☉江蘇省丹陽高級(jí)中學(xué) 管立芬

由y=Asin（ωx+φ）的圖像或性質(zhì)確定解析式引發(fā)的思考

☉江蘇省丹陽高級(jí)中學(xué) 管立芬

縱觀近年各省市高考試題，對(duì)y=Asin（ωx+φ）的圖像和性質(zhì)的考查屢見不鮮，其中有一種重要的題型——利用函數(shù)的圖像確定A、ω、φ的值，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式、最值、周期等問題，此類問題的常規(guī)解法是根據(jù)圖像確定函數(shù)的周期、最值，進(jìn)而求出ω、A，根據(jù)圖像與x軸的交點(diǎn)或最值點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式求φ，如：（2013年高考四川）函數(shù)f（x）＝2sin（ωx＋）的部分圖像如圖1所示，則ω、φ的值分別是（）.

但高考命題千變?nèi)f化、?？汲Ｐ拢忸}方法則不能一概而論.下面就此類問題的創(chuàng)新考查方式及相應(yīng)的解題策略進(jìn)行分析，供讀者參考.

變化一、把握條件，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

例1（2015年高考湖南理）將函數(shù)f（x）=sin2x的圖像向右平移φ個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）的圖像，若對(duì)滿足|（fx1）-g（x2）|=2的，則φ=（）.

解析：f（x）的圖像向右平移φ個(gè)單位后，得到g（x）= sin（2x-2φ）.

由|（fx1）-g（x2）|=2，得或

評(píng)析：本題既考查三角函數(shù)的圖像平移變換，同時(shí)考查學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像的深刻理解.首先，要掌握三角函數(shù)圖像的平移變換、周期變換和振幅變換的規(guī)律，理解規(guī)律背后的理論支撐.其次，要把握函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖像的對(duì)稱軸會(huì)穿過圖像的最值點(diǎn)，兩個(gè)相鄰的對(duì)稱軸之間的距離就是半個(gè)周期，某三角函數(shù)圖像至少平移m（m>0）個(gè)單位后與原圖像重合，也就意味著函數(shù)的最小正周期為T=m等.如：（2010年高考遼寧）設(shè)ω>0，函數(shù)）+2的圖像向右平移個(gè)單位后與原圖像重合，則ω的最小值是（）.

總之，把握好圖像的本質(zhì)特征，完成符號(hào)語言、文字語言和圖形語言的相互轉(zhuǎn)化，即可順利找到解題思路.

變化二、挖掘隱含，確定零點(diǎn)

例2（2013年北京高三一模）已知函數(shù)f（x）=sin（2x+ φ），其中φ為實(shí)數(shù)，若（fx）對(duì)x∈R恒成立，且，則下列結(jié)論正確的是（）.

C.f（x）是奇函數(shù)

解析：由ω=2得周期T=π.

評(píng)析：本題并沒有直接給出函數(shù)的圖像，但根據(jù)題目所給的相關(guān)信息，即根據(jù)對(duì)稱軸與周期可確定函數(shù)的零點(diǎn)，從而構(gòu)造出函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像信息解決問題.

變化三、看圖說話，確定周期范圍

例3如果存在正整數(shù)ω和實(shí)數(shù)φ使得函數(shù)f（x）=cos2（ωx+φ）（ω、φ為常數(shù)）的圖像如圖3所示（圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，0）），那么ω的值為（）.

A.1B.2C.3D.4

解析：圖形是題目所給的重要信息之一，因此把握?qǐng)D形的結(jié)構(gòu)特征是問題突破的關(guān)鍵.如圖4，易知

（fx）=cos（2ωx+φ）=，所以函數(shù)的周期由圖可知即.結(jié)合所給選項(xiàng)及ω為整數(shù)，所以答案為B.

評(píng)析：欲求ω的值，應(yīng)從周期入手，但本題并沒有直接給出對(duì)稱軸、周期等相關(guān)值，因此通過充分挖掘圖像中所隱含的周期特征，即及，得出周期的范圍，而ω為正整數(shù)，進(jìn)而得ω的值.

變化四、動(dòng)中尋定，確定對(duì)稱軸與對(duì)稱中心

例4（2014年高考北京理）設(shè)函數(shù)（fx）=Asin（ωx+ φ）（A、ω、φ是常數(shù)，A>0，ω>0）.若（fx）在區(qū)間上具有單調(diào)性），則（fx）的最小正周期為_______.

“年年歲歲題相似”，三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是歷年高考必考內(nèi)容，且命題者不斷變換考查的角度，相繼推出了許多新穎別致、極富思考性和挑戰(zhàn)性的創(chuàng)新題型，給此類問題注入了新的活力，此類問題重點(diǎn)考查函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心等性質(zhì)和函數(shù)圖像變換問題.要想掌握好本單元內(nèi)容，首先，要學(xué)會(huì)“看圖說話”，即由y=sinx的圖像看出y=Asin（ωx+φ）的圖像特征.A