顧恩國，史曉琳，但 威

(中南民族大學 數學與統計學學院，武漢430074)

具有線性捕撈成本的漁業(yè)資源的連續(xù)動力模型的穩(wěn)定性分析

顧恩國，史曉琳，但 威

(中南民族大學 數學與統計學學院，武漢430074)

為了控制漁業(yè)資源保持在一個平衡的狀態(tài)，在假設捕撈成本函數為捕撈量線性函數的基礎上，以及考慮魚群自然增長及其市場價格隨供需變化的情況下，建立了漁業(yè)資源存儲量、捕撈量、市場價格三者的相互作用的動力學模型,研究該連續(xù)系統的正平衡點的存在性及穩(wěn)定性.

正平衡點；中心流形定理；穩(wěn)定性；Routh-Hurwitz定理

隨著世界人口的不斷增長,人類對漁業(yè)資源的需求不斷增加.在市場的作用下,為了達到供需平衡,總會出現過度捕撈現象,使得漁業(yè)資源存儲量急劇減少，漁業(yè)資源的可持續(xù)利用受到威脅[1].因此，對漁業(yè)資源的可持續(xù)利用的研究已經成為當今世界學術界的重要課題.目前,有關研究包括漁業(yè)資源的最優(yōu)捕撈策略的比較靜態(tài)研究[2-4]和基于生物經濟系統的動力學分析[5]較多，而基于博弈論的多個個體和不完全的多市場動態(tài)分析已經成為主流[6-9].通過對漁業(yè)資源的研究,有利于有關部門作出科學決策,控制好漁業(yè)資源的存儲量和捕撈量，從而保護食物鏈的完整.本文在已有的研究成果的基礎上,應用非線性動力學的分析方法及數值模擬研究資源存量、捕撈量和市場價格的相互作用,分析影響漁業(yè)資源維持平衡的因素,可以科學地揭示漁業(yè)資源在什么情況下屬于過度捕撈，為有效進行資源管理提供新思路和理論依據,并且可為研究其它可再生資源(森林、牧草等)提供新方法.

1 模型的建立

影響漁業(yè)系統的主要因素有資源、個體(漁船隊或國家或漁民)和市場,現假設公共漁業(yè)資源的捕撈為商業(yè)捕撈，即將捕撈的魚全部投放到同一個市場上銷售.首先，設H(t)為t時刻的捕撈量，考慮短期內漁業(yè)資源變化量不會很大，所以我們假設捕撈成本函數線性依賴于捕撈量H(t)，滿足函數：

C=C0+γH,

其中C0為固定成本，γ為捕撈技術.

捕撈利潤為：

π=P(t)H(t)-C0-γH(t).

所以捕撈在某時刻的邊際利潤為：

假設邊際利潤為正，捕撈者就會增加捕撈量，反之減少.

假設在不考慮捕撈的情況下,魚的存儲量也即生長量由Logistic方程給出[10]，即：

其中參數r>0為漁業(yè)資源的內在增長率，K>0為環(huán)境承載能力.

我們假設的需求函數D(t)為線性的,其滿足下列關系式：

D(t)=A-P(t),

這里A表示市場的絕對需求量.如果捕撈量大于市場需求量,市場價格將降低,反之上升.

綜合上述假設，我們有

(1)

其中α為捕撈量調節(jié)速度，β為市場價格調節(jié)速度.為了保證系統有意義，系統(1)狀態(tài)必須在可行域D={(X,H,P)|0≤X≤K,0≤H≤X,0≤P≤A}中.

2 正不動點的存在性及穩(wěn)定性分析

2.1 正不動點的存在性

求系統(1)的不動點，基于實際意義考慮，不動點應為非負數，滿足下列條件：

則系統有兩個邊界不動點p1(0,0,A)和p2(K,0,A)，其中p1(0,0,A)為滅絕不動點，正不動點滿足：

我們得到系統(1)正不動點存在定理.

定理1 (i)當Δ<0，則系統(1)不存在正不動點;

2.2 不動點的穩(wěn)定性

定理2 系統(1)不動點穩(wěn)定性情況如下：

(i)邊界不動點p1為系統的不穩(wěn)定鞍點;

(ii)當γA，p2為系統的穩(wěn)定結點;

(iii)當Δ=0時，系統(1)不動點E始終穩(wěn)定;

(iv)當Δ>0且γ

證明 對于系統(1)不動點的穩(wěn)定性，考慮其Jacobian矩陣：

(i)在不動點p1(0,0,A)的Jacobian矩陣為：

特征值為：λ1=r,λ2=α(A-γ),λ3=-β.

由于λ1>0,λ3<0，則邊界不動點p1(0,0,A)為鞍點.

(ii)在不動點p2(K,0,A)的Jacobian矩陣為：

特征值為：λ1=-r,λ2=α(A-γ),λ3=-β.

由于λ1<0,λ3<0，當γ0,所以邊界不動點p2(K,0,A)為鞍點；當γ>A，則λ2<0，所以邊界不動點p2(K,0,A)為穩(wěn)定結點.

(2)

λ1=0,

則λ2≠λ3，由于λ1=0，λ2,λ3具有負實部，則此時穩(wěn)定性可以應用中心流形定理判定：得到屬于λ1,λ2,λ3的特征向量分別為：

作非奇異線性變換：

將系統矩陣對角化后得到新的系統為：

(3)

由中心流形存在性理論[11]可知，系統存在一個中心流形，可表示為：

其中δ為一個充分小的正常數.根據中心流形的定義，令：

Q=h1(S)=a1S2+a2S3+a3S4+O(S5),

T=h2(S)=b1S2+b2S3+b3S4+O(S5).

則有：

φ1(S,h1(S),h2(S))·

當t→∞時，S→0，所以不動點(S,Q,T)=(0,0,0)是穩(wěn)定不動點,即平衡點E穩(wěn)定.

(iv)關于正不動點E1,E2的穩(wěn)定性，其Jacobian矩陣為：

我們應用Routh-Hurwitz定理來判斷，a0λ3+a1λ2+a2λ+a3=0，可以得出正平衡點E1,E2的穩(wěn)定條件為：

a0=1>0,

a1a2>a3.

3 數值模擬

當我們固定參數A=2.13,K=4,r=1.73,γ=0.4時，研究系統(1)在參數條件為α=0.1,β=1時的動力學行為.此時Δ=0,E(2.1,73,0.4)，圖1為初始值為(1.7,1.6,0.5)的時間序列圖和相圖，很明顯漁業(yè)資源經過有限時間將穩(wěn)定到不動點E.

當我們固定參數A=2.13,K=4,r=2.3,γ=0.4,研究系統(1)在參數條件為α=β=0.1時的動力學行為.此時Δ=3.97>0,γ

4 結論

本文建立漁業(yè)資源存儲量、捕撈量、價格三者之間相互作用的系統,給出了系統不動點的存在條件，并且應用了中心流行定理以及Routh-Hurwitz定理分析了不動點的穩(wěn)定性，從而了解如何通過控制參數來保持系統的穩(wěn)定，最后通過數值模擬來驗證結論.研究結果對實際生活中控制漁業(yè)資源平衡、實現漁業(yè)資源的可持續(xù)發(fā)展具有重要指導意義.

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Analysis of Stability in a Continuous Dynamical System of Fishery Resources with Linear Harvest Cost

Gu Enguo,Shi Xiaolin,Dan Wei

(College of Mathematics and Statistics,South-Central University for Nationalities,Wuhan 430074,China)

In order to keep the fishery resources in a balanced state, we assume that fishing cost function linearly depends on the harvest cost. Considering the fish natural growth and the market price changes with supply and demand situation, we establish a dynamic model of the interaction of fish store, harvest and market price to study the existence and the stability of the positive equilibrium point of the continuous system.

positive equilibrium point; center manifold theory; stability; Routh-Hurwitz theorem

2015-10-13

顧恩國(1964-)，男，教授，博士，研究方向：非線性動力學應用，E-mail: guenguo@163.com

國家自然科學基金資助項目(61374085)；中南民族大學研究生創(chuàng)新基金資助項目(2015sycxjj129)

O193

A

1672-4321(2015)04-0119-04