☉陜西省咸陽師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院 安振平

一道IMO預(yù)選題加強(qiáng)的再探究

☉陜西省咸陽師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院 安振平

1990年IMO預(yù)選題中有如下一道不等式試題.

問題：設(shè)a、b、c、d是滿足ab+bc+cd+da=1的非負(fù)實(shí)數(shù)，

河北王亞輝先生在文1里，將此不等式進(jìn)行了加強(qiáng).

加強(qiáng)：設(shè)a、b、c、d是滿足ab+bc+cd+da=1的非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：

經(jīng)過研讀，筆者發(fā)現(xiàn)，加強(qiáng)的兩個不等式中條件等式是多余的，并且第二個不等式是第一個的弱化，即有如下結(jié)論.

加強(qiáng)1：設(shè)a、b、c、d是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：

證明：應(yīng)用2元算數(shù)-幾何平均值不等式，得：

所以不等式②成立.

應(yīng)用柯西不等式，知：

結(jié)合不等式②，立知不等式③成立.

通過探究不等式②還可以得出如下的加強(qiáng)不等式.加強(qiáng)2：設(shè)a、b、c、d是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：

至于不等式④的證明，留給有興趣的讀者去探究.

在不等式④中，取d=0，或c=d=0，并修改系數(shù)，容易獲得如下簡單不等式.

特例1：設(shè)a、b、c是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：

特例2：設(shè)a、b、c是正實(shí)數(shù)，求證：

1.王亞輝.一道IMO預(yù)選題證法探究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2015（4）.

2.安振平.由一個代數(shù)恒等式引出的不等式［J］.數(shù)學(xué)通訊（下），2014（12）.A