☉重慶育才中學(xué) 王歷權(quán)

☉重慶育才中學(xué) 黨忠良

☉重慶九龍坡區(qū)辰光學(xué)校 劉津

一道質(zhì)檢題的命制過程、使用情況及教學(xué)反思

☉重慶育才中學(xué) 王歷權(quán)

☉重慶育才中學(xué) 黨忠良

☉重慶九龍坡區(qū)辰光學(xué)校 劉津

一、原創(chuàng)題目

如圖1，半徑均為1的光滑圓形軌道圓O1、圓O2外切于點M，點H是直線O1O2與圓O2的交點，在圓形軌道圓O1、圓O2上各有一個運動質(zhì)點P、Q同時分別從點M、H開始逆時針繞軌道做勻速圓周運動，若點P、Q運動的角速度之比為2∶1，則的最大值為______.

解析：以O(shè)1為圓心，O1O2為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

因為點P、Q分別運動的角速度之比為2∶1，所以當(dāng)P轉(zhuǎn)動角度為2θ時，點Q轉(zhuǎn)動的角度為θ，因此P（cos2θ， sin2θ）、Q（2+cosθ，sinθ）

二、命制過程

1.靈感來源

在一次學(xué)生作業(yè)中有下面一道題目，學(xué)生完成情況不理想，大部分學(xué)生要求評講，引起了筆者的注意，經(jīng)查閱，該題目是2012年高考安徽理科的第8題.題目如下所示.

該問題以向量為背景，考查學(xué)生應(yīng)用三角函數(shù)的定義、兩角和與差的三角函數(shù)知識解決問題的能力，題目起點低落腳高，立意新穎.

2.不斷改進

在隨后的月考命題中，需要一道考查有關(guān)三角、向量知識的題目，且要求有一定的難度，筆者受此題啟發(fā)，決定自創(chuàng)一道背景不同但考查知識與方法類似的題目檢驗學(xué)生學(xué)習(xí)上題的效果.

考慮到題目要考查學(xué)生建立直角坐標(biāo)系用角度和點到原點的距離來表示點（向量）的坐標(biāo)，因此選擇圓為問題的背景，于是得到題目1.

題目1：如圖2，在直角坐標(biāo)系中，x軸上有一定點M（2，0），若動點P、Q在圓上運動且關(guān)于原點對稱，求的值.

分析：不妨設(shè)P（cosθ，sinθ），則Q（cos（π+θ），sin（π+θ）），即Q（-cosθ， -sinθ）.因此=（cosθ-2，sinθ）·（-cosθ-2，-sinθ）= 3.

雖然題目將想考查的知識與方法基本覆蓋，但是筆者覺得題目稍顯簡單，而且該題很容易用特殊值法得到答案，作為一道考題特別是填空題，不能很好地檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，于是決定對其修改.

題目1中，由于點M（2，0）為定點，雖說點P、Q均為動點，但它們關(guān)于原點對稱，本質(zhì)上只有一個動點，因此筆者決定從增加動點個數(shù)入手對其改進，于是決定添加一個單位圓與圓O外切，得到題目2.

題目2：如圖3，單位圓O1、O2外切于點M，點H是直線O1O2與圓O2的交點，在圓O1、O2上各有一個動點P、Q同時分別從點M、H開始逆時針繞圓運動，若點P、Q分別運動的速率之比為2∶1，求的最大值.

分析：該問題中，點P、Q分別在不同圓上運動，以學(xué)生熟悉的情景考查了坐標(biāo)形式求解等知識與方法.

以O(shè)1為圓心，O1O2為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，因為點P、Q分別運動的速率之比為2∶1，所以當(dāng)P轉(zhuǎn)動角度為2θ時，點Q轉(zhuǎn)動的角度為θ，因此P（cos2θ，sin2θ）、Q（2+ cosθ，sinθ），所以（cos2θ，sin2θ）·（2+cosθ，sinθ）= 2cos2θ+cos2θcosθ+sin2θsinθ=2cos2θ+（cos2θcosθ+sin2θsinθ） =2cos2θ+cosθ=4cos2θ+cosθ-2，所以的最大值為3.

題目改進至此，筆者的思路被打開了，但對題目仍不滿意，一方面是難度不符合要求，另一方面是感覺題目問題新穎度不夠.在思索如何改進的過程中，筆者注意到問題2中所給圖像跟火車曲柄極其相似，于是靈光一閃，為什么不計算動線段PQ的長度呢？經(jīng)過嘗試，筆者發(fā)現(xiàn)完全可行，且計算量不是太大，但也有一定的障礙.于是得到題目3.

題目3：如圖3，單位圓O1、O2外切于點M，點H是直線O1O2與圓O2的交點，在圓O1、O2上各有一個動點P、Q同時分別從點M、H開始逆時針繞圓運動，若點P、Q分別運動的速率之比為2∶1，求|PQ|的最大值.

3.最終定稿

最后，筆者在如下方面做了微調(diào).

首先，將兩個外切的圓描述為兩個光滑的圓形軌道，動點P、Q描述為運動質(zhì)點，其運動方式描述為勻速圓周運動，目的是讓數(shù)學(xué)問題以物理情景呈現(xiàn)，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)在其他學(xué)科內(nèi)的廣泛應(yīng)用，為了更加跟物理知識銜接，在命制的過程中筆者還請教了物理教師以確保其準(zhǔn)確規(guī)范.

其次，將“速率之比為2∶1”改為“角速度之比為2∶1”，這樣做的目的是想提示學(xué)生以角度為突破口，用角度表示動點的坐標(biāo).

最后，為了順帶考查相關(guān)向量知識，將“求|PQ|的最大值”改為“求|的最大值”，即最終定稿.本題所考查的知識點有三角函數(shù)的定義、向量的加減法運算、兩點間的距離公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦公式（逆用）、二倍角的余弦公式、換元法、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值等，屬于綜合能力型問題.

三、使用情況

鑒于這道題目的綜合性和難度系數(shù)，筆者將這道題放在填空題第三題（其后面是三選二選考內(nèi)容），作為填空題目中有一定區(qū)分度的壓軸題.

考后該題目受到了同教研組的老師們的高度評價，大家一致認(rèn)為該題目綜合性強，能力要求高，考查了學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，另外題目以新穎的背景，特別是以理科生熟悉的物理背景呈現(xiàn)出來，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的基礎(chǔ)地位.

學(xué)生完成的情況卻令人大跌眼鏡，筆者所在年級理科共1300余人，做對的卻不過區(qū)區(qū)85人（即難度系數(shù)不足0.1），經(jīng)過追蹤統(tǒng)計調(diào)查，85位同學(xué)中，仍有21人在計算|PQ|的過程中沒能辨認(rèn)出cos2θcosθ+sin2θsinθ的結(jié)構(gòu)特征，而是將二倍角的正、余弦全部用公式展開，這無疑大大增加了計算量.其他未做出或做錯的學(xué)生中，出現(xiàn)結(jié)果為的約占37%，該答案是猜測得到的，認(rèn)為當(dāng)時，點Q正好運動到點H處，因此答案為，認(rèn)為答案為4的約占22%，即∠MOP=π時，點Q位1于起始處，該答案純屬猜測，出現(xiàn)其他答案的占17%，未作答的約占18%.是什么原因?qū)е逻@個看似不難的問題的正確率如此之低呢？全教研組的老師都陷入了沉思.

四、教學(xué)反思

首先，教師要不斷反省課堂，結(jié)合在評講2012年安徽高考題理科第8題時的教學(xué)回憶，筆者從章建躍教授的《中學(xué)課改的十個論題》一文中找到了答案.文中章教授指出“教完了”應(yīng)以學(xué)生是否理解教學(xué)內(nèi)容為標(biāo)準(zhǔn)，以學(xué)生是否達到課標(biāo)規(guī)定的教學(xué)要求，特別是學(xué)生是否達到“數(shù)學(xué)雙基”的理解和熟練水平為標(biāo)準(zhǔn)，而不是教師在課堂上有沒有把內(nèi)容講完.

教學(xué)中要注意及時反饋學(xué)情，講求針對性和實效性，沒有信息反饋就沒有控制，教學(xué)就是盲目的.學(xué)生學(xué)習(xí)的情況怎樣，這需要教師給予恰當(dāng)?shù)卦u價，以深化學(xué)生已有的學(xué)習(xí)動機，矯正學(xué)習(xí)中的偏差.教師要注意從教學(xué)中的細節(jié)窺探學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，既要注意課堂上的及時反饋，也要注意及時對作業(yè)、測試、活動等情況給予反饋.使反饋與評價相結(jié)合，充分發(fā)揮信息反饋的診斷作用、導(dǎo)向作用和激勵作用，深化學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動機.

其次，教師要不斷反思日常教學(xué)，深化教學(xué)科研，改進方法，增添措施，做到勤教之，博學(xué)之，深研之，努力做學(xué)者型、專家型的教師.教師應(yīng)注重縱橫滲透，加強知識的綜合整合，在教學(xué)中體現(xiàn)“教師主導(dǎo)、學(xué)生主體、思維主線、能力主旨和發(fā)展主流”的“五主”意識.教師應(yīng)在寫作狀態(tài)下成長，通過寫教學(xué)反思、原創(chuàng)題目等方式提升教師專業(yè)發(fā)展，促進有效教學(xué).

最后，應(yīng)努力體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，加強數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的交叉，促進發(fā)展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識與能力.數(shù)學(xué)知識來源于生活又高于生活，教學(xué)中教師應(yīng)努力體現(xiàn)數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的基礎(chǔ)地位，創(chuàng)設(shè)豐富的情景，努力讓數(shù)學(xué)生活化.

1.章建躍.中學(xué)課改的十個論題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2010（3）.

2.張昆，許曉天.基于能力立意的高考命題研究——數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計的視角［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（2）.

3.王歷權(quán)，黨忠良.對高三復(fù)習(xí)解題教學(xué)的幾點思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（3）.A