趙燕霞

逆向思維是數(shù)學(xué)思維重要的表現(xiàn)形式之一，在解應(yīng)用題中發(fā)揮著重要的作用。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要對學(xué)生進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練。在解題過程中通過逆向思維可以解決常規(guī)辦法無法解決的問題，這樣，學(xué)生在解題過程中就會思維敏捷、思路開闊。

一、對于思路繁瑣的應(yīng)用題，引導(dǎo)學(xué)生逆向思考解決

應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，但是有些應(yīng)用題條件復(fù)雜，要解決的問題讓人一時(shí)難以找到解決的思路。遇到這種情況，教師不妨引導(dǎo)學(xué)生能由眼前的已知條件，解決問題的過程聯(lián)想到與之相反或?qū)α⒌慕鉀Q辦法，從而讓問題處于一個(gè)新的數(shù)學(xué)情境中。在五年級學(xué)生參加的奧數(shù)競賽中有這樣的一道應(yīng)用題：有一只猴子見到了一框桃子，第一天它吃了一筐桃子中的一半還多一個(gè)；第二天吃了剩下的一半還多一個(gè)；第三天又吃了剩下的一半多一個(gè)。同樣以后接下來的每一天都吃了剩下的一半多一個(gè)，當(dāng)?shù)搅说?0天的時(shí)框中只剩下一個(gè)桃子（這天猴子并沒有吃剩下的這個(gè)桃子）。問這只猴子一共吃了多少個(gè)桃子？對于這樣的問題，我們的通常做法是根據(jù)題目中的未知數(shù)運(yùn)用分?jǐn)?shù)知識來解答，可以設(shè)共有X個(gè)桃子，根據(jù)題意列一元一次方程，但是這樣推導(dǎo)出來的是一個(gè)十分復(fù)雜的式子，小學(xué)生是無法完成的。而如果采用逆向思維來分析解決問題的思路就容易多了，從第十天開始往前推，依次經(jīng)過第9天、第8天……第1天，這樣問題變得簡單多了。根據(jù)題意有：第10天有桃子的個(gè)數(shù)是1；第9天的桃子個(gè)數(shù)應(yīng)該是4個(gè)，以此類推到第一天。這樣，從題目中的已知條件最后的結(jié)果開始，利用已知條件一步一步地倒著推理，最后解決了問題。

二、不能用方程解決的應(yīng)用題，利用逆向思維解決

在現(xiàn)行的蘇教版教材中，在五年級下冊教科書中還沒有引入方程，遇到了很多難以解決的應(yīng)用題就需要采用逆向思維來解題。方程為我們解決某類問題提供了捷徑，但沒學(xué)習(xí)方程的情況下就需要我們開動腦筋，另辟解決問題的途徑來解決問題，這就是逆向思維。例如：羊圈中有100只羊，已知山羊的數(shù)量是綿羊數(shù)量的3倍，求山羊與綿羊各是多少？我們看其中的已知條件：問題要求算出山羊與綿羊的數(shù)量，只告訴我們二者的倍數(shù)關(guān)系與總和。小學(xué)生沒有學(xué)過二元一次方程，對這樣的題目感覺無從下手。因此，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從題目中的已知條件開始進(jìn)行逆向思考：山羊是綿羊的3倍，那么綿羊的3倍就是山羊的數(shù)量，假如現(xiàn)在只有綿羊一種，那么綿羊數(shù)量的4倍就應(yīng)該是山羊的總數(shù)量，這樣，就能夠把題目中所給的信息聯(lián)系到一起了。

三、采用逆向分析法，逐層分析出要解決問題的條件

在小學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中我們常常遇到這樣的問題：在必須提供的正確的兩個(gè)條件中，如果其中的一個(gè)條件是未知的，就必須要找出這個(gè)條件，然后通過推導(dǎo)逐步弄清楚需要哪些條件，這就是逆向分析法。從求解的問題開始，逐步分析出已知條件，進(jìn)而得出正確的解題方法。例如：一個(gè)加工廠需要生產(chǎn)某種零件，原計(jì)劃10天完成，每天的生產(chǎn)量是2000個(gè)，為了提前完成任務(wù)每天多加工500個(gè)。問：那么這樣實(shí)際比原計(jì)劃提前多少天完成任務(wù)？分析：問題是實(shí)際比原計(jì)劃少用多少天，這很容易理解：用原計(jì)劃時(shí)減去實(shí)際生產(chǎn)時(shí)間。而原計(jì)劃生產(chǎn)時(shí)間我們可以從題目中得知，未知的是實(shí)際生產(chǎn)的天數(shù)。要解決這個(gè)問題，就要求出生產(chǎn)零件的總個(gè)數(shù)與實(shí)際每天加工的零件個(gè)數(shù)這兩個(gè)條件，用生產(chǎn)零件的總個(gè)數(shù)除以實(shí)際每天加工的零件個(gè)數(shù)就可以知道實(shí)際用多少天完成生產(chǎn)任務(wù)了。而實(shí)際每天加工量從題目中已經(jīng)知道了，現(xiàn)在需要知道的是生產(chǎn)零件的總個(gè)數(shù)這個(gè)未知數(shù)。通過逆向推導(dǎo)，生產(chǎn)零件的總個(gè)數(shù)應(yīng)該是原計(jì)劃每天生產(chǎn)零件數(shù)乘以原計(jì)劃生產(chǎn)的天數(shù)，這兩個(gè)條件都在題目中已經(jīng)告訴我們了。所以，首先，我們必須求出生產(chǎn)零件的總個(gè)數(shù)。不難得出：2000×10=20000（個(gè)）。其次，求出這批零件實(shí)際生產(chǎn)的時(shí)間，我們不難得出：20000÷2500=8（天）。最后，很容易求出實(shí)際比原計(jì)劃少用多少天：10-8=2（天）。那么綜合算式：10-2000×10÷2500=2（天）。這樣，順利地求出了實(shí)際比原計(jì)劃提前的時(shí)間。

四、采用逆向推導(dǎo)法，按照思路還原原題的相反意

在教學(xué)求解應(yīng)用題的過程中我們也會遇到這樣的問題：當(dāng)題目中的已知條件在經(jīng)過多次變化后時(shí)，這就需要進(jìn)行逆向推導(dǎo)。具體應(yīng)該采取這樣的步驟：第一步，要弄清楚已知條件經(jīng)過了幾次變化，是如何變化的，變化的結(jié)果是什么。第二步，以變化后的結(jié)果為線索，按照原題意進(jìn)行還原。如果我們把已知條件的變化比喻成“輸入”，那么還原的結(jié)果就應(yīng)該是“輸出”。如果原數(shù)的運(yùn)算是加法，那么還原后的運(yùn)算就應(yīng)該是減法。乘法與除法亦然，由問題的結(jié)果進(jìn)行逆推，從而得到要解決問題的解題方法，就是逆向思維中的倒推法。例如：商場第一天賣出30臺電視機(jī)，第二天新進(jìn)50臺，接著又賣出15臺。那么商場還剩下72臺。問：商場原來有多少臺？分析：這個(gè)題目要求解的是商場原有的臺數(shù)，那就是原數(shù)。而這個(gè)原數(shù)在題目中卻經(jīng)過了三次變化。第一天賣出了30臺，第二天又增加了50臺；第二天又賣出了15臺。在經(jīng)過這三次變化后變成了72臺。這個(gè)過程中讓我們清楚地發(fā)現(xiàn)逆向推導(dǎo)的過程：從商場中現(xiàn)有的數(shù)量72臺開始，在賣出15臺以前，應(yīng)該存在的數(shù)量：72+15=87（臺）。在這個(gè)過程中運(yùn)來50臺之前，商場中的電視機(jī)的數(shù)量應(yīng)該是：87-50=37（臺）。這讓我們很容易知道在運(yùn)來50臺之前，商場中應(yīng)該存在37臺。此時(shí)，所要求的問題還沒有得到解決，因?yàn)樯虉鲈诘谝惶爝€賣出了30臺，此時(shí)再向前逆推一步。那就是商場在第一天賣出30臺之前，應(yīng)該有多少臺？那么37+30=67（臺），這才是商場中原有電視機(jī)數(shù)量。

總之，培養(yǎng)小學(xué)生的逆向思維可以優(yōu)化學(xué)生的解答應(yīng)用題的能力。因此，我們在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要充分地培養(yǎng)解題過程中的逆向思維，不斷地提高學(xué)生的逆向思維能力。教學(xué)實(shí)踐證明，逆向思維拓寬了學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，從而使應(yīng)用題教學(xué)質(zhì)量得到了明顯的提高。

（作者單位：河北邢臺市南園路小學(xué)）endprint