☉湖南省株洲縣第五中學(xué) 陽(yáng)志長(zhǎng)

☉湖南省株洲市九方中學(xué) 賀功保

教學(xué)參謀

基于數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的解題教學(xué)探討

☉湖南省株洲縣第五中學(xué) 陽(yáng)志長(zhǎng)

☉湖南省株洲市九方中學(xué) 賀功保

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）明確提出了“四基”，即數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并把它們確定為我國(guó)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的基本目標(biāo).所謂“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，羅朝陽(yáng)等認(rèn)為“基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)是學(xué)生在特定的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的指引下，在進(jìn)行數(shù)學(xué)探究和發(fā)現(xiàn)活動(dòng)整個(gè)過(guò)程中形成的，并經(jīng)學(xué)生自我反思的對(duì)多數(shù)學(xué)生均能起到指導(dǎo)其思維和操作進(jìn)程的最為核心的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、操作經(jīng)驗(yàn)（技能性經(jīng)驗(yàn)）、情感體驗(yàn)、思考經(jīng)驗(yàn)和應(yīng)用意識(shí)等”［1］.它屬于學(xué)生的主觀性數(shù)學(xué)知識(shí)的范疇，形成于學(xué)生的自我數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程之中，伴隨著學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而發(fā)展，反映了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的真實(shí)理解；它對(duì)于數(shù)學(xué)活動(dòng)的順利探究、數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟、數(shù)學(xué)觀念的形成、創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，以及人的全面發(fā)展等均具有十分重要的作用.“解題歷來(lái)是課堂教學(xué)的重點(diǎn)、核心”［2］，“解題教學(xué)的根本目的是提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力”［3］，而當(dāng)前教師的解題教學(xué)，常“以‘奇、特、巧、新’等為選題標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)‘講解題，不講怎樣解題’，‘講解法，不講如何想到解法’的方式給學(xué)生灌輸技巧，最后總結(jié)為‘解法n—技巧n’”［3］.這種漠視學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的解題教學(xué)，難以同化、生長(zhǎng)、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)，以及“提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力”，以致在“能力立意”的新高考中學(xué)生出現(xiàn)“講過(guò)練過(guò)的不一定會(huì)，沒(méi)講沒(méi)練的一定不會(huì)”［2］的尷尬局面.為此，本文以一道解析幾何題目的教學(xué)為例，探討基于數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的解題教學(xué)立意、流程、方法和價(jià)值取向，以期提高解題教學(xué)效益，為高中一線教師提供教學(xué)參考和更多的思考.

題目：光線從點(diǎn)Q（2，0）發(fā)出，射到直線l：x+y=4上的E點(diǎn)，經(jīng)l反射到y(tǒng)軸上的F點(diǎn)，再經(jīng)y軸反射又回到Q點(diǎn)，求直線EF的方程.

一、練習(xí)嘗試，自主建構(gòu)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中形成的充滿個(gè)性色彩的感受、體驗(yàn)與感悟”，具有個(gè)體性.從心理學(xué)的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)解題就是解題者面臨新的問(wèn)題，而自己沒(méi)有現(xiàn)存對(duì)策或處理方法時(shí)所引起的尋求解決問(wèn)題辦法的一種心理活動(dòng)的過(guò)程.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生以原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，按照自己的方式理解題意，尋找解題思路，獲得解決問(wèn)題的想法或“沖動(dòng)”.因此，講解題目前，應(yīng)該要求學(xué)生認(rèn)真讀題審題、喚醒原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，練習(xí)嘗試、尋找解題思路，自主建構(gòu)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得基本的感受、體驗(yàn)與感悟.

師：有這么一道題目（PPT呈現(xiàn)題目），可能對(duì)同學(xué)們具有一定的挑戰(zhàn)性，現(xiàn)給出8分鐘時(shí)間練習(xí)嘗試，看看大家是如何思考、解答這個(gè)題目的.

（生審題、思考、嘗試）

（師巡視，盡量不打擾學(xué)生）

由于學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、經(jīng)驗(yàn)背景、認(rèn)知基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)風(fēng)格、思考方式等的不同，面對(duì)同一題目，不同的學(xué)生捕捉信息、思維起點(diǎn)、解題思路等具有差異性，從而呈現(xiàn)出思維的層次性.教師當(dāng)場(chǎng)呈現(xiàn)題目，讓學(xué)生知道問(wèn)題的挑戰(zhàn)性，有利于減輕學(xué)生的心理壓力，激發(fā)學(xué)生的探究熱情，把學(xué)生推向“現(xiàn)推現(xiàn)想”的前沿；讓學(xué)生獨(dú)立思考，教師不打擾學(xué)生，有利于喚醒學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，催生學(xué)生的各種想法，使學(xué)生活動(dòng)結(jié)果呈現(xiàn)個(gè)體性特點(diǎn).盡管部分學(xué)生找不到解題的感覺(jué)，但是他們?cè)诜环n本、看一看筆記、查一查做過(guò)的題目等活動(dòng)過(guò)程中，都在圍繞解決當(dāng)前問(wèn)題想辦法，自主建構(gòu)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和意義.無(wú)論進(jìn)展如何，個(gè)體的感受、體驗(yàn)與感悟，都是他們進(jìn)一步活動(dòng)的基礎(chǔ)，也是這個(gè)環(huán)節(jié)的教育價(jià)值取向.

二、展示交流，修正傳遞活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

“經(jīng)驗(yàn)本身只是感性認(rèn)識(shí)，來(lái)自于特定的活動(dòng)，不可避免地印上了具體的環(huán)境、時(shí)間、主體、客體等因素的烙?。ūM管數(shù)學(xué)對(duì)象本身具有一定的抽象性）”［1］，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)具有情境性.波利亞在《怎樣解題》中，把數(shù)學(xué)解題劃分為“審題—擬定計(jì)劃—實(shí)現(xiàn)計(jì)劃—回顧”四個(gè)階段.從數(shù)學(xué)學(xué)科的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)解題就是解題者分析運(yùn)算條件，探索運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算公式，確定運(yùn)算程序等的思維過(guò)程.在這個(gè)過(guò)程中，個(gè)體通過(guò)后續(xù)思維活動(dòng)所獲得的新經(jīng)驗(yàn)，可以修正、豐富先前的經(jīng)驗(yàn)；個(gè)體前期積累的解題經(jīng)驗(yàn)只有參與了多樣化的數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)過(guò)了多次調(diào)用和加工后才能內(nèi)化為解題方法、經(jīng)驗(yàn)圖式.因此，學(xué)生練習(xí)嘗試后，教師應(yīng)該給學(xué)生提供表述、展示的機(jī)會(huì)，讓更多的學(xué)生參與到“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”中來(lái)，以修正傳遞活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，內(nèi)化為個(gè)體的解題方法、經(jīng)驗(yàn)圖式.

師：經(jīng)過(guò)練習(xí)嘗試，請(qǐng)大家說(shuō)說(shuō)解題思路、想法、困惑，或上黑板展示、板書(shū)解答過(guò)程.

生1：我無(wú)法確定E、F點(diǎn)的位置，還沒(méi)有找到解題思路.但是，我想到課本第101頁(yè)習(xí)題3.2A組第11題：一條光線從點(diǎn)P（6，4）射出，與x軸相交于點(diǎn)Q（2，0），經(jīng)x軸反射，求入射光線和反射光線所在直線的y方程.入射光線的直線方程不難求得，關(guān)鍵是求反射光線的直線方程.P1P如圖1，由光的反射原理知：P關(guān)于法OQ線x=2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P（-2，4）在反射光x1線上，由“兩點(diǎn)式”可求得反射光線x=2的直線方程.

師：不錯(cuò)，能夠與課本問(wèn)題、已解決的問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，大家有什么想法？

生2：與生1類(lèi)似，也想到了這個(gè)習(xí)題，我是這樣思考的：如圖2，根據(jù)光的反射原理和平面幾何知識(shí)得：P關(guān)于x軸（鏡）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2（6，-4）在反射光線上，P2關(guān)于法線x=2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P3（-2，-4）在入射光線上.

師：好，數(shù)學(xué)知識(shí)與物理知識(shí)聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合，得到入射光線與反射光線的對(duì)稱(chēng)關(guān)系、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的求法.但是，這些與所要解答的題目有什么關(guān)聯(lián)呢？

生3：有了，如圖3，設(shè)Q關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q1，Q關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q2，連接Q1Q2，交直線l、y軸于點(diǎn)E、F，則只要求出點(diǎn)Q1、Q2的坐標(biāo)，問(wèn)題就解決了.

師：反應(yīng)好快呀！生3的方法可不可行呢？如何求出點(diǎn)Q1、Q2的坐標(biāo)呢？請(qǐng)大家再思考、再?lài)L試.

生4：現(xiàn)在我明白為什么只要求出點(diǎn)Q1、Q2的坐標(biāo)了，都是根據(jù)光的反射原理和“對(duì)稱(chēng)”條件.Q2（-2，0）好求，關(guān)鍵是求點(diǎn)Q1的坐標(biāo).設(shè)Q1（a，b），則Q1Q的中點(diǎn)）在直線l上，且=-1，聯(lián)立方程組求得Q1（4，2）.所以直線Q1Q2即直線EF的方程為x-3y+2=0.

由于個(gè)體通過(guò)某一次數(shù)學(xué)活動(dòng)獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，無(wú)論從經(jīng)驗(yàn)的數(shù)量還是質(zhì)量上而言，都是十分有限的，所以教師不能包辦題目解答，也不能抹殺學(xué)生已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而應(yīng)該給予學(xué)生“說(shuō)題”、展示、交流的機(jī)會(huì).盡管生1、生2想到課本同一習(xí)題，都是從已經(jīng)解決的問(wèn)題入手，但是他倆還沒(méi)有建立起與所要解答題目的必然聯(lián)系，個(gè)體經(jīng)驗(yàn)還處于一種朦朧、模糊階段.經(jīng)過(guò)生3、生4的加工、傳遞，建立了所解題目與課本習(xí)題的本質(zhì)聯(lián)系，修正了生1和生2的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，激活了其他學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，營(yíng)造了一種思想碰撞、思維互動(dòng)的教學(xué)情境.在這種情境中，生1、生2先前的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，成為生3、生4活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，生3、生4先前的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，成為他們加工、傳遞生1、生2活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的“孵化器”，其他學(xué)生先前的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，成為他們同化或順應(yīng)生3、生4活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)，使生4的解法為更多學(xué)生所認(rèn)同，內(nèi)化為他們的基本解題思路和經(jīng)驗(yàn)圖式；個(gè)體“原生態(tài)”“當(dāng)初想法”得到呈現(xiàn)和“流動(dòng)”，又在比較、甄別、傳遞中得到修正，積累了新的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)生了新的認(rèn)知沖突和動(dòng)機(jī)，凸顯這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)價(jià)值.

三、檢驗(yàn)梳理，積累豐富活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

“學(xué)生獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有些是清晰的，可用語(yǔ)言等表達(dá)的，可外顯的，但更多的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)具有緘默知識(shí)的特點(diǎn)，具有內(nèi)隱性，是難以用言語(yǔ)表達(dá)的”.從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)解題就是解題者積累經(jīng)驗(yàn)，調(diào)整狀態(tài)，發(fā)展思維能力等的過(guò)程.在這個(gè)過(guò)程中，個(gè)體所“擬定計(jì)劃”是通過(guò)設(shè)計(jì)系列性的、體現(xiàn)一定變化的思維活動(dòng)來(lái)清晰化、明朗化、外顯化的.因此，學(xué)生解答題目后，教師應(yīng)該先讓學(xué)生作自我評(píng)價(jià)、相互評(píng)價(jià)，追問(wèn)一下“你是怎么想到的？”“還有不同的方法嗎？”［3］等，促使學(xué)生主動(dòng)外顯經(jīng)驗(yàn)，揭示蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，幫助更多學(xué)生累積豐富經(jīng)驗(yàn)，調(diào)整狀態(tài)，發(fā)展思維能力.

師：非常好！生1、生2由此及彼，聯(lián)想到已解題目，在嘗試、探求中發(fā)現(xiàn)光線反射問(wèn)題與“軸對(duì)稱(chēng)”的關(guān)系，經(jīng)過(guò)生3、生4的思考與提煉，形成了題目的解題思路與思想方法，關(guān)鍵是利用“點(diǎn)線”對(duì)稱(chēng)中的幾何關(guān)系：“中點(diǎn)”“垂直”，溝通了代數(shù)關(guān)系中的“方程”“斜率”.有了這些活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，大家還能想到什么解法或提出什么問(wèn)題？

生1：受生4的啟發(fā)，我有求點(diǎn)Q1的坐標(biāo)的簡(jiǎn)捷方法：如圖4，因?yàn)椤螧AQ=45°，所以∠Q1AB=45°，∠Q1AQ= 90°，且Q1A=QA=2，所以Q1點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）.

師：有進(jìn)步！能充分利用幾何知識(shí)，抓住點(diǎn)Q、直線l的特殊性，簡(jiǎn)化計(jì)算，揭示了“特法”與“通法”的內(nèi)在聯(lián)系.

生5：由“點(diǎn)線”對(duì)稱(chēng)想到“點(diǎn)點(diǎn)”對(duì)稱(chēng)，我可以設(shè)置題目：已知點(diǎn)M（2，1）與直線l：x+y=4，直線m與l關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，求直線m的方程.

師：想象力真豐富！生5把思維的觸角伸向題目的變式了，大家試一試，如何求解？

生6：如圖5，直線l上的點(diǎn)A（4，0）、B（0，4）關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1、B1在直線m上，利用“兩點(diǎn)式”，可求得直線m的方程.

師：為什么要考慮兩點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)？這兩點(diǎn)是任意的嗎？

生6：因?yàn)閮牲c(diǎn)決定一直線，所以任意在l上取兩點(diǎn)都行，其中能夠簡(jiǎn)化計(jì)算的最佳.

生7：從圖5可知：△A1B1M≌△ABM，所以m∥l，只要求l上一點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即可.

生8：由對(duì)稱(chēng)性可知m∥l.設(shè)直線m：x+y=n，由點(diǎn)M到m、l的距離相等可求得n的值.

師：好，別急！這些經(jīng)驗(yàn)、思路是否可行呢？下面分三大組檢驗(yàn)、確認(rèn)一下.

（生分別按照生6、生7、生8提供的思路求解，得出了相同的結(jié)果，認(rèn)同了他們的方法）

師：大家表現(xiàn)非常棒，肯定還有很多想法，限于時(shí)間關(guān)系，簡(jiǎn)單梳理一下：（1）“點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)”抓住“中點(diǎn)”，“點(diǎn)線對(duì)稱(chēng)”抓住“中點(diǎn)”與“垂直”；（2）解答對(duì)稱(chēng)問(wèn)題時(shí)，要充分利用幾何條件與方程的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法求解；（3）光線入射問(wèn)題是“對(duì)稱(chēng)問(wèn)題”，還有哪些問(wèn)題可以歸于這種問(wèn)題呢？請(qǐng)大家課后翻一翻自己做過(guò)的題目、試卷等，內(nèi)化解答對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的思想方法，或以對(duì)稱(chēng)性為主題寫(xiě)一篇小論文.

由于討論、反駁、“對(duì)話”的過(guò)程，是促使學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不斷完善與外顯的過(guò)程，同時(shí)也是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在不同個(gè)體之間互相傳遞與共享的過(guò)程，所以教師在生4之后所進(jìn)行的點(diǎn)評(píng)，有利于完善、外顯學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，組織、啟動(dòng)新的數(shù)學(xué)活動(dòng)；受生4的啟發(fā)，生1獲得求點(diǎn)Q1的坐標(biāo)的簡(jiǎn)捷方法，有利于完善、外顯生4的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)生1和生4活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的傳遞與共享；受情境啟發(fā)，生5提出“點(diǎn)點(diǎn)”對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)生6、生7、生8的傳遞，形成了“變式”的多種解法，又有利于新的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的傳遞與共享.而教師安排的檢驗(yàn)、確認(rèn)活動(dòng)，對(duì)于生6、生7、生8來(lái)說(shuō)，檢驗(yàn)了方法的可行性，發(fā)掘出隱藏在方法背后的數(shù)學(xué)思想，豐富了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于其他學(xué)生來(lái)說(shuō)，基于自己的和他人的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，確認(rèn)了方法的可行性，學(xué)習(xí)、借鑒了他人的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).但是，“學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)包含的成分也十分復(fù)雜”，需要教師“斷后”：組織學(xué)生回顧解答題目的歷程，梳理其中的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，發(fā)掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)智慧，形成解決問(wèn)題的基本套路和經(jīng)驗(yàn).值得注意的是，教師不能盲目地“推銷(xiāo)”自己的解法或提出變式，那些缺少知識(shí)鋪墊、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的解法或變式，難以對(duì)接學(xué)生的思維、使學(xué)生產(chǎn)生情感共鳴，有經(jīng)驗(yàn)的教師在授課或批改作業(yè)前，對(duì)重點(diǎn)題目先做一下就是這個(gè)道理.要基于學(xué)生的想法引領(lǐng)方向，基于學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)累積豐富經(jīng)驗(yàn)，這才是這個(gè)環(huán)節(jié)的教育教學(xué)價(jià)值之根本所在.

四、回顧內(nèi)化，重組順應(yīng)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中生成的，又是在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中完善、拓展與提升的，還是在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中進(jìn)行交流、傳遞與共享的，具有過(guò)程性的特征.在波利亞看來(lái)，數(shù)學(xué)解題還需要“回顧”，即進(jìn)行解題第四階段的工作：檢查解題過(guò)程，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，擴(kuò)大解題成果.因此，課后教師應(yīng)該安排時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生積極參與回顧、內(nèi)化、反思等數(shù)學(xué)活動(dòng)，使他們經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程，體驗(yàn)活動(dòng)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，獲得階段的經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容，再將獲得的經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用于新的數(shù)學(xué)活動(dòng)，完成經(jīng)驗(yàn)的創(chuàng)造、領(lǐng)悟、反思、內(nèi)化、檢驗(yàn)和重新創(chuàng)造，以實(shí)現(xiàn)重組或順應(yīng)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

師：在“數(shù)學(xué)園地”展示“課外作業(yè)”.

生9：課后，我重新做了“題目”和“變式”，真正掌握了做相關(guān)題目的思想方法.有兩點(diǎn)體會(huì)：一是遇到不會(huì)做的題目，要向生1、生2學(xué)習(xí)，聯(lián)想做過(guò)的題目，到課本中尋找思想方法；二是學(xué)數(shù)學(xué)要勤于動(dòng)手，動(dòng)手畫(huà)圖、演算、檢驗(yàn)，通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，調(diào)動(dòng)自己動(dòng)腦，促進(jìn)自己的思維活動(dòng).

生10：課后，按照老師的要求，我重新做了“題目”和“變式”.經(jīng)過(guò)探討，發(fā)現(xiàn)：（1）直線ax+by+c=0（a2+b2≠0）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)直線為ax-by+c=0；（2）直線ax+by+c=0（a2+ b2≠0）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)直線為ax-by-c=0.期待大家與我一起探討直線ax+by+c=0（a2+b2≠0）關(guān)于直線Ax+By+C= 0（A2+B2≠0）的對(duì)稱(chēng)直線方程的求法.

生11：對(duì)稱(chēng)是自然界的基本現(xiàn)象，反映的是對(duì)稱(chēng)美、自然美.數(shù)學(xué)中的軸對(duì)稱(chēng)圖形有角、等腰梯形、拋物線、偶函數(shù)的圖像等；中心對(duì)稱(chēng)圖形有平行四邊形、奇函數(shù)的圖像等；既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的有線段、矩形、菱形、正方形、圓、橢圓、雙曲線、正弦曲線、余弦曲線等，數(shù)學(xué)世界真是太美了.就是這些對(duì)稱(chēng)性，可以用“點(diǎn)線”對(duì)稱(chēng)、“點(diǎn)點(diǎn)”對(duì)稱(chēng)聯(lián)系起來(lái)，溝通函數(shù)與方程、數(shù)與形、代數(shù)方法與幾何方法的關(guān)系，形成數(shù)學(xué)的和諧美、奇異美，我越來(lái)越喜歡數(shù)學(xué)了.

生9重解“題目”和“變式”，內(nèi)化、累積了解題經(jīng)驗(yàn)；生10通過(guò)重新解題，取得了部分研究成果；生11通過(guò)內(nèi)化、整理，形成了對(duì)對(duì)稱(chēng)性新的認(rèn)識(shí)和情感經(jīng)驗(yàn).通過(guò)“代表作品”展示，向?qū)W生傳遞著“有布置就有檢查，有檢查就有評(píng)價(jià)”的信息，為學(xué)生提供了更為豐富的交流平臺(tái).通過(guò)這個(gè)平臺(tái)，可以使錯(cuò)誤的、片面的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)得以澄清，可以使模糊的、片面的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)逐漸明晰，可以使內(nèi)隱的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不斷外顯，可以使膚淺的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)逐步深刻，從而實(shí)現(xiàn)不同個(gè)體的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的進(jìn)一步拓展、傳遞與分享，促進(jìn)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重組或順應(yīng)，凸顯這個(gè)環(huán)節(jié)的反思學(xué)習(xí)、研究學(xué)習(xí)的價(jià)值.

五、反饋檢測(cè)，強(qiáng)化提升活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

“個(gè)體基于特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并不是靜態(tài)的，固定不變的，而是具有一定的生長(zhǎng)性，是可以不斷發(fā)展變化的”，呈現(xiàn)出動(dòng)態(tài)性.從高考應(yīng)試的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)解題是捕捉信息、模式識(shí)別、快速反應(yīng)、沉著作答、優(yōu)化組合等的心智過(guò)程.因此，對(duì)于核心內(nèi)容、重點(diǎn)思想方法的解題教學(xué)，教師還應(yīng)該安排反饋檢測(cè)活動(dòng)，以通過(guò)后續(xù)活動(dòng)獲得新的經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化、提升先前的經(jīng)驗(yàn)，不斷實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)的條理化，使之自然地遷移到新的數(shù)學(xué)活動(dòng)和數(shù)學(xué)情境之中，提高學(xué)生高考的應(yīng)試能力、策略和水平.

（三天后）師：請(qǐng)大家用5分鐘時(shí)間速解下面的題目，要求寫(xiě)出簡(jiǎn)要過(guò)程，統(tǒng)一上交.

題目：（2013年湖南理8）在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P是邊AB上異于A、B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC、CA反射后，又回到點(diǎn)P（如圖6）.若光線QR經(jīng)過(guò)△ABC的重心，則AP等于（）.

（師在“數(shù)學(xué)園地”展示學(xué)生的“代表作”，公布檢測(cè)情況）

生12：如圖7，以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，AC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則B（4，0）、C（0，4）.

設(shè)P（t，0），求得點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1（-t，0），點(diǎn)P關(guān)于直線BC：x+y=4的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P2（4，4-t）.根據(jù)反射原理，P1、R、Q、P2四點(diǎn)共線，求得直線P1P2即直線RQ的方程為

全班48人參加檢測(cè)，有39人給出了正確答案，拿下了這道高考選擇“壓軸題”，正確率達(dá)到81%.

對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不夠好的高二平行班級(jí)（教學(xué)順序1→4→5→2→3）來(lái)說(shuō)，有這樣的正確率實(shí)屬難得.從生12的解答過(guò)程可以看出，他不僅理解了原題所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)、掌握了解答原題的思想方法，而且具有原題的操作經(jīng)驗(yàn)、探究經(jīng)驗(yàn)、思考經(jīng)驗(yàn)、應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，能夠創(chuàng)造性地運(yùn)用坐標(biāo)法和方程思想解決此問(wèn)題.根據(jù)“72小時(shí)”效應(yīng)，教師安排三天后的反饋檢測(cè)活動(dòng)，有利于了解解題教學(xué)效果、強(qiáng)化升級(jí)學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).所謂“72小時(shí)”效應(yīng)，就是假如有一個(gè)靈感，要爭(zhēng)取在72小時(shí)內(nèi)付諸行動(dòng).過(guò)了72小時(shí)，或許沒(méi)有當(dāng)初激動(dòng)，轉(zhuǎn)向其他事情，或許已經(jīng)淡薄，只有一點(diǎn)印象.在學(xué)生開(kāi)始淡薄、遺忘之際，教師提供“后續(xù)活動(dòng)”機(jī)會(huì)，使學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)自然地遷移到新的數(shù)學(xué)活動(dòng)和數(shù)學(xué)情境之中，有利于消除“講過(guò)練過(guò)的不一定會(huì)，沒(méi)講沒(méi)練的一定不會(huì)”的現(xiàn)象，提高學(xué)生高考的應(yīng)試能力、策略和水平.盡管高考考場(chǎng)上不會(huì)有5分鐘解答一個(gè)選擇題的時(shí)間，但是平時(shí)探究典型問(wèn)題解法時(shí)還是要給足學(xué)生思考、活動(dòng)的時(shí)間，為后續(xù)活動(dòng)提供時(shí)間、經(jīng)驗(yàn)保障，以凸顯這個(gè)環(huán)節(jié)的思維價(jià)值.

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué).學(xué)生在各種數(shù)學(xué)活動(dòng)中生成、拓展、提升與交流數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，同時(shí)也是他們獲得數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能與基本思想的過(guò)程.其實(shí)，上述關(guān)于核心內(nèi)容、典型思想方法的解題教學(xué)“五環(huán)節(jié)”，解答的不僅僅是一個(gè)題目，而是還原了基于學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，豐富、提升他們的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的一個(gè)完整過(guò)程，它形成生成學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感、數(shù)學(xué)解題智慧、數(shù)學(xué)應(yīng)試能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的“加強(qiáng)鏈”和有機(jī)整體，不斷轉(zhuǎn)變高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)他們的思維運(yùn)動(dòng)和心智發(fā)展.

1.馬文杰，鮑建生.論“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的基本特征［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（9）.

2.章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2010（3-5）.

3.章建躍，陳向蘭.數(shù)學(xué)教育之取勢(shì)明道優(yōu)術(shù)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2014（10）.

4.劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書(shū)A版·數(shù)學(xué)2（必修）［M］.北京：人民教育出版社，2007.A