葛俠，付保川

（1.蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009；2.蘇州科技學(xué)院電子與信息工程學(xué)院，江蘇蘇州215009）

模糊綜合評價(jià)建模方法及其應(yīng)用

葛俠1，付保川2*

（1.蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009；2.蘇州科技學(xué)院電子與信息工程學(xué)院，江蘇蘇州215009）

針對群體評價(jià)過程中遇到的一些問題，諸如變量繁多、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、多種因素相互交織且對不確定因素難以準(zhǔn)確量化等，提出了基于模糊一致性矩陣進(jìn)行模糊綜合評價(jià)的新方法，并構(gòu)建了模糊綜合評價(jià)模型。該模型綜合運(yùn)用模糊層次分析和模糊綜合評價(jià)方法，將邊界不清、多維性、模糊性等不確定性因素進(jìn)行模糊量化，然后通過對各種評價(jià)因素的分類和權(quán)重調(diào)節(jié)的模糊化處理以及模糊關(guān)系合成，實(shí)現(xiàn)了基于模糊推理機(jī)制進(jìn)行群體綜合評價(jià)，提高了群體評價(jià)的效率。

綜合評價(jià)體系；模糊層次分析法；模糊綜合評價(jià)模型

針對群體評價(jià)中評價(jià)因素的不確定性、多因素之間相互作用的影響程度難以準(zhǔn)確量化、人工統(tǒng)計(jì)運(yùn)算量大且易出現(xiàn)差錯等問題，需要構(gòu)建合理的評價(jià)模型[1]、評價(jià)體系和評價(jià)方法[2]，以便快速有效的得到合理的評價(jià)結(jié)果。對于群體評價(jià)方法，已有多位學(xué)者進(jìn)行了系統(tǒng)化的研究，并在相關(guān)領(lǐng)域得到成功應(yīng)用。例如劉淵盧[3]針信息系統(tǒng)安全整改決策的分類安全評價(jià)問題，建立了安全評價(jià)層次化結(jié)構(gòu)模型，從而應(yīng)用模糊綜合評價(jià)方法較好地解決了系統(tǒng)各分類安全評價(jià)的量化問題。劉選林等[4]針對新疆社會安全因素進(jìn)行分析并構(gòu)建了層次結(jié)構(gòu)體系，采用模糊層次綜合評價(jià)法建模并對新疆社會安全危機(jī)進(jìn)行了有效評價(jià)。郝詠梅等[5]針對大學(xué)生黨員質(zhì)量綜合評價(jià)問題采用層次分析法建立了評優(yōu)評價(jià)體系，較好地解決了對大學(xué)生黨員質(zhì)量進(jìn)行綜合評價(jià)的問題。上述層次分析法均需把復(fù)雜評價(jià)體系進(jìn)行層次化分類，并建立層次化指標(biāo)體系。筆者運(yùn)用模糊層次分析和模糊綜合評價(jià)相結(jié)合的方法構(gòu)建一種新的綜合評價(jià)模型，為系統(tǒng)地解決群體評價(jià)系統(tǒng)中的不確定性問題提供了新的途徑。

1 評價(jià)體系的層次化結(jié)構(gòu)

層次分析法的基本思想是根據(jù)分析對象的性質(zhì)和評價(jià)的總目標(biāo)，把評價(jià)體系中各種影響因素通過合理分類使之條理化[6]。按照因素間的相互關(guān)聯(lián)以及隸屬關(guān)系，將各因素依不同性質(zhì)進(jìn)行分類，形成一個(gè)層次化的結(jié)構(gòu)模型[7-8]。根據(jù)對客觀因素的規(guī)律性認(rèn)知與判斷，對每一種因素的相對重要性給予量化描述。

在深入分析所要研究的評價(jià)體系之后，將評價(jià)體系中所包含的各種因素劃分為不同層次，并將其歸納為決策層、準(zhǔn)則層、因素層。層與層之間的關(guān)系可以由相對權(quán)重表示。

在建立層次結(jié)構(gòu)以后，上下層之間的隸屬關(guān)系就被確定了，在此基礎(chǔ)上，需要對每一層次中各因素的相對重要性作出判斷，為此需要引入模糊判斷矩陣。

記：決策集為A，準(zhǔn)則集為B，因素集為C。

A={A1，A2，…，At}，B={B1，B2，…，Bn}，C={C11，C12，…，C1k1，C21，C22，…，C2k2，…，Cn1，Cn2，…，Cnkn}。

定義1模糊判斷矩陣

B對A的模糊判斷矩陣為X，C對B的模糊判斷矩陣為Xi（i=1，2，…，n）。有了判斷矩陣可以定義相應(yīng)的權(quán)重。

定義2相對權(quán)重

B對A的相對權(quán)重記為ω1，ω1=（d11，d12，…，d1n），其中d1i表示Bi對A的重要度。

C對B的相對權(quán)重記為ω2，ω2=（ω21，ω22，…，ω2n），且ω2i＝（ei1，ei2，…，eiki），其中eiki表示Ci各個(gè)元素對相對應(yīng)Bi的重要度。

定義3合成權(quán)重

C層對A層的權(quán)重記為ω，稱之為合成權(quán)重，且ω=ω1?ω2。其中，?表示一種合成運(yùn)算。

2 模糊綜合評價(jià)模型

模糊綜合評價(jià)是在考慮多種因素的影響下，運(yùn)用模糊數(shù)學(xué)工具對某事物做出的綜合評價(jià)，也是對群體進(jìn)行評價(jià)的一種有效方法。步驟如下：第一步，確定被評判對象的因素集和評價(jià)等級[9]；第二步，分別確定各個(gè)因素的權(quán)重及合成權(quán)重；第三步，確定模糊評價(jià)矩陣；第四步，把模糊評價(jià)矩陣與合成權(quán)重進(jìn)行模糊運(yùn)算并進(jìn)行歸一化，得到模糊評價(jià)的綜合結(jié)果。

2.1 因素論域和評價(jià)集

（1）因素論域：U＝{C11，C12，…，C1k1，C21，C22，…，C2k2，…，Cn1，Cn2，…，Cnkn}。

（2）評語集：評語集是評價(jià)者對被評價(jià)對象可能做出的各種評價(jià)等級組成的集合，這里用F表示，F(xiàn)＝{f1，f2，…，fm}，m∈N+，m為總的評價(jià)等級數(shù)。其中ft，t=1，2，…，m代表第t個(gè)評價(jià)等級。

2.2 評價(jià)因素的權(quán)重

層次分析法中關(guān)鍵環(huán)節(jié)是建立判斷矩陣，判斷矩陣是否科學(xué)、合理直接影響到判斷的效果。通過分析發(fā)現(xiàn)判斷矩陣要經(jīng)過反復(fù)檢驗(yàn)，確定是否符合一致性標(biāo)準(zhǔn)，如果不符合一致性標(biāo)準(zhǔn)要調(diào)整判斷矩陣達(dá)到一致性是比較困難的。特別是檢驗(yàn)判斷矩陣一致性的判斷標(biāo)準(zhǔn)（C.R＜0.1）的依據(jù)可能會有誤差[10]。而模糊層次分析法可以克服以上不足，而且文中還改進(jìn)一般模糊層次分析法中模糊一致矩陣的確定。實(shí)際上運(yùn)用模糊層次分析法確定權(quán)重的關(guān)鍵在于構(gòu)造模糊一致性矩陣。模糊一致性矩陣表示針對上一層某元素該層次與之有關(guān)元素之間相對重要性的比較。

2.2.1 模糊一致性矩陣的構(gòu)造

根據(jù)兩兩因素比較對上一層的貢獻(xiàn)度得出兩兩因素比較的隸屬度，取值參照表1，進(jìn)而構(gòu)造模糊一致矩陣X″。

表1 0.1-0.9數(shù)量標(biāo)度

假定上一層次的元素A同下一層次中B1，B2，…，Bn的元素有聯(lián)系，則模糊判斷矩陣X=（rij）n×n可表示為

模糊一致性矩陣的性質(zhì)[4，11]：

設(shè)X″=（rij″）n×n是模糊一致性矩陣，則有?i（i＝1，2，…，n），rii″=0.5；?i，j（i，j＝1，2，…，n），rij″+rji″=1；?i，j，k（i，j，k＝1，2，…，n），rij″=rik″-rjk″+0.5；第i行和第j列元素之和等于1。

如何從模糊互補(bǔ)矩陣X變成模糊一致矩陣X″，根據(jù)性質(zhì)需要進(jìn)行下列變換：

（1）A-B的優(yōu)先關(guān)系變換

當(dāng)0≤fij≤0.5時(shí)，表示元素j比元素i重要；當(dāng)fij=0.5時(shí)，表示元素i和元素j同樣重要；當(dāng)0.5≤fij≤1時(shí)，表示元素i比元素j重要。

（2）模糊一致性變換

根據(jù)fij的取值范圍建立fij與rij′的映射關(guān)系，rij′的取值參照表2。

表2 0-1數(shù)量標(biāo)度

按表2得到的新矩陣X′=（rij′）n×n，再進(jìn)行（1）、（2）式變換可得到模糊一致矩陣。

即

2.2.2 相對權(quán)重的確定

根據(jù)模糊一致矩陣的性質(zhì)，可求得B層對A層元素的權(quán)重值d1i。

其中n模糊為判斷矩陣X″的階數(shù)。

因?yàn)閄″為模糊一致矩陣，即不用再去檢驗(yàn)矩陣的一致性。

采用同樣的方法，可以對模糊判斷矩陣Xi（i＝1，2，…，n）進(jìn)行上述推理進(jìn)而確定ω2。為了下面運(yùn)算把ω2寫成一個(gè)方陣，第i行元素是Ci對Bi這層元素的權(quán)重值，長度不夠的用0補(bǔ)齊。

假定k1≤k2≤…≤kn

其中eiλ（λ＝1，2，…，kn）表示C層對B層相對應(yīng)的各因素的權(quán)重值，L，M表示長度。

2.2.3 合成權(quán)重的確定

確定了ω1，ω2之后，將ω1中的第一個(gè)值和ω2中第一行各元素相乘；將ω1中的第二個(gè)值和ω2中第二行各元素相乘；依次下去最終得到C層各元素對于總目標(biāo)的合成權(quán)重

2.3 模糊綜合評價(jià)矩陣

單獨(dú)從一個(gè)因素出發(fā)進(jìn)行評價(jià)，以確定評價(jià)對象對評價(jià)集合F的隸屬程度，稱為單因素模糊評價(jià)。在構(gòu)造了等級模糊子集后，就要逐個(gè)對被評價(jià)對象從每個(gè)因素上進(jìn)行量化，即確定從單因素來看被評價(jià)對象對各等級模糊子集的隸屬度，進(jìn)而得到模糊評價(jià)矩陣

其中，?l1+?l2+…+?ln=1；l=k1+k2+…+kn；?hi（h＝1，2，…，l）表示被評價(jià)對象從因素uh來看對ft等級的隸屬度，uh∈U，U為因素論域，ft（t＝1，2，…，m）代表第t個(gè)評價(jià)等級。

2.4 模糊綜合評價(jià)

R中不同的行反映了某個(gè)評價(jià)對象從不同的單因素來看對各等級模糊子集的隸屬程度。再與合成權(quán)重進(jìn)行合成運(yùn)算，得到該被評價(jià)對象從總體上看各等級模糊子集的隸屬程度，即模糊綜合評價(jià)結(jié)果向量S。采用加權(quán)平均模型進(jìn)行合成運(yùn)算得

模糊綜合評價(jià)的結(jié)果是被評價(jià)對象對各等級模糊子集的隸屬度，通常是一個(gè)模糊向量，如果對多個(gè)評價(jià)對象比較并排序就需要進(jìn)一步引入評語集的數(shù)值化結(jié)果。計(jì)算每個(gè)評價(jià)對象的綜合得分則

評價(jià)的目的是要從對象集體P={μ1，μ2，…，μr}中選拔符合要求的結(jié)果集V。

記n（V）為有限集V的個(gè)數(shù)，P1={評價(jià)單位規(guī)定的準(zhǔn)則}，若評價(jià)單位的評價(jià)結(jié)果集為s，則

3 模糊綜合評價(jià)實(shí)例

下面通過學(xué)生評價(jià)說明該模型的有效性。

例某班30名學(xué)生，按照如下六個(gè)方面17項(xiàng)指標(biāo)來評價(jià)，評價(jià)出5名優(yōu)秀學(xué)生。

根據(jù)前面的模型進(jìn)行如下分層：設(shè)A為決策集，B為準(zhǔn)則集，C為因素集；根據(jù)評價(jià)要求則n（A）=5。

A={x1，x2，x3，x4，x5}；

B={德育（B1），智育（B2），體育（B3），美育（B4），勞動（B5），實(shí)踐（B6）}；

C={政治表現(xiàn)（C11），道德修養(yǎng)（C12），品德（C13）；學(xué)習(xí)態(tài)度（C21），學(xué)習(xí)成績（C22），基礎(chǔ)知識（C23），創(chuàng)新（C24）；身體素質(zhì)（C31），衛(wèi)生知識（C32），心理素質(zhì)（C33），性格（C34）；審美（C41），表現(xiàn)力（C42）；勞動態(tài)度（C51），勞動技能（C52）；溝通能力（C61），組織能力（C62）}。

（1）取B對A的判斷矩陣

根據(jù)（1）-（4）式得模糊一致性矩陣X″=（rij″）6×6

根據(jù)（5）式得ω1=（0.216 70.250 00.133 30.083 30.133 30.183 4）T。其他權(quán)重可同理得。

（2）計(jì)算合成權(quán)重并進(jìn)行綜合評價(jià)

根據(jù)（6）式可得合成權(quán)重

根據(jù)上例可以得

根據(jù)各指標(biāo)包含的具體要求取評語集F={優(yōu)，良好，一般，較差，差}。取DE=（100，85，70，55，30）。

根據(jù)文獻(xiàn)[10]提供的評價(jià)方法，對例子中30個(gè)學(xué)生調(diào)查結(jié)果進(jìn)行處理構(gòu)造隸屬度矩陣

R=[0.32，0.16，0.4，0.12，0；0.24，0.48，0.2，0.04，0.04；0.36，0.2，0.36，0.04，0.04；0.6，0.24，0.16，0，0；0.48，0.12，0.28，0.04，0.08；0.44，0.16，0.36，0.04，0；0.12，0.2，0.56，0.04，0.08；0.2，0.1，0.3，0.4，0.1；0.35，0.15，0.1，0.2，0.1;0.22，0.38，0.23，0.17，0；0.2，0.1，0.3，0.4，0.1；0.32，0.16，0.4，0.12，0；0.24，0.48，0.2，0.04，0.04；0.36，0.2，0.36，0.04，0.04；0.6，0.24，0.16，0，0；0.48，0.12，0.28，0.04，0.08；0.24，0.48，0.2，0.04，0.04]

根據(jù)（9）式可以得S=（0.320 00.236 20.319 80.090 60.041 0）。

根據(jù)（10）式得μ=80.684 3，即該同學(xué)的綜合評分為80.684。

按照同樣的模型對該班級其余學(xué)生進(jìn)行評價(jià)，即可得到由每位同學(xué)的綜合評價(jià)結(jié)果所形成的結(jié)果集P，從P中按P1={評價(jià)出5名最優(yōu)的學(xué)生}的準(zhǔn)則取出符合規(guī)則的子集，即得最終的結(jié)果集V。

4 結(jié)語

對一個(gè)群體進(jìn)行綜合評價(jià)是一個(gè)多因素相互關(guān)聯(lián)的復(fù)雜的過程，為避免評價(jià)結(jié)果的主觀性，文中所建立的模糊評價(jià)模型統(tǒng)籌考慮了各種因素的影響，并通過模糊層次分析和模糊綜合評價(jià)相結(jié)合的方法，較客觀地實(shí)現(xiàn)評價(jià)體系的模糊量化，從而較好地解決了群體評價(jià)的不確定性問題，這樣既避免了傳統(tǒng)評價(jià)過程中的主觀性，又提高了決策的效率。

[1]吳小歡，呂躍進(jìn)，楊芳.模糊互補(bǔ)判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)及修正[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2010（2）：57-59.

[2]謝季堅(jiān)，劉承平.模糊數(shù)學(xué)方法及其應(yīng)用[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2013：216-238.

[3]劉淵盧，國明，陳治宏.模糊綜合評價(jià)法在信息系統(tǒng)安全測評中的應(yīng)用研究[C]//第二十一屆全國信息保密學(xué)術(shù)會議（IS2011）論文集.北京：中國計(jì)算機(jī)學(xué)會，2011：306-312.

[4]劉選林，趙紅.基于層次模糊層次綜合評價(jià)法的新疆社會安全危機(jī)預(yù)警模型的建構(gòu)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)知，2012（10）：32-33.

[5]郝詠梅，梁成，姚楠，等.基于模糊綜合評價(jià)方法在大學(xué)生黨員質(zhì)量評價(jià)體系中的應(yīng)用[J].世紀(jì)橋，2014（2）：81-84.

[6]吳海英，張杰．學(xué)生成績排名的綜合評價(jià)模型[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2006（4）：142-145.

[7]徐澤水.三角模糊數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣排序的一種排序方法[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2002（1）：47-50.

[8]Li Hong Xian，MohamedAl-Hussein.Risk identification and assessment of modular construction utilizing fuzzy analytic hierarchy process（AHP）and multidimensional[J].Journal of Civil Engineering，2013，40：1184-1195.

[9]楊萍.AHP法在評價(jià)教師課堂教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2004（2）：32-34.

[10]張吉軍.模糊層次分析法[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2000，11（2）：80-81.

[11]Anackovic Savic Stankovic.Selection and ranking of occupational safety indicators based on fuzzy AHP a case study in road construction companies[J].South African Journal of Industrial Engineering，2013，24：175-189.

Research on modeling and application of fuzzy comprehensive assessment system

GE Xia1，F(xiàn)U Baochuan2
（1.School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China；2.School of Electronics&Information Engineering，SUST，Suzhou 215009，China）

In view of the problems encountered in the process of group assessment,such as multiple variables, complex structures,intertwined factors,difficult quantification of uncertainty factors,this paper put forward a fuzzy comprehensive evaluation method based on fuzzy consistency matrix and constructed a fuzzy comprehensive evaluation model.This model integrated the use of fuzzy hierarchy analysis and fuzzy comprehensive evaluation method,and carried out the fuzzy quantification of the uncertainty factors,including the unclear boundaries,multidimensionality,and fuzziness.Then through the classification of assessment factors,the fuzzy processing of weights adjustment,and the synthesis of fuzzy relations,the group comprehensive evaluation was realized based on fuzzy reasoning mechanism.This model greatly improves the efficiency of group evaluation.

comprehensive evaluation system；fuzzy analytic hierarchy process；fuzzy comprehensive evaluation model

O29MR（2000）Subject Classification：03C98

A

1672－0687（2015）02－0019－05

責(zé)任編輯：謝金春

2014－12－20

江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（BK20131154）

葛俠（1990-），女，安徽亳州人，碩士研究生，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

*通信聯(lián)系人：付保川（1964-），男，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，E－mail：fubc@163.com。