每個(gè)極大子群H∈U(G)的指數(shù)均無(wú)平方因子.

(5)C<·G.

NU/N(PN/N)=C/N∩U/N=T/N.

假設(shè)C

顯然,C∩U≤H∩U. 否則,C∩U

下面證明U/N?PSL(2,r), 其中r為奇素?cái)?shù)且CU

[1] Asaad M, Li Shirong. On minimal subgroups of finite groups Ⅱ[J]. Comm Algebra, 1996, 24(14): 4603-4606.

[2] Li Shirong. On minimal subgroups of finite groups Ⅲ[J]. Comm Algebra, 1998, 26(8): 2453-2461.

[3] Wei Huaquan. Onc-normal maximal and minimal subgroups of Sylow subgroups of finite groups[J]. Comm Algebra, 2001, 29(5): 2193-2200.

[4] Doerk K, Hawkes T. Finite Solvable Groups[M]. Berlin: Walter de Gruyter, 1992.

[5] Li Shirong. OnF-abnormal maximal subgroups of finite groups[J]. Acta Math, 2007, 23(5): 885-888.

[6] Zhao Yaoqing. On the Deskins completions, theta completions and theta pairs for maximal subgroups I[J]. Comm Algebra, 1998, 26(2): 3141-3164.

[7] Li Shirong, Zhao Yaoqing. Ons-completions of maximal subgroups of finite groups[J]. Algebra Colloq, 2004, 11(3): 411-420.

[8] Deskins W E. On maximal subgroups[J]. Proc Sympos Pure Math, 1959, 1: 100-104.

[9] 徐明耀. 有限群導(dǎo)引[M]. 2版.北京：科學(xué)出版社, 1999.

[10]Li Yangming, Wang Yanming, Wei Huaquan. The influency ofπ-quasinormal some subgroups of a finite group[J]. Arch Math, 2003,81: 245-252.

[11]Skiba A N. On weaklys-permutable subgroups of finite groups[J]. J Algebra, 2007, 315(1): 192-209.

[12]Gorenstein D. Finite Groups[M]. New York: Chelsea, 1980.

[13]石向東, 韋華全, 馬儇龍. 乘積因子群的共軛類長(zhǎng)與有限群結(jié)構(gòu)[J]. 鄭州大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版, 2013, 45(2): 10-13.

[14]陳松良,蔣啟燕. 關(guān)于108階群的完全分類 [J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版, 2013, 45(1): 10-14.

(責(zé)任編輯：王?？?

OnF-Abnormal Maximal Subgroups ands-Completions

GAO Hui, GAO Sheng-zhe, YIN Li

(ScienceInstitute,DalianFisheriesUniversity,Dalian116023,China)

LetFbe a saturated formation which contains all supersolvable groups. The structure of finite groups was characterized bys-completions ofF-abnormal maximal subgroups. Some necessary and sufficient conditions of the groups inFwere obtained.

formation;F-abnormal maximal subgroups; normal index;s-completions

2015-01-12

高輝(1978-)，女，遼寧莊河人，講師，碩士，主要從事有限群研究,E-mail:gaohui@dlou.edu.cn;通訊作者：高勝哲(1974-)，男，黑龍江大興安嶺人，副教授，碩士，主要從事有限群及金融數(shù)學(xué)研究，E-mail:gsz@dlou.edu.cn.

高輝，高勝哲，尹麗.關(guān)于F-反正規(guī)的極大子群與s-完備[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2015，47(2)：45-48.

O152.1

A

1671-6841(2015)02-0045-04

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.02.010