李慶勝，劉思峰

(1.南京航空航天大學經(jīng)濟與管理學院，江蘇南京211106)

(2.臨沂大學商學院，山東臨沂276005)

灰色猶豫模糊集及其灰關聯(lián)TOPSIS決策方法

李慶勝1，2，劉思峰1

(1.南京航空航天大學經(jīng)濟與管理學院，江蘇南京211106)

(2.臨沂大學商學院，山東臨沂276005)

猶豫模糊集作為模糊集的最新擴展形式，在處理部分確定、部分不確定新方面有其獨特的優(yōu)勢.在現(xiàn)實的猶豫模糊決策中，決策信息往往呈現(xiàn)部分信息已知，部分信息未知的特征，體現(xiàn)為灰信息的形式.基于此，文中提出了一種新的灰色猶豫模糊集合(gray hesitant fuzzy set，GHFS)，將猶豫模糊集擴展到灰集領域.文章還給出了灰猶豫模糊元的距離計算公式，提出了GHFS的灰關聯(lián)加權和TOPSIS(technique for order preference by similarity to an ideal solution)決策方法.專業(yè)市場發(fā)展策略的算例表明了方法的有效性與實用性.

灰色猶豫模糊集;灰關聯(lián);TOPSIS

自從文獻［1］中提出模糊集以來，模糊集理論現(xiàn)已成功地應用于各個領域.由于客觀世界的復雜性和不確定性，加上人們思維能力和知識水平的局限性，用于表達決策信息的形式不僅僅只是確定數(shù)，而經(jīng)常以區(qū)間數(shù)的形式進行描述.由于傳統(tǒng)的模糊集不能完整地刻畫所研究問題的信息，文獻［2-3］中引入了直覺模糊集并拓展到區(qū)間直覺模糊.由于直覺模糊集同時考慮了隸屬度、非隸屬度和猶豫度3個方面的信息，因此它廣泛地應用于處理模糊性和不確定性等方面的問題.人們發(fā)現(xiàn)在進行群決策時，決策者們經(jīng)常是猶豫和優(yōu)柔寡斷的，并且由于不能說服對方，使最終的決策結果難以達成一致.于是，文獻［4-5］中提出了模糊集的另一種廣義形式，即猶豫模糊集，其隸屬度是由若干種可能的值構成的集合.

猶豫模糊集作為模糊集的最新擴展形式，有其獨特的優(yōu)勢，因此引起了眾多學者的研究興趣.文獻［6-7］中將猶豫模糊集推廣至區(qū)間的形式，給出了區(qū)間猶豫模糊集的概念.

一個多屬性決策問題往往同時包含模糊性和灰性，稱之為灰色模糊多屬性決策問題.文獻［8］中提出了灰色模糊集合，認為這既是模糊集合的推廣又是灰色集合的推廣，是灰色集合與模糊集合的有機結合.文獻［9］中認為灰色模糊多屬性決策方法的研究己引起了人們的極大關注，但是灰色模糊多屬性決策無論是在理論研究方面還是在方法應用方面，都還很不成熟，有待于人們的不斷探索.

同時，一些學者把猶豫模糊集合和其他不確定性理論進行了有機的結合，進而提出了相關的多屬性決策方法.文獻［10］中提出了基于粗糙集的猶豫模糊多屬性決策方法;文獻［11］中提出了基于猶豫直覺模糊數(shù)的多屬性決策方法.

在現(xiàn)實決策中，猶豫模糊決策權據(jù)往往是灰數(shù)的大概范圍而不是其確切值，并非是在給定范圍之內(nèi)任意數(shù)皆可的區(qū)間數(shù)，因此文中提出灰色猶豫模糊集合，并進一步探討基于灰關聯(lián)加權的決策方法.為方便起見，文中采用多目標決策分析中的優(yōu)劣解距離法(technique for order preference by similarity to an ideal solution，TOPSIS).TOPSIS法是根據(jù)有限個評價對象與理想化目標的接近程度進行排序的方法，在現(xiàn)有的對象中進行相對優(yōu)劣的評價.

1 灰色猶豫模糊集

定義1［4-5］令X為一個給定的集合.形如A={〈x，hA(x)〉|x∈X}的二元組稱為X上的猶豫模糊集.其中，hA(x)是由區(qū)間［0，1］上若干個不同的數(shù)構成的集合，表示元素x屬于集合A的若干種可能隸屬度構成的集合.為了書寫方便，記hA(x)為猶豫模糊元.假如其每個猶豫模糊元中的元素只有一個，則猶豫模糊集退化為模糊集.

由于客觀世界的復雜性和不確定性，以及人們思維能力和知識水平的局限性，人們經(jīng)常以區(qū)間數(shù)的形式表達決策信息.因此，文獻［6-7］中在猶豫模糊集的基礎上，引入了區(qū)間猶豫模糊集.

定義2令X為一給定的集合，D［0，1］表示區(qū)間［0，1］上的所有閉子區(qū)間構成的集合.X上形如~A={〈x，~h~A(x)〉|x∈X}的二元組稱為一個區(qū)間猶豫模糊集.其中~h~A(x):X→D［0，1］表示元素x屬于集合~A的所有可能區(qū)間隸屬度構成的集合.稱~h~A(x)為一個區(qū)間猶豫模糊元.顯然，對于一個區(qū)間猶豫模糊集，若其每個區(qū)間猶豫模糊元中的元素只有一個，則區(qū)間猶豫模糊集退化為區(qū)間模糊集;若其區(qū)間猶豫模糊元中的每個元素都為實數(shù)，則區(qū)間猶豫模糊集退化為猶豫模糊集.

只知道大概范圍而不知道其確切值的數(shù)稱為灰數(shù).在應用中，灰數(shù)實際上指在某一個區(qū)間或某一個一般的數(shù)集內(nèi)取值的不確定數(shù);而區(qū)間數(shù)往往是指在區(qū)間范圍之內(nèi)的任意數(shù).因此用灰數(shù)代替區(qū)間數(shù)，提出猶豫模糊集具有特定學術價值.

定義3令X為一給定的集合，g0［0，1］表示區(qū)間［0，1］上的所有閉子區(qū)間構成的集合.X上形如GA={〈x，ghA(x)〉|x∈X}的二元組稱為一個灰色猶豫模糊集(GHFS).其中ghA(x):X→g0［0，1］表示元素x屬于集合GA的所有可能灰色隸屬度構成的集合，稱ghA(x)為一個灰色猶豫模糊元.顯然，對于一個灰色猶豫模糊集，若其每個灰色猶豫模糊元中的元素只有一個，則灰色猶豫模糊集退化為灰色模糊集;若其灰色猶豫模糊元中的每個元素都為實數(shù)，則灰色猶豫模糊集退化為猶豫模糊集.

顯然灰色猶豫模糊集即是對猶豫模糊集的擴展，更屬于灰集的一個特殊分支.這樣可以進一步利用灰色系統(tǒng)的理論解決模糊數(shù)學所難以解決的小樣本、貧信息以及不確定性問題［12］，實現(xiàn)少數(shù)據(jù)建模.

定義4兩個灰色猶豫模糊元gh1和gh2，它們之間的距離d(gh1，gh2)應該滿足以下特性:

(1)0≤d(gh1，gh2)≤1.

(2)d(gh1，gh2)=0，當且僅當gh1=gh2時成立.

(3)d(gh1，gh2)=d(gh2，gh1).

在許多情況下，灰色猶豫模糊集中元素的個數(shù)是不等的，并且數(shù)值是處于無序狀態(tài).為了方便，假定l=max{lgh1，lgh2}，其中l(wèi)為灰色猶豫模糊集中元素的個數(shù).為了更精確地計算兩個灰色猶豫模糊元之間的距離，需要它們具有相同的個數(shù)，參考文獻［13］制定了如下擴展規(guī)則:

定義5假定GA:gh={ghσ(i)|i=1，2，…，l}，規(guī)定gh+和gh-分別為GHFE中的最大和最小值.稱gh=ηgh++(1-η)gh-為擴展值.參數(shù)η(0≤η≤1)由決策者的風險偏好決定.當決策者是風險中性時，取η=0.5，此時擴展值gh=0.5(gh++ gh-);當決策者為風險規(guī)避者時，取η=0，此時擴展值gh=gh-;當決策者為風險尋求者時，取η=1，此時擴展值gh=gh+.

根據(jù)歐氏距離同時參考文獻［13］，給出GHFE的距離測度:

d(gh1，gh2)=

2 灰色關聯(lián)TOPSIS決策方法

2.1 問題描述

在灰色猶豫模糊多屬性決策時，根據(jù)各屬性的評估值建立決策矩陣.設m個評價對象組成方案集A={A1，A2…Am}，n個決策屬性組成指標集X= {x1，x2，…xn}，則灰色猶豫模糊決策矩陣GH為:

2.2 用灰色關聯(lián)計算權重

目前已有不少研究成果研究群決策專家權重的確定，包括關聯(lián)加權幾何平均法、離差最大化法［14-16］等，這些方法從多方面、多角度解決了群決策中專家權重的確定問題.

灰色系統(tǒng)理論在處理小樣本、貧信息，以及不確定問題上存在巨大優(yōu)勢，在多屬性決策研究中得到廣泛應用［12，17-18］.文中依據(jù)文獻［12］中提出的利用灰色關聯(lián)確定群決策中指標權重的原理，將該原理擴展到灰色猶豫模糊集中.

定義6 GH0=(gh0(1)，gh0(2)，…gh0(n))

(1)計算灰色關聯(lián)系數(shù)及灰色關聯(lián)度［17-18］

首先利用公式(1)，分別求出 GH0和 GH1，GH2，…，GHm的距離D，然后利用式(4)和式(5)求出灰色關聯(lián)系數(shù)ζ(j)和灰色關聯(lián)度γ(j)，令D= d(ghi(j)，gh0(j))

式中:ρ為分辨系數(shù)，ρ∈(0，1)，一般取ρ=0.5各個數(shù)列的關聯(lián)度大小，直接反映了各個評價指標相對于設定指標數(shù)列相對重要的程度，即權重大小.

(2)確定為各個決策指標的權重值wj.W(X)=(w1，w2，…wn)

式中:

2.3 確定正理想方案和負理想方案

在確定完屬性權重后，把 TOPSIS決策方法［19-22］擴展到灰色猶豫模糊集，進行方案排序.正理想點PIS用GA+表示;負理想點NIS用GA-表示.

負理想方案:

2.4 計算第i方案到正負理想點的加權距離

在TOPSIS決策的實踐中，各指標的重要程度不同，常常需要考慮權重因素.文中采用有關聯(lián)加權距離的方法.各方案到正理想點的加權距離為:

各方案到負理想點的加權距離為:

式中，wj為第j個指標的權重.

2.5 計算各方案的相對貼近度

各方案的相對貼近度ci的計算方法為

顯然，相對貼近度越大，方案越優(yōu).基于以上分析，灰色猶豫模糊集的灰關聯(lián)TOPSIS決策方法的主要步驟為①利用公式(4)、(5)和(6)得到屬性權重向量;②利用公式(7)和(8)確定灰色猶豫模糊的正理想值GA+和負理想值GA-;③利用公式(9)和(10)計算方案Ai的d+i和d-i;④ 利用公式(11)，計算各方案相對貼近度ci;⑤根據(jù)相對貼近度，選擇最佳方案.

3 算例

專業(yè)批發(fā)市場可持續(xù)性發(fā)展決策受多種因素影響.正確的專業(yè)市場發(fā)展決策影響經(jīng)濟與社會各個方面.假定有5種備選發(fā)展方案Ai(i=1，2，3，4，5)，有4種屬性:P1為技術;P2為環(huán)境;P3為社會政治;P4為經(jīng)濟.邀請5位專家來評估5種方案.屬性值以GHFS的形式給出，灰色猶豫模糊決策矩陣見表1.顯然本例中屬性值的長度不同，此處假定決策者為風險規(guī)避者，因此取η=0，擴展值gh= gh-，具體數(shù)值見表2.

表1 灰色猶豫模糊決策矩陣Table 1 Grey hesitation fuzzy decision-making matrix

表2 基于風險規(guī)避的灰色猶豫模糊擴充決策矩陣Table 2 Grey hesitation fuzzy decision-making extended matrix based on risk aversion

步驟1:利用式(4)、(5)得到灰色關聯(lián)系數(shù)ζi(j)和灰色關聯(lián)度γ(j)，利用公式(6)得到w.

步驟2:利用公式(7)和(8)確定灰色猶豫模糊的正理想值GA+和負理想值GA

GA-=

{〈［0.2，0.5］，［0.2，0.3］，［0.2，0.3］，［0.2，0.3］，［0.1，0.3］〉，

〈［0.6，0.7］，［0.3，0.4］，［0.1，0.2］，［0.1，0.2］，［0.1，0.2］〉，

〈［0.3，0.5］，［0.1，0.3］，［0.1，0.2］，［0.1，0.3］，［0.1，0.2］〉，

〈［0.5，0.6］，［0.3，0.4］，［0.2，0.3］，［0.2，0.3］，［0.2，0.3］〉}

GA+=

{〈［0.7，0.9］，［0.6，0.7］，［0.5，0.6］，［0.5，0.6］，［0.5，0.6］〉，

〈［0.7，0.9］，［0.7，0.8］，［0.6，0.7］，［0.5，0.6］，［0.5，0.6］〉，

〈［0.7，0.9］，［0.7，0.8］，［0.6，0.7］，［0.6，0.7］，［0.6，0.7］〉，

〈［0.8，0.9］，［0.7，0.8］，［0.5，0.6］，［0.5，0.6］，［0.5，0.6］〉}

步驟3:利用公式(9)和(10)計算方案Ai(i=

步驟4:利用公式(11)，計算各方案相對貼近度ci(i=1，2，3，4，5):

c1=0.3518，c2=0.3308，c3=0.5558，

c4=0.3404，c5=0.6803.

步驟5:根據(jù)相對貼近度，選擇最佳方案ci(i= 1，2，3，4，5)，對備選方案進行排序Ai(i=1，2，3，4，5)

顯然，A5?A3?A4?A1?A2，這樣最佳選擇方案為A5.

4 結論

多屬性決策問題往往面臨著復雜的環(huán)境，并且可能會出現(xiàn)非精確的數(shù)據(jù)，甚至伴有模糊性和灰性.在現(xiàn)實決策中，猶豫模糊決策信息往往是只知道大概范圍而不知道其確切值的灰權，而并非在給定范圍之內(nèi)任意數(shù)皆可的內(nèi)涵，因此文中提出了用灰數(shù)代替區(qū)間數(shù)的灰色猶豫模糊集.它既是對猶豫模糊的擴展，更是對灰色系統(tǒng)的新應用領域的拓展.以此為基礎，文中進一步提出了灰關聯(lián)定權的TOPSIS決策方法，并用專業(yè)批發(fā)市場可持續(xù)性發(fā)展策略的算例證明了該方法的有效性和應用性.該方法可以在類似的經(jīng)濟與管理的決策中推廣應用.

References)

［1］ 扎德.模糊集［J］.信息與控制，1995，8(3):338-356.Zadeh L A.Fuzzy sets［J］.Information and Control，1995，8(3):338-356.(in Chinese)

［2］Atanssov K.Intutionistic fuzzy sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1986，20(1):87-96.

［3］Atanassov K，Gargov G.Intervalvalued intuitionistic fuzzy sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1989，31(3): 343-349.

［4］Torra V.Hesitant fuzzy sets［J］.International Journal of Intelligent Systems，2010，25(6):529-539.

［5］Torra V，Narukawa Y.On hesitant fuzzy sets and decision［C］∥The 18th IEEE International Conference on Fuzzy Systems.Jeju Island，Korea:［s.n.］，2009: 1378-1382.

［6］Chen N，Xu Z S，Xia M M.Interval-valued hesitant preference relations and their applications to group decision making［J］.Knowledge-Based Systems，2013，37 (2)，528-540.

［7］Chen N，Xu Z S，Xia M M.Correlation coefficients of hesitant fuzzy sets and their applications to clustering analysis［J］.Applied Mathematical Modelling，2013，37(4):2197-2211.

［8］ 陳大為.灰色模糊集合［J］.黑龍江水專學報，2000，27(4):103-108.

［9］ 盧英.灰色模糊多屬性決策分析方法研究［D］.杭州:浙江工商大學，2009:3-15

［10］ 朱麗，朱傳喜，張小芝.基于粗糙集的猶豫模糊多屬性決策方法［J］.控制與決策，2014，29(7):1335-1339 Zhu Li，Zhu Chuanxi，Zhang Xiaozhi.Method for hesitant fuzzy multi-attribute decision making based on rough sets［J］.Control and Decision，2014，29(7): 1335-1339.(in Chinese)

［11］ 付超，趙敬.基于猶豫直覺模糊數(shù)的多屬性決策方法［J］.系統(tǒng)工程，2014，32(4):131-136.Fu Chao，Zhao Jing.Multiple attribute decision making method based on hesitation institution fuzzy number［J］.Systems Engineering，2014，32(4):131-136.(in Chinese)

［12］ 劉思峰，方志耕，謝乃明.基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)運算法則［J］.系統(tǒng)工程與電子技術，2010，32(2): 313-316 Liu Sifeng，F(xiàn)ang Zhigeng，Xie Naiming.Algorithm rules of interval grey numbers based on the Kernel and the degree of greyness of grey numbers［J］.Systems Engineering and Electronics，2010，32(2):313-316.(in Chinese)

［13］Xu Zeshui，Zhang Xiaolu Hesitant fuzzy multi-attribute decision making based on TOPSIS with incomplete weight information［J］.Knowledge-Based Systems，2013，52(5):53-64.

［14］Xu Zeshui.A deviation-based approach to intuitionistic fuzzy multiple attribute group decision making［J］.Group Decision and Negotiation，2010，19(1):57-76.

［15］Xu Zeshui.Deviation measures of linguistic preference relations in group decision making［J］.Omega，2005，33(3):249-254.

［16］Wu Zhibin，Chen Yihua.The maximizing deviation method for group multiple attribute decision making under linguistic environment［J］.Fuzzy Sets and Systems，2007，158(14):1608-1617.

［17］ 王正新，黨耀國，曹明霞.基于灰熵優(yōu)化的加權灰色關聯(lián)度［J］.系統(tǒng)工程與電子技術，2010，32(4): 119-122.Wang Zhengxin，Dang Yaoguo.Cao Minxia.Weighted grey relational degree based on grey entropy optimization［J］.System Engineering and Electronic Technology，2010，32(4):119-122.(in Chinese)

［18］Sun Jiaqi.Combining grey relation analysis and entropy model for evaluating the operational performance:an empirical study［J］.Quality＆Quantity，2014，48(3): 109-113. ［19］余雁，梁樑.多指標決策TOPSIS方法的進一步探討［J］.系統(tǒng)工程，2003，21(2):98-101.Yu Yan，Liang Liang.Extensions of the TOPSIS for multiple criteria decision making［J］.System Engineering，2003，21(2):98-101.(in Chinese)

［20］徐澤水.一種基于目標貼近度的多目標決策方法［J］.系統(tǒng)工程理論與實踐，2001，21(9):101-103 Xu Zeshui.A method based on objective similarity scale for multi-objective decision-making［J］.System Engineering Theory and Practical，2001，21(9):101-103.(in Chinese)

［21］Yue Zhongliang.An extended TOPSIS for determining weights of decision makers with interval numbers［J］.Knowledge Based Systems，2011，24(1):146-153.

［22］ 王硯羽，張卓，王正新.基于灰色關聯(lián)系數(shù)改進的加權TOPSIS法及其應用［J］.華東經(jīng)濟管理，2011，25 (10):139-144.Wang Yanyu，Zhang Zhuo，Wang Zhengxin.An improved weighted topsis method and its application based on grey relational coefficient［J］.East China E-conomic Management，2011，25(10):139-144.(in Chinese)

(責任編輯:童天添)

Grey hesitant fuzzy sets and its decision making based on grey relation and TOPSIS

Li Qingsheng1，2，Liu Sifeng1
(1.School of Economics and Management，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing Jiangsu 211106，China)
(2.School of Business，Linyi University，Linyi Shandong 276005，China)

As a fuzzy set of the latest extension form，hesitant fuzzy set has its unique advantage in dealing with the data of partial certainty and partial uncertainty.In reality，in the hesitant fuzzy decision-making，the information is often partially known and partially unknown，embodied in the form of grey information.So we propose a new grey hesitant fuzzy set(GHFS)which is an extension to grey sets of the hesitant fuzzy set.This paper also presents the calculation formula of grey hesitant fuzzy element distance，and then puts forward the grey weighted and TOPSIS decision method of GHFS.A professional market development strategy selection problem is used to illustrate the detailed implementation process of the proposed approach and to demonstrate its validity and applicability.

grey hesitant fuzzy set;grey relation; TOPSIS

C934

A

1673-4807(2015)06-0597-05

10.3969/j.issn.1673-4807.2015.06.016

2015-09-09

國家自然科學基金國際(地區(qū))合作與交流項目(71111130211);國家自然科學基金資助項目(70901041，70701017);國家自然科學基金重大研究計劃培育項目(90924022);國家自然科學基金資助項目(70971064)

李慶勝(1970—)，男，博士研究生，研究方向為灰色系統(tǒng)、不確定性決策.E-mail:liqingshengguanli@163.com

李慶勝，劉思峰.灰色猶豫模糊集及其灰關聯(lián)Topsis決策方法［J］.江蘇科技大學學報(自然科學版)，2015，29(6):597-601.