馬耀勇

數(shù)學(xué)規(guī)劃模型是在實際問題的數(shù)學(xué)建模中應(yīng)用最廣泛的模型之一，也是運(yùn)籌學(xué)的一個重要分支。在生產(chǎn)實踐中，經(jīng)常要制定使問題的某一項指標(biāo)“最優(yōu)”的方案，這里的最優(yōu)包括“最大”“最小”“最多”“最少”等。如：如何合理地分配、使用有限的資源（人力、物力及資金等）以獲得“最大收益”等諸如此類的問題，就是所謂的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題。數(shù)學(xué)規(guī)劃又分為線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃 、整數(shù)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃等。

求一組變量非負(fù)值，滿足由變量的線性方程式或線性不等式構(gòu)成的約束條件，且使作為變量線性函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)取最優(yōu)值（最大值或最小值），這樣的問題稱為線性規(guī)劃問題。

線性規(guī)劃問題應(yīng)明確三樣?xùn)|西：決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件。

決策變量：它們是決策者所控制的那些數(shù)量，它們?nèi)∈裁磾?shù)值需要決策者來決策，最優(yōu)化問題的求解就是找出決策變量的最優(yōu)取值。

目標(biāo)函數(shù)：它代表決策者希望對其進(jìn)行優(yōu)化的那個指標(biāo)。目標(biāo)函數(shù)就是指標(biāo)與決策變量之間的函數(shù)。

約束條件：它們是決策變量在現(xiàn)實世界中所受到的限制，或者說決策變量在這些限制范圍之內(nèi)取值才有實際意義。

高職學(xué)生在學(xué)習(xí)高職數(shù)學(xué)線性規(guī)劃內(nèi)容時，對建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型覺得有困難.本文主要是根據(jù)自己在教學(xué)中的經(jīng)驗，通過幾個實際例子，來說明建立線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型的方法。建立線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型都可歸結(jié)為下面三個步驟：

（1）設(shè)立決策變量；

（2） 用決策變量的線性函數(shù)表示目標(biāo)（即建立目標(biāo)函數(shù)），并確定目標(biāo)求最大還是最小值；

（3） 明確約束條件并用決策變量的線性等式或不等式表示，根據(jù)決策變量的實際意義確定變量是否有非負(fù)性。解題思路見下面的圖1。

圖1

下面通過幾個例子來說明。

例1.（生產(chǎn)規(guī)劃問題）某廠生產(chǎn)A、B、C 三種產(chǎn)品，需要耗費(fèi)的資源（人力、物力 、財力）、獲得的利潤、備用資源如下表：

問該廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)，才可獲最大利潤？最大利潤是多少？解題思路見下面圖2。

圖2

解：設(shè)產(chǎn)品A、B、C分別生產(chǎn)x1、x2、x3單位，總利潤為S，則問題的數(shù)學(xué)模型為

注意：此題中“x必須滿足的約束條件”是根據(jù)耗費(fèi)的資源（人力、物力 、財力）不能超過備用資源，產(chǎn)量 xi（i=1，2，3）必須非負(fù)。

例2.（運(yùn)輸問題）設(shè)有兩個磚廠A1、A2，其產(chǎn)量分別為23萬塊、27萬塊，它們生產(chǎn)的磚供應(yīng)B1、B2、B3三個工地，其需要量分別為18萬塊、17萬塊、15萬塊。而知道各產(chǎn)地Ai到各工地Bj（i=1，2；j=1，2，3）運(yùn)價如下表。問應(yīng)如何調(diào)運(yùn)，才使總運(yùn)費(fèi)最??？

解：設(shè)磚廠Ai供應(yīng)工地Bj磚塊的數(shù)量為xij （i=1，2； j=1，2，3），則問題的數(shù)學(xué)模型為：

minS=50x11+60x12+70x13+60x21+110x22+60x23

將以上模型輸入Mathematica 模型，可以得到最優(yōu)解（值）：

x11=6，x12=17，x13=0，x21=12，x22=0，x23=15，minS=2940.

例3.（下料問題）某家具廠需要長80厘米的角鋼150根與長60厘米的角鋼330根，這兩種長度不同的角鋼由長210厘米的角鋼截得，工廠應(yīng)如何下料，才使得用料最省.

設(shè)第i種下料方案的原材料根數(shù)為 ，則問題的數(shù)學(xué)xi（i=1，2，3），模型為

將以上模型輸入Mathematica 模型，可以得到結(jié)果：最優(yōu)解為x1= 0， =150 ， =10 ，最優(yōu)值S=160 ，即按方案2用料150根，方案3用料10根下料，一共160根，用料最省。

【參考文獻(xiàn)】

[1]何品榮.數(shù)學(xué)管理方法.北京：人民郵電出版社，2013.endprint