摘要：一堂數(shù)學課的教學目標達成程度可以用來衡量這堂課的質(zhì)量。因此，可以用認知主義與建構主義兩種教學觀對各個維度下的教學目標的貢獻來推斷一堂優(yōu)質(zhì)數(shù)學課中兩種觀念各自的相對權重。基于層次分析方法，將一堂優(yōu)質(zhì)數(shù)學課的構成分成四個層次并且建立評價模型。根據(jù)對二到四層進行理論推導得出的判斷矩陣來計算兩種教學觀的相對權重。最終從整體以及各個子結構中審視兩種教學觀的相對權重，從而明晰在數(shù)學教學中要根據(jù)不同的境況采取合理的教學觀。

關鍵詞：建構主義 認知主義 優(yōu)質(zhì)數(shù)學課 數(shù)學教學目標 相對權重

一、認知主義和建構主義數(shù)學教學觀

教師的數(shù)學教學觀由數(shù)學觀、認知觀和教學觀這三個部分構成[1]。認知主義數(shù)學教學觀的主要表現(xiàn)：數(shù)學觀上認為世界是由客觀的物體及其屬性和物體間的關系所構成，學習的目標在于將外在的這些事物及其屬性和關系內(nèi)化為學習者的認知結構;認知觀上認為學習是知覺的重組、頓悟的過程、認知結構發(fā)展的過程、知識同化的過程以及信息加工的過程;教學觀上認為教學目標就是要掌握數(shù)學基礎知識與基本技能、發(fā)展數(shù)學能力，學生作為學的主體，在教的主體——教師的指導下主動的探索情境和加工信息，提倡發(fā)現(xiàn)學習以及有意義的接受學習的教學方法，采用行為測驗和認知分析相結合的評價方法。建構主義數(shù)學教學觀的主要表現(xiàn)：在數(shù)學觀上，社會建構主義將數(shù)學視為社會建構的產(chǎn)物，認為數(shù)學知識是發(fā)展變化的、可誤的，數(shù)學理論在不斷的否定中進行發(fā)展[2];認知觀上，數(shù)學的抽象性說明了數(shù)學學習是一個知識的建構過程，并且交互性是這個過程的關鍵，因此數(shù)學學習就發(fā)生在師生間多邊的交互性活動中[3];教學觀上認為教學的目標是要引導學生開展高水平的思維活動，并且達到對知識的深層理解。[4]認知主義與建構主義在數(shù)學觀、認知觀以及教學觀上表現(xiàn)出不同的傾向，在不同的傾向上展現(xiàn)著各自的教學優(yōu)勢，但也無法掩蓋各自的缺陷，我們對這兩種教學觀要辯證地對待。

二、建立模型及判斷矩陣

判斷一堂數(shù)學課的好壞，不是只看教師講得如何流暢，課堂氣氛如何熱烈，板書如何漂亮，更主要的（也是首先應該考慮的）是看這堂課的教學目的是否訂得合適、教學目的是否達到。[5]為了更直觀地闡述認知主義教學觀與建構主義教學觀對一堂優(yōu)質(zhì)數(shù)學課的影響，利用AHP方法把衡量數(shù)學教學質(zhì)量的教學目標分成三個維度，然后將具體教學目標按照這三個維度進行歸類，從而建立起優(yōu)質(zhì)數(shù)學課的目標體系，通過理論分析得到各個層次的以及這兩種教學觀針對不同具體教學目標的判斷矩陣，最終可以算出它們在優(yōu)質(zhì)數(shù)學課中的相對權重。本處采用1、3、5三個尺度進行同層次因素的兩兩比較。

1.建立模型

模型的決策目標是“優(yōu)質(zhì)數(shù)學課”，所以第一個中間層三要素是知識與技能、過程與方法以及情感態(tài)度與價值觀這三個維度。第二個中間層要素就是按照三個維度所劃分的具體的數(shù)學教學目標。知識與技能指的是事實、規(guī)則以及動作序列這類知識目標，過程與方法涉及的是如何學習和運用事實、規(guī)則以及動作序列這類知識，而情感態(tài)度與價值觀指的是在實現(xiàn)過程與方法這個維度的目標時所形成的相對穩(wěn)定的東西，如能力、興趣、態(tài)度等。[6]因此，知識與技能這一維度應該包含數(shù)學概念、數(shù)學命題、數(shù)學技能;過程與方法這一維度包括問題解決和數(shù)學思想方法;情感態(tài)度與價值觀包括良好的數(shù)學價值與興趣、數(shù)學能力。備選方案包含認知主義數(shù)學教學觀和建構主義數(shù)學教學觀。模型如下圖1所示。

2.建立第一中間層要素的判斷矩陣

2013年國家教育部制定的《普通高中數(shù)學新課程標準（實驗）》中表明數(shù)學擔任的是一個科學語言和有效工具的角色，通過數(shù)學教育，學生必須掌握基礎知識、基本技能、基本思想，形成符合社會需求的精神態(tài)度，并且能夠用數(shù)學的思考方式解決問題、認知世界。在時間有限的一堂數(shù)學課上，教學目標將進一步具體化、現(xiàn)實化。知識與技能的教學目標是最為關鍵的，這個維度的目標達成與否將直接影響到以后的數(shù)學學習。知識與技能雖然關鍵卻是數(shù)學教學中最基本的目標，這個層次的學習是為學生形成CPFS結構、掌握數(shù)學思想方法做基礎。形成CPFS結構、掌握數(shù)學思想方法只能通過過程與方法這一維度目標的落實而實現(xiàn)，而且過程與方法目標的落實直接影響到學生數(shù)學能力的發(fā)展、情感價值觀的形成。情感態(tài)度與價值觀這一維度教學目標涉及到形式上的數(shù)學教育，在學生一生的發(fā)展過程中扮演非常重要的角色，但該維度的教學目標要通過長期的數(shù)學學習才能實現(xiàn)，教師在一堂課中落實過程與方法這個維度的目標時只能予以重視。因此，衡量一堂課是否具有高質(zhì)量首先應該看過程與方法這一維度目標的落實情況，其次是知識與技能、最后才是情感態(tài)度與價值觀。形成的判斷矩陣如表1所示。

表1 第一中間層要素的判斷矩陣

3.建立第二中間層要素的判斷矩陣

（1）認知與技能維度下三要素判斷

在中學數(shù)學中，概念、命題以及相關的數(shù)學技能構成了數(shù)學內(nèi)容，而這些內(nèi)容是中學數(shù)學基礎知識的一部分。這部分的掌握對于中學數(shù)學教學來說是最基本的要求，構成了學生認知結構的元素。基礎知識是有系統(tǒng)性的……也就是說它的每一個概念都用前面的概念來定義，每一個定理都用前面的定理、公理來證明。[7]然而在數(shù)學知識學習和應用的過程中，學習者對動作經(jīng)驗的積累而逐漸形成數(shù)學技能。同時，數(shù)學技能又影響著數(shù)學知識的學習，因此，數(shù)學技能的形成標志著學習者對數(shù)學知識的掌握。這三要素組成了完整的數(shù)學教學內(nèi)容，所以，在知識與技能這一維度下，數(shù)學概念與數(shù)學命題是同等重要的，都必須作為最基本的要求來實現(xiàn)，而數(shù)學技能的學習明顯要高于前兩要素。得到的判斷矩陣如表2所示。

表2 知識與技能三要素的判斷矩陣

（2）過程與方法維度下兩要素判斷

數(shù)學基礎知識除了概念、命題以及數(shù)學技能外，還包括教學內(nèi)容所反映的數(shù)學思想與方法。按照波蘭尼對知識的劃分，數(shù)學思想方法屬于默會知識。默會知識（怎么想，怎么做）本質(zhì)上是理解力和領悟，存在于個人經(jīng)驗（個體性），鑲嵌于實際活動中（情境性）[8]，這部分知識相當于冰山的水下部分，而且占了數(shù)學知識的相當大的比重。然而數(shù)學思想方法是一種只能意會不能言傳的知識，只有在活動中獲得體驗才能領悟到這類知識。從數(shù)學課堂上講，這種活動主要是圍繞數(shù)學知識的學習和應用展開的。學生在問題解決過程中學習和使用數(shù)學知識，進而對數(shù)學知識產(chǎn)生理解，使知識點之間建立關系，達到建構主義的高級學習。所以說數(shù)學問題解決是獲得數(shù)學思想方法的前提，為教師在教學中進行思想方法的滲透提供了知識和經(jīng)驗的基礎，使學生獲得數(shù)學思想方法成為可能。因此在一堂數(shù)學課中，數(shù)學問題解決這一目標的實現(xiàn)應先于數(shù)學思想方法的獲得。兩因素的判斷如表3所示。endprint

表3 過程與方法兩要素的判斷矩陣

（3）情感態(tài)度與價值觀維度下三要素判斷

在教學中要注重形式教育與實質(zhì)教育的結合，數(shù)學能力的培養(yǎng)是形式教育的重要體現(xiàn)。喻平教授將數(shù)學能力劃分為三個層次即數(shù)學元能力、共通任務的能力和特殊任務的能力。數(shù)學能力在學習數(shù)學與使用數(shù)學的過程中形成的，通過教學是可以實現(xiàn)對其培養(yǎng)的。反過來，數(shù)學能力又嚴重影響學生對數(shù)學的學習和使用，良好的數(shù)學能力使學生在將來的工作與學習中更好的發(fā)揮數(shù)學的工具與語言的功能，是終身學習的基礎。數(shù)學價值與興趣，就是在數(shù)學教學過程中使學生要了解數(shù)學的社會、科學和人文價值，形成合理的數(shù)學觀和數(shù)學興趣，對數(shù)學價值的理解能夠提升學生對數(shù)學的興趣，促進學生形成穩(wěn)定的數(shù)學學習動機。從單一的一堂課來看，數(shù)學價值與興趣的意義小于數(shù)學能力，如表4所示。

表4 情感態(tài)度與價值觀兩要素的判斷矩陣

4.建立備選方案的判斷矩陣

（1）數(shù)學概念教學中兩種觀念比較

布魯納提出兩種概念的獲得方式：一種是概念的形成，另一種是概念的同化。[9]兩者的區(qū)別是前者需要積累大量的感性材料，對本質(zhì)屬性的把握實現(xiàn)向理性的飛躍;后者是利用已有的相關認知對新概念進行解讀，達到同化它的目的。從有效教學的角度來看，數(shù)學概念適合于概念的同化?！敖處煹淖饔檬且员M可能直接的方式把事實、規(guī)則和動作序列傳達給學生?！盵10]進入中學的學生，他們的認知發(fā)展進入了形式運算階段，在初二階段，數(shù)學思維迎來第一次高速發(fā)展時期，可見，他們有能力利用已有的認知結構去同化新概念，從而使之得到發(fā)展。認知主義數(shù)學教學觀有助于使學生形成系統(tǒng)的數(shù)學知識，方便于教師的教學，并且能夠以直觀的形式對教學結果進行評價。相反，讓學生對事物進行經(jīng)驗，建構起概念然后將其同化，這個過程消耗了課堂上的時間與學生的精力，對后面的高級學習造成負面影響。因此，認知主義教學觀更加適合中學數(shù)學概念的教學。

（2）數(shù)學命題教學中兩種觀念比較

數(shù)學命題描述的是數(shù)學概念之間的關系，一個命題的判斷需要其它已確定的命題作為前提進行推理，甚至需要一系列的推理。命題的教學需要學生的主動參與，認知主義教學觀以結構良好的問題為背景引導學生認識命題，其視角單一，忽視了學生對命題中概念之間關系的多維建構，容易造成機械學習，而且使數(shù)學命題孤立化，無法形成命題域與命題系。在命題教學中，教師提供難度適當?shù)膯栴}引起學生的認知沖突，在認知沖突的作用下嘗試著解決問題，建構命題中各概念之間的關系，并進行證明。在這個過程中學生能夠了解命題發(fā)展的脈絡，從而形成命題域。然而，命題的學習還需要有難度的問題做變式，這些變式構成了結構不良的知識領域，需要學生從認知結構中提取相關信息進行重新建構，這樣學生就能進一步完善命題域和形成命題系。在此階段，建構主義教學觀明顯優(yōu)于認知主義教學觀。

（3）數(shù)學技能教學中兩種觀念比較

學生如能在兩類數(shù)學知識（數(shù)學陳述性知識包括概念與命題，以及數(shù)學程序知識包括法則、方法、步驟等）之間建立起聯(lián)系，了解程序知識的理論基礎，就可以將相應的數(shù)學技能內(nèi)化，使之成為擴大了的知識結構的一部分。[11]在教學時，教師要在陳述性知識基礎上對每個步驟進行講解與示范，使心智技能的要素與動作次序在學生大腦中形成定向表象，這個過程的完成是以認知主義教學觀為基礎的。然而在操作與內(nèi)化階段就要采取建構主義教學觀，在一定量的變式練習中，教師要發(fā)揮腳手架的作用，逐漸的放手讓學生自己操作。不難看出，在數(shù)學技能教學中，兩種教學觀念的搭配要相得益彰，兩者缺一不可。

（4）數(shù)學問題解決教學中兩種觀念比較

問題解決教學的目的是為了培養(yǎng)學生用數(shù)學解決問題的能力。解決問題的認知過程分別為：問題表征、模式識別、解題遷移、解題監(jiān)控。[12]在教學過程中教師不能把解題步驟與方法直接告訴學生，學生也不能直接從長時記憶中復制信息進行應用。而是教師要起到腳手架的作用，在與學生雙向交流的過程中，引導學生對問題進行合理表征，繼而通過模式識別與解題遷移對長時記憶中的信息進行重新建構，使之符合問題情境，學生還要對自己解題的整個過程進行監(jiān)控，不斷修改自己的問題表征和解題信息的結構，使解題過程朝正確方向發(fā)展。在這個過程中，學生進一步發(fā)展自己的CPFS結構、自我監(jiān)控能力以及提升思維品質(zhì)、形成數(shù)學思想方法。認知主義教學觀的過分簡單化學習容易導致高級學習的缺失，形成的認知結構是直線型的，而非網(wǎng)狀的，這類認知結構只適合包含單一知識點的簡單問題，而對于知識點交叉的、需要策略與方法遷移的復雜問題是無從下手。所以，建構主義教學觀更適合于問題解決教學。

（5）數(shù)學思想方法教學中兩種觀念比較

數(shù)學思想方法是基于數(shù)學知識而高于數(shù)學知識的一種隱性的數(shù)學知識，要在學生的反復實踐與體驗中才能被逐漸認識、理解。[13]學生要主動的參與到數(shù)學教學中，然而以認知主義教學觀為基礎的傳統(tǒng)教學容易忽視學生的主動性。所以，教師需要以一定難度的問題為情境，為了保證學生能夠參與問題的解決，教師以學習共同體成員的身份給學生提供幫助，在這個過程中建構主義教學觀的意義就得到彰顯。事實上，思想方法的教學并非就此而結束，此時，教師還要引導學生對自己的經(jīng)驗進行反思和概括，并對數(shù)學思想方法與相關數(shù)學知識的交叉點進行講解，幫助學生對知識去境脈化，形成系統(tǒng)的、穩(wěn)定的、可遷移的數(shù)學知識。這個階段就需要認知主義教學觀的參與來保證教學的有效性，課件在數(shù)學思想方法的教學中兩種教學觀都是具有相當意義的。

（6）數(shù)學價值與興趣培養(yǎng)中兩種觀念比較

在數(shù)學問題、現(xiàn)實生活問題以及其他學科問題解決中，讓學生體驗數(shù)學的工具作用的同時讓他們感受到數(shù)學的美。雖然認知主義數(shù)學觀延續(xù)了客觀主義傳統(tǒng)，導致學生個人的觀點很難融入到數(shù)學知識中去，從而忽略學生的情感，使數(shù)學喪失了人文價值，但是，教師仍然就數(shù)學在眾學科中的地位要進行詳細認真的講解，使他們形成正確的數(shù)學學習觀。數(shù)學興趣主要由數(shù)學意義所形成的外在興趣以及數(shù)學學科本身形成的內(nèi)在興趣所構成。外在興趣形成于對數(shù)學價值的理解，內(nèi)在興趣是在學習數(shù)學和解決數(shù)學問題的過程中獲得的快樂而導致的。因此，兩種教學觀的意義是同等的。endprint

（7）數(shù)學能力培養(yǎng)中兩種觀念比較

數(shù)學知識技能的學習是形成和發(fā)展數(shù)學能力的基礎，如果離開了知識技能的學習，那么數(shù)學能力的培養(yǎng)就會成為無源之水，無木之本[14]，但是數(shù)學知識的獲得并不能代表數(shù)學能力的發(fā)展，而是需要學生在學習數(shù)學知識的過程中鍛煉自己的數(shù)學元能力、共通性任務能力、特殊性任務能力，提升思維品質(zhì)，同時還要完善自己的CPFS結構。在用數(shù)學解決問題時表現(xiàn)出敏捷、靈活和創(chuàng)新的特點。

七種教學中兩種觀念的比較結果如表5所示。

表5 七種教學中認知主義教學觀與建構主義

教學觀意義的判斷矩陣

三、權重計算

將數(shù)據(jù)輸入到y(tǒng)aahp6.0軟件中，整個判斷矩陣的一致性為0.037，其不一致性程度在容許的范圍之內(nèi)，兩種教學觀在總系統(tǒng)以及各個子系統(tǒng)中所占的權重如表6所示。

表6 指標權重

從總體上看，在堂優(yōu)質(zhì)的數(shù)學課中，認知主義教學觀的相對權重僅為0.3609，建構主義教學觀占到0.6391，明顯處于主導地位。說明傳統(tǒng)的教學方法已經(jīng)很難滿足現(xiàn)代社會對數(shù)學教學的要求了，教師需要形成建構主義數(shù)學教學觀，尊重學生自己建構知識意義的權力和能力，師生間形成雙向的交流通道，重視學習共同體之間的合作與交流。

從三個子系統(tǒng)來看，認知主義教學觀雖然滿足不了現(xiàn)代社會對數(shù)學教學的要求，但現(xiàn)代數(shù)學教學依然離不開它。在知識與技能這個維度上，兩種教學觀各位0.5，一方面，需要認知主義教學觀保證課堂教學的效率，另一方面，需認知主義教學觀幫助學生對學習知識去境脈化，形成系統(tǒng)的、穩(wěn)定的、靈活的數(shù)學知識。在后兩個目標維度中，認知主義教學觀都占有一定的比重，在這兩個維度的教學中建構主義教學觀雖然起到很大的作用，但是依然需要認知主義教學觀進行補充。

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參考文獻

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[14] 馬忠林主編.數(shù)學學習論.南寧：廣西教育出版社，2007.

[作者：汪輝（1986-），男，湖北黃石人，喀什師范學院在讀碩士。]

【責任編輯 任洪鉞】endprint