☉江蘇省如皋市第一中學(xué) 孫海建

有機(jī)整合凸顯交匯

☉江蘇省如皋市第一中學(xué) 孫海建

等差數(shù)列、等比數(shù)列是江蘇8個(gè)C級考點(diǎn)中的2個(gè).近幾年江蘇高考對數(shù)列的考查淡化了技巧性較強(qiáng)的性質(zhì)，進(jìn)一步突出了基本量的考查，凸顯了通性通法，各大市命題時(shí)均順應(yīng)高考考試說明，加大了對等差、等比數(shù)列的考查.近年來等差、等比數(shù)列的交匯題層出不窮，向縱深方向發(fā)展，常以壓軸題出現(xiàn)，筆者對此進(jìn)行了歸類研究，以求破解之道.

一、從等差數(shù)列（等比數(shù)列）中抽出部分項(xiàng)成等比數(shù)列（等比數(shù)列）

例1設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=2，S6= 22.

（1）求Sn；

（2）若從{an}中抽取一個(gè)公比為q的等比數(shù)列{bkn}，其中k1=1，且k1

①當(dāng)q取最小值時(shí)，求數(shù)列{kn}的通項(xiàng)公式；

②若關(guān)于n（n∈N*）的不等式6Sn>kn+1有解，試求q的值.

分析：等差數(shù)列中抽取部分項(xiàng)成等比數(shù)列時(shí)，以等差數(shù)列為基礎(chǔ)，利用“等比數(shù)列{bkn}每一項(xiàng)為等差數(shù)列{an}中的項(xiàng)”這一限制條件，對公比q逐步進(jìn)行驗(yàn)證、取舍，直到滿足.當(dāng)q>1且q∈N時(shí)符合題意，再由不等式6Sn>kn+1有解，歸納猜想并證明q的取值范圍為2，3，4.

（2）因數(shù)列{an}是正項(xiàng)遞增等差數(shù)列，所以數(shù)列{akn}的公比q>1.

①若k2=2，則由，得，此時(shí)由（n+2），解得所以k2>2，同理k2>3.若k2=4，又a4=4，則q=2，此時(shí)akn=2·2n-1.又2），所以

即kn=3×2n－1－2．

而6Sn>kn+1有解，所以有解.

又f（1）<0，所以f（n）<0恒成立，所以bn+1－bn<0，所以bn≤b1恒成立.

當(dāng)q≥5時(shí)，b1<1，所以當(dāng)q≥5時(shí)，6Sn>kn+1無解.所以q的取值為2，3，4.

二、等差數(shù)列、等比數(shù)列交錯(cuò)排列

例2已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，且對任意n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差數(shù)列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比數(shù)列．

（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；

（2）設(shè)a1＜a2，求證：對任意n∈N*，且n≥2，都有

分析：涉及特殊數(shù)列問題，一般用待定系數(shù)法解決，但一定要檢驗(yàn).條件“a2n－1，a2n，a2n＋1成等差數(shù)列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比數(shù)列”的運(yùn)用有兩個(gè)方向，決定本題有兩種解題方法：一是等量代換，求出數(shù)列通項(xiàng)公式后，比較大小；二是放縮，直接比較大小.

解：（1）因?yàn)閍3，a4，a5成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則a3＝3－2d，a4＝3－d．

又a2，a3，a4成等比數(shù)列且a2＝1，所以

因?yàn)閍1，a2，a3成等差數(shù)列，所以a1＝2a2－a3＝2－（3－2d）＝

（2）因?yàn)閍2n－1，a2n，a2n＋1成等差數(shù)列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比數(shù)列，所以2a2n＝a2n－1＋a2n＋1①，②，所以a2n+1＝③.

由a1，a2及a2n－1，a2n，a2n＋1是等差數(shù)列，a2n，a2n＋1，a2n＋2是等比數(shù)列，可得

①當(dāng)n＝2m，m∈N*時(shí)，

②當(dāng)n＝2m－1，m∈N*，m≥2時(shí)，

綜上，對一切n∈N*，n≥2，有

三、等差數(shù)列與等比數(shù)列互相轉(zhuǎn)化

例3設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)不為零，前n項(xiàng)和為Sn，且對任意的r，t∈N*，都有

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（用a1表示）；

（2）設(shè)a1=1，b1=3，bn=Sbn－1（n≥2，n∈N*），求證：數(shù)列{log3bn}為等比數(shù)列；

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=a1（2n－1），且當(dāng)n=1時(shí)，此式也成立．

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1（2n－1）．

（2）當(dāng)a1=1時(shí)，由（1）知an=a1（2n－1）=2n－1，Sn＝n2．

（3）由（2）得log3bn=1×2n－1=2n－1，所以bn=32n－1（n∈N*）．

四、等差數(shù)列、等比數(shù)列有機(jī)整合

例4已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}滿足：

分析：本題利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì).根據(jù)基本不等式得到用反證法證明等比數(shù)列{an}的公比q=1，從而得到an=a1（n∈N*）的結(jié)論，再由·b知是公比為nn的等比數(shù)列.最后用反證法求出

（2）因?yàn)閍n>0，bn>0，所以所以

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由an>0知q>0，下面用反證法證明q=1.

n1

所以b1，b2，b3中至少有兩項(xiàng)相同，與b1