作者簡(jiǎn)介：東北師范大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，曾任東北師范大學(xué)校長。全國人大代表，國務(wù)院學(xué)科評(píng)議組成員，國家級(jí)教學(xué)名師，中國教育學(xué)會(huì)副會(huì)長，科技委數(shù)理學(xué)部委員。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長，普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長。

編者按：在2014年5月6日召開的國家社科基金教育學(xué)重點(diǎn)課題《中小學(xué)理科教材難度的國際比較研究》成果報(bào)告會(huì)上，史寧中教授送我一本近期大作《數(shù)學(xué)思想概論——自然界中的數(shù)學(xué)模型》。利用5月至6月的閑暇，我匆匆拜讀了此書，在閱讀中不時(shí)為一個(gè)杰出數(shù)學(xué)家對(duì)物理學(xué)相關(guān)模型的理解而感嘆，很受啟發(fā)！此書是史寧中教授“數(shù)學(xué)思想概念書系”的第五冊(cè)，涉及四講內(nèi)容，分別為：基于原始符號(hào)的模型，關(guān)于時(shí)間的模型，關(guān)于空間的模型，關(guān)于力和運(yùn)動(dòng)的模型。其中，第四講涉及了靜態(tài)平衡狀態(tài)下的力的模型，重力和引力的模型，萬有引力的模型，基于場(chǎng)論的引力模型，廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)模型，原子世界的力學(xué)模型等內(nèi)容。本文選自第四講中的重力與引力模型的部分內(nèi)容。將此內(nèi)容推薦給大家，以期讓大家獲得來自不同研究視角的啟示。

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2014）8（S）-0001-3

基于基本思維模式的改變，伽利略完全改變了傳統(tǒng)的研究模式，他開始研究自由落體下落過程中的路程模型。首先，伽利略假設(shè)了一個(gè)基本事實(shí)：物體下落的速度隨下落的時(shí)間而增加，這稱為加速度，加速度與時(shí)間成正比例關(guān)系。這個(gè)假設(shè)是來源于直覺的，當(dāng)然，正如我們下面將要討論的那樣，后來伽利略通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這個(gè)假設(shè)，但那個(gè)實(shí)驗(yàn)更重要的目的是為了得到比例常數(shù)，從而得到加速度的大小。這個(gè)假設(shè)是非常重要的，這個(gè)假設(shè)是構(gòu)建模型的前提。并且，在后面的一系列的討論中我們將會(huì)進(jìn)一步看到，加速度這個(gè)概念是運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)最為基礎(chǔ)的概念，這個(gè)基礎(chǔ)概念導(dǎo)致所有關(guān)于運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)模型最終都可以寫成二階微分方程的形式。

基于這個(gè)假設(shè)，如果用字母g表示加速度，那么，我們似乎可以設(shè)想：物體下落的路程s就是加速度g和時(shí)間t的函數(shù)，這樣，我們就可以把這個(gè)函數(shù)寫成

s=f（g，t） （1）

在今天看來，得到這個(gè)結(jié)論是那樣的簡(jiǎn)單，是那樣的合情合理。但在伽利略時(shí)代，問題卻要復(fù)雜得多。這是因?yàn)椋瑸榱耸沟眠@個(gè)式子成立還需要一個(gè)前提，那就是：物體下落的速度與物體的形狀以及物體的質(zhì)量無關(guān)。這個(gè)前提可能成立嗎？事實(shí)上，關(guān)于這個(gè)問題的答案，在物理學(xué)界曾經(jīng)引起過很大的爭(zhēng)論，這個(gè)爭(zhēng)論一直影響到今天。爭(zhēng)論的起因在于伽利略寫在那本書里的一段話②：

亞里士多德宣稱在同一介質(zhì)中重量不同的物體以與其重量成比例的速度前進(jìn)，因?yàn)槠駷橹?，亞里士多德所說的運(yùn)動(dòng)是依賴于重量的。

爭(zhēng)論的焦點(diǎn)是伽利略是否誤解了亞里士多德的觀點(diǎn)，也就是說，亞里士多德的原意是不是像伽利略上面所說的那樣。大部分學(xué)者認(rèn)為，伽利略正確地理解了亞里士多德的觀點(diǎn)③。但筆者仔細(xì)閱讀了亞里士多德的原文，得到的結(jié)論是：伽利略在很大程度上誤解了亞里士多德。伽利略所說的“亞里士多德宣稱”的那段話出現(xiàn)在亞里士多德所著《物理學(xué)》第216頁中。這段話很難翻譯，筆者請(qǐng)東北師范大學(xué)歷史文化學(xué)院的張強(qiáng)教授參照古希臘文、古拉丁文以及英文翻譯如下④：

因此，關(guān)于運(yùn)動(dòng)是如何受其所在介質(zhì)的影響，可以得到如下結(jié)論：運(yùn)動(dòng)的不同取決于物體本身。我們看到，有較大動(dòng)能⑤——重的向下，輕的向上——的物體（假如它們的形狀相同）在相同距離內(nèi)會(huì)運(yùn)行得更快，而且其速度比等同于質(zhì)量比。但認(rèn)為穿過虛空的情況亦然，這是不可能的。那么，是什么原因?qū)е赂斓倪\(yùn)動(dòng)呢？在充滿介質(zhì)之中，必然是因?yàn)閯?dòng)能大的物體穿過介質(zhì)的速度更快。其速度或取決于物體的形狀，或取決于自然運(yùn)動(dòng)或者被動(dòng)運(yùn)動(dòng)的物體所具有的動(dòng)能。因此，在虛空中所有物體的速度是相同的，但這是不可能的。

所以，如果有虛空存在，那么，我們推出的結(jié)論恰好與主張有虛空存在的那些人所持的立論依據(jù)相反?！ㄟ^上面的分析可知，不存在可以分離的虛空。

通觀原文的前后意思，亞里士多德在這里要討論問題的核心是“虛空是否存在”。亞里士多德認(rèn)為虛空是不存在的，即空間不可能分離出一塊是虛空的，一塊是有介質(zhì)的。論據(jù)就是物體下落的速度不同，這個(gè)速度與物體的形狀和質(zhì)量有關(guān)，這就是因?yàn)榻橘|(zhì)存在的緣故。因此他得到結(jié)論：只有在虛空中物體的速度才可能相等，但這是不可能的。這樣，亞里士多德就認(rèn)為自己證明了“虛空不存在”。由此可見，亞里士多德只是通過物體運(yùn)動(dòng)速度的不同來闡述虛空的不存在，而不是專門論述物體運(yùn)動(dòng)速度的問題。通過上面的分析可以知道，亞里士多德所說的反命題是：如果虛空存在，在虛空中物體的速度是相等的。事實(shí)上，伽利略得到的結(jié)論與亞里士多德的反命題是一致的。至于亞里士多德所說的“其速度比等同于質(zhì)量比”，正如伽利略用較大篇幅論證的那樣：亞里士多德并沒有為此做過實(shí)驗(yàn)。

毫無疑問，在有介質(zhì)的空間，物體下落速度必然與物體的形狀以及物體的質(zhì)量有關(guān)，比如，因?yàn)榭諝庾枇Φ脑?，人們總不?huì)認(rèn)為在現(xiàn)實(shí)世界中雞毛與鉛球的下落速度是一樣的。因此，關(guān)于這個(gè)問題的完整思路應(yīng)當(dāng)是這樣的：只能在理想條件下構(gòu)建物體下落的模型，為此，必須假定在物體下落的過程中空氣阻力可以忽略不計(jì)；如果這個(gè)條件成立，物體下落的速度與物體的形狀以及與物體的質(zhì)量無關(guān)，因此（1）式成立。

如果物體的下落速度與物體的形狀以及物體的質(zhì)量無關(guān)，我們稱這個(gè)物體為自由落體。對(duì)于自由落體，根據(jù)我們?cè)谇懊鏀⑹鲞^的伽利略關(guān)于正比例關(guān)系的假設(shè)，加速度g意味著：下落1秒時(shí)的速度為g，下落2秒時(shí)的速度為2g，……，下落t秒時(shí)的速度為tg。由此可以推算得到：下落t秒路程的平均速度為v=tg/2。這樣就可以得到（1）式的具體表達(dá)式，即由路程=速度×?xí)r間，可以得到自由落體運(yùn)動(dòng)路程模型為

在上面的證明過程中，雖然伽利略用了很大篇幅討論了為什么“三角形ABC”應(yīng)當(dāng)?shù)扔凇拔矬w下落的距離”，但總是讓人感覺到他的解釋有些牽強(qiáng)附會(huì)。筆者想，這個(gè)牽強(qiáng)附會(huì)是可以理解的，因?yàn)樵谫だ缘臅r(shí)代微積分還沒有被發(fā)明出來?？梢钥吹剑だ缘闹庇^能力非常強(qiáng)，事實(shí)上，在他的直觀解釋中已經(jīng)說出了積分的核心思想。筆者嘗試用現(xiàn)代語言述說伽利略的思考⑥：圖1中的垂直線段AB上的點(diǎn)表示的是物體下落過程中的時(shí)刻；每一條一段在AB上的橫線，表示的是那個(gè)時(shí)刻物體的下落速度；因?yàn)槭莿蚣铀龠\(yùn)動(dòng)，所以線段的另一端都必然在線段AC上。下面考慮下落速度為a時(shí)的一個(gè)非常微小的時(shí)間段△t，那么通過的距離應(yīng)當(dāng)為：△t×a，即是一個(gè)小矩形的面積。我們把時(shí)間段△t想象得非常小，以至于可以把三角形ABC的面積看成所有這樣的小矩形的面積相加得到的，于是就得到結(jié)論：“三角形ABC”的面積等于“物體下落的距離”?？梢钥吹?，這個(gè)證明思路完全是微積分的想法。由此也可見想象，從伽利略的時(shí)代開始，微積分的出現(xiàn)是必然的，只是時(shí)間早晚的事情。

無論如何，上面的所有述說僅僅是一些邏輯思考而已，因此，所有的結(jié)論正確與否都必須得到經(jīng)驗(yàn)的驗(yàn)證，就像愛因斯坦所說的那樣：一切關(guān)于實(shí)在的知識(shí)，都是從經(jīng)驗(yàn)開始，又終結(jié)于經(jīng)驗(yàn)。那么，應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證這個(gè)結(jié)果呢？許多書中都講到伽利略利用比薩斜塔安排了他的試驗(yàn)，這樣的述說故事性很強(qiáng)，但不可信，因?yàn)樽杂陕潴w的速度太快，在那個(gè)沒有鐘表的時(shí)代（我們?cè)诘诙v中曾經(jīng)談到，鐘表是在伽利略發(fā)現(xiàn)單擺的等時(shí)性以后才由惠更斯發(fā)明的），不可能進(jìn)行精確的數(shù)據(jù)記錄，進(jìn)而根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。事實(shí)上，伽利略的試驗(yàn)是在斜面上進(jìn)行的。

首先，伽利略在那本書的定理3中證明了這樣的結(jié)論：同樣的高度、同樣的重物沿垂直和斜面下落，下落的時(shí)間之比等于垂直長度和斜面長度之比，這就說明可以利用斜面來進(jìn)行自由落體的試驗(yàn)。然后，伽利略用一塊12碼長的木板，在中間劃出1英寸寬的光滑的溝槽，讓一個(gè)光滑的黃銅球沿著溝槽滾下。他試驗(yàn)了不同的斜度，又試驗(yàn)了不同長度的木板，先后100多次的試驗(yàn)結(jié)果均顯示：黃銅球下落的距離與下落時(shí)間的平方之比近似成正比例關(guān)系。在試驗(yàn)過程中，為了解決度量時(shí)間的問題，伽利略利用水通過一個(gè)管子留到杯中的流量進(jìn)行時(shí)間度量。之所以可以這樣度量的理由是：物體下落的時(shí)間與杯中水的重量成正比例關(guān)系。這樣，伽利略自由落體實(shí)驗(yàn)的結(jié)論就是用“秤”稱出來的⑦。

在（2）所示的模型中，加速度g又被稱為“重力加速度”，我們將在下一個(gè)話題專門討論這個(gè)非常重要的量。在上面的討論中，我們無區(qū)別地使用了“重量”和“質(zhì)量”這樣的名稱，事實(shí)上，這兩個(gè)名稱之間是有區(qū)別的。在下面的討論中將會(huì)看到，有了重力加速度這個(gè)概念之后，就可以討論這兩個(gè)名詞之間的區(qū)別了，這個(gè)區(qū)別就在于引力的作用。

（欄目編輯 廖伯琴）

作者簡(jiǎn)介：東北師范大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，曾任東北師范大學(xué)校長。全國人大代表，國務(wù)院學(xué)科評(píng)議組成員，國家級(jí)教學(xué)名師，中國教育學(xué)會(huì)副會(huì)長，科技委數(shù)理學(xué)部委員。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長，普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長。

編者按：在2014年5月6日召開的國家社科基金教育學(xué)重點(diǎn)課題《中小學(xué)理科教材難度的國際比較研究》成果報(bào)告會(huì)上，史寧中教授送我一本近期大作《數(shù)學(xué)思想概論——自然界中的數(shù)學(xué)模型》。利用5月至6月的閑暇，我匆匆拜讀了此書，在閱讀中不時(shí)為一個(gè)杰出數(shù)學(xué)家對(duì)物理學(xué)相關(guān)模型的理解而感嘆，很受啟發(fā)！此書是史寧中教授“數(shù)學(xué)思想概念書系”的第五冊(cè)，涉及四講內(nèi)容，分別為：基于原始符號(hào)的模型，關(guān)于時(shí)間的模型，關(guān)于空間的模型，關(guān)于力和運(yùn)動(dòng)的模型。其中，第四講涉及了靜態(tài)平衡狀態(tài)下的力的模型，重力和引力的模型，萬有引力的模型，基于場(chǎng)論的引力模型，廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)模型，原子世界的力學(xué)模型等內(nèi)容。本文選自第四講中的重力與引力模型的部分內(nèi)容。將此內(nèi)容推薦給大家，以期讓大家獲得來自不同研究視角的啟示。

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2014）8（S）-0001-3

基于基本思維模式的改變，伽利略完全改變了傳統(tǒng)的研究模式，他開始研究自由落體下落過程中的路程模型。首先，伽利略假設(shè)了一個(gè)基本事實(shí)：物體下落的速度隨下落的時(shí)間而增加，這稱為加速度，加速度與時(shí)間成正比例關(guān)系。這個(gè)假設(shè)是來源于直覺的，當(dāng)然，正如我們下面將要討論的那樣，后來伽利略通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這個(gè)假設(shè)，但那個(gè)實(shí)驗(yàn)更重要的目的是為了得到比例常數(shù)，從而得到加速度的大小。這個(gè)假設(shè)是非常重要的，這個(gè)假設(shè)是構(gòu)建模型的前提。并且，在后面的一系列的討論中我們將會(huì)進(jìn)一步看到，加速度這個(gè)概念是運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)最為基礎(chǔ)的概念，這個(gè)基礎(chǔ)概念導(dǎo)致所有關(guān)于運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)模型最終都可以寫成二階微分方程的形式。

基于這個(gè)假設(shè)，如果用字母g表示加速度，那么，我們似乎可以設(shè)想：物體下落的路程s就是加速度g和時(shí)間t的函數(shù)，這樣，我們就可以把這個(gè)函數(shù)寫成

s=f（g，t） （1）

在今天看來，得到這個(gè)結(jié)論是那樣的簡(jiǎn)單，是那樣的合情合理。但在伽利略時(shí)代，問題卻要復(fù)雜得多。這是因?yàn)?，為了使得這個(gè)式子成立還需要一個(gè)前提，那就是：物體下落的速度與物體的形狀以及物體的質(zhì)量無關(guān)。這個(gè)前提可能成立嗎？事實(shí)上，關(guān)于這個(gè)問題的答案，在物理學(xué)界曾經(jīng)引起過很大的爭(zhēng)論，這個(gè)爭(zhēng)論一直影響到今天。爭(zhēng)論的起因在于伽利略寫在那本書里的一段話②：

亞里士多德宣稱在同一介質(zhì)中重量不同的物體以與其重量成比例的速度前進(jìn)，因?yàn)槠駷橹梗瑏喞锸慷嗟滤f的運(yùn)動(dòng)是依賴于重量的。

爭(zhēng)論的焦點(diǎn)是伽利略是否誤解了亞里士多德的觀點(diǎn)，也就是說，亞里士多德的原意是不是像伽利略上面所說的那樣。大部分學(xué)者認(rèn)為，伽利略正確地理解了亞里士多德的觀點(diǎn)③。但筆者仔細(xì)閱讀了亞里士多德的原文，得到的結(jié)論是：伽利略在很大程度上誤解了亞里士多德。伽利略所說的“亞里士多德宣稱”的那段話出現(xiàn)在亞里士多德所著《物理學(xué)》第216頁中。這段話很難翻譯，筆者請(qǐng)東北師范大學(xué)歷史文化學(xué)院的張強(qiáng)教授參照古希臘文、古拉丁文以及英文翻譯如下④：

因此，關(guān)于運(yùn)動(dòng)是如何受其所在介質(zhì)的影響，可以得到如下結(jié)論：運(yùn)動(dòng)的不同取決于物體本身。我們看到，有較大動(dòng)能⑤——重的向下，輕的向上——的物體（假如它們的形狀相同）在相同距離內(nèi)會(huì)運(yùn)行得更快，而且其速度比等同于質(zhì)量比。但認(rèn)為穿過虛空的情況亦然，這是不可能的。那么，是什么原因?qū)е赂斓倪\(yùn)動(dòng)呢？在充滿介質(zhì)之中，必然是因?yàn)閯?dòng)能大的物體穿過介質(zhì)的速度更快。其速度或取決于物體的形狀，或取決于自然運(yùn)動(dòng)或者被動(dòng)運(yùn)動(dòng)的物體所具有的動(dòng)能。因此，在虛空中所有物體的速度是相同的，但這是不可能的。

所以，如果有虛空存在，那么，我們推出的結(jié)論恰好與主張有虛空存在的那些人所持的立論依據(jù)相反。……通過上面的分析可知，不存在可以分離的虛空。

通觀原文的前后意思，亞里士多德在這里要討論問題的核心是“虛空是否存在”。亞里士多德認(rèn)為虛空是不存在的，即空間不可能分離出一塊是虛空的，一塊是有介質(zhì)的。論據(jù)就是物體下落的速度不同，這個(gè)速度與物體的形狀和質(zhì)量有關(guān)，這就是因?yàn)榻橘|(zhì)存在的緣故。因此他得到結(jié)論：只有在虛空中物體的速度才可能相等，但這是不可能的。這樣，亞里士多德就認(rèn)為自己證明了“虛空不存在”。由此可見，亞里士多德只是通過物體運(yùn)動(dòng)速度的不同來闡述虛空的不存在，而不是專門論述物體運(yùn)動(dòng)速度的問題。通過上面的分析可以知道，亞里士多德所說的反命題是：如果虛空存在，在虛空中物體的速度是相等的。事實(shí)上，伽利略得到的結(jié)論與亞里士多德的反命題是一致的。至于亞里士多德所說的“其速度比等同于質(zhì)量比”，正如伽利略用較大篇幅論證的那樣：亞里士多德并沒有為此做過實(shí)驗(yàn)。

毫無疑問，在有介質(zhì)的空間，物體下落速度必然與物體的形狀以及物體的質(zhì)量有關(guān)，比如，因?yàn)榭諝庾枇Φ脑?，人們總不?huì)認(rèn)為在現(xiàn)實(shí)世界中雞毛與鉛球的下落速度是一樣的。因此，關(guān)于這個(gè)問題的完整思路應(yīng)當(dāng)是這樣的：只能在理想條件下構(gòu)建物體下落的模型，為此，必須假定在物體下落的過程中空氣阻力可以忽略不計(jì)；如果這個(gè)條件成立，物體下落的速度與物體的形狀以及與物體的質(zhì)量無關(guān)，因此（1）式成立。

如果物體的下落速度與物體的形狀以及物體的質(zhì)量無關(guān)，我們稱這個(gè)物體為自由落體。對(duì)于自由落體，根據(jù)我們?cè)谇懊鏀⑹鲞^的伽利略關(guān)于正比例關(guān)系的假設(shè)，加速度g意味著：下落1秒時(shí)的速度為g，下落2秒時(shí)的速度為2g，……，下落t秒時(shí)的速度為tg。由此可以推算得到：下落t秒路程的平均速度為v=tg/2。這樣就可以得到（1）式的具體表達(dá)式，即由路程=速度×?xí)r間，可以得到自由落體運(yùn)動(dòng)路程模型為

在上面的證明過程中，雖然伽利略用了很大篇幅討論了為什么“三角形ABC”應(yīng)當(dāng)?shù)扔凇拔矬w下落的距離”，但總是讓人感覺到他的解釋有些牽強(qiáng)附會(huì)。筆者想，這個(gè)牽強(qiáng)附會(huì)是可以理解的，因?yàn)樵谫だ缘臅r(shí)代微積分還沒有被發(fā)明出來。可以看到，伽利略的直觀能力非常強(qiáng)，事實(shí)上，在他的直觀解釋中已經(jīng)說出了積分的核心思想。筆者嘗試用現(xiàn)代語言述說伽利略的思考⑥：圖1中的垂直線段AB上的點(diǎn)表示的是物體下落過程中的時(shí)刻；每一條一段在AB上的橫線，表示的是那個(gè)時(shí)刻物體的下落速度；因?yàn)槭莿蚣铀龠\(yùn)動(dòng)，所以線段的另一端都必然在線段AC上。下面考慮下落速度為a時(shí)的一個(gè)非常微小的時(shí)間段△t，那么通過的距離應(yīng)當(dāng)為：△t×a，即是一個(gè)小矩形的面積。我們把時(shí)間段△t想象得非常小，以至于可以把三角形ABC的面積看成所有這樣的小矩形的面積相加得到的，于是就得到結(jié)論：“三角形ABC”的面積等于“物體下落的距離”?？梢钥吹?，這個(gè)證明思路完全是微積分的想法。由此也可見想象，從伽利略的時(shí)代開始，微積分的出現(xiàn)是必然的，只是時(shí)間早晚的事情。

無論如何，上面的所有述說僅僅是一些邏輯思考而已，因此，所有的結(jié)論正確與否都必須得到經(jīng)驗(yàn)的驗(yàn)證，就像愛因斯坦所說的那樣：一切關(guān)于實(shí)在的知識(shí)，都是從經(jīng)驗(yàn)開始，又終結(jié)于經(jīng)驗(yàn)。那么，應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證這個(gè)結(jié)果呢？許多書中都講到伽利略利用比薩斜塔安排了他的試驗(yàn)，這樣的述說故事性很強(qiáng)，但不可信，因?yàn)樽杂陕潴w的速度太快，在那個(gè)沒有鐘表的時(shí)代（我們?cè)诘诙v中曾經(jīng)談到，鐘表是在伽利略發(fā)現(xiàn)單擺的等時(shí)性以后才由惠更斯發(fā)明的），不可能進(jìn)行精確的數(shù)據(jù)記錄，進(jìn)而根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。事實(shí)上，伽利略的試驗(yàn)是在斜面上進(jìn)行的。

首先，伽利略在那本書的定理3中證明了這樣的結(jié)論：同樣的高度、同樣的重物沿垂直和斜面下落，下落的時(shí)間之比等于垂直長度和斜面長度之比，這就說明可以利用斜面來進(jìn)行自由落體的試驗(yàn)。然后，伽利略用一塊12碼長的木板，在中間劃出1英寸寬的光滑的溝槽，讓一個(gè)光滑的黃銅球沿著溝槽滾下。他試驗(yàn)了不同的斜度，又試驗(yàn)了不同長度的木板，先后100多次的試驗(yàn)結(jié)果均顯示：黃銅球下落的距離與下落時(shí)間的平方之比近似成正比例關(guān)系。在試驗(yàn)過程中，為了解決度量時(shí)間的問題，伽利略利用水通過一個(gè)管子留到杯中的流量進(jìn)行時(shí)間度量。之所以可以這樣度量的理由是：物體下落的時(shí)間與杯中水的重量成正比例關(guān)系。這樣，伽利略自由落體實(shí)驗(yàn)的結(jié)論就是用“秤”稱出來的⑦。

在（2）所示的模型中，加速度g又被稱為“重力加速度”，我們將在下一個(gè)話題專門討論這個(gè)非常重要的量。在上面的討論中，我們無區(qū)別地使用了“重量”和“質(zhì)量”這樣的名稱，事實(shí)上，這兩個(gè)名稱之間是有區(qū)別的。在下面的討論中將會(huì)看到，有了重力加速度這個(gè)概念之后，就可以討論這兩個(gè)名詞之間的區(qū)別了，這個(gè)區(qū)別就在于引力的作用。

（欄目編輯 廖伯琴）

作者簡(jiǎn)介：東北師范大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，曾任東北師范大學(xué)校長。全國人大代表，國務(wù)院學(xué)科評(píng)議組成員，國家級(jí)教學(xué)名師，中國教育學(xué)會(huì)副會(huì)長，科技委數(shù)理學(xué)部委員。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長，普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長。

編者按：在2014年5月6日召開的國家社科基金教育學(xué)重點(diǎn)課題《中小學(xué)理科教材難度的國際比較研究》成果報(bào)告會(huì)上，史寧中教授送我一本近期大作《數(shù)學(xué)思想概論——自然界中的數(shù)學(xué)模型》。利用5月至6月的閑暇，我匆匆拜讀了此書，在閱讀中不時(shí)為一個(gè)杰出數(shù)學(xué)家對(duì)物理學(xué)相關(guān)模型的理解而感嘆，很受啟發(fā)！此書是史寧中教授“數(shù)學(xué)思想概念書系”的第五冊(cè)，涉及四講內(nèi)容，分別為：基于原始符號(hào)的模型，關(guān)于時(shí)間的模型，關(guān)于空間的模型，關(guān)于力和運(yùn)動(dòng)的模型。其中，第四講涉及了靜態(tài)平衡狀態(tài)下的力的模型，重力和引力的模型，萬有引力的模型，基于場(chǎng)論的引力模型，廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)模型，原子世界的力學(xué)模型等內(nèi)容。本文選自第四講中的重力與引力模型的部分內(nèi)容。將此內(nèi)容推薦給大家，以期讓大家獲得來自不同研究視角的啟示。

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2014）8（S）-0001-3

基于基本思維模式的改變，伽利略完全改變了傳統(tǒng)的研究模式，他開始研究自由落體下落過程中的路程模型。首先，伽利略假設(shè)了一個(gè)基本事實(shí)：物體下落的速度隨下落的時(shí)間而增加，這稱為加速度，加速度與時(shí)間成正比例關(guān)系。這個(gè)假設(shè)是來源于直覺的，當(dāng)然，正如我們下面將要討論的那樣，后來伽利略通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這個(gè)假設(shè)，但那個(gè)實(shí)驗(yàn)更重要的目的是為了得到比例常數(shù)，從而得到加速度的大小。這個(gè)假設(shè)是非常重要的，這個(gè)假設(shè)是構(gòu)建模型的前提。并且，在后面的一系列的討論中我們將會(huì)進(jìn)一步看到，加速度這個(gè)概念是運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)最為基礎(chǔ)的概念，這個(gè)基礎(chǔ)概念導(dǎo)致所有關(guān)于運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)模型最終都可以寫成二階微分方程的形式。

基于這個(gè)假設(shè)，如果用字母g表示加速度，那么，我們似乎可以設(shè)想：物體下落的路程s就是加速度g和時(shí)間t的函數(shù)，這樣，我們就可以把這個(gè)函數(shù)寫成

s=f（g，t） （1）

在今天看來，得到這個(gè)結(jié)論是那樣的簡(jiǎn)單，是那樣的合情合理。但在伽利略時(shí)代，問題卻要復(fù)雜得多。這是因?yàn)?，為了使得這個(gè)式子成立還需要一個(gè)前提，那就是：物體下落的速度與物體的形狀以及物體的質(zhì)量無關(guān)。這個(gè)前提可能成立嗎？事實(shí)上，關(guān)于這個(gè)問題的答案，在物理學(xué)界曾經(jīng)引起過很大的爭(zhēng)論，這個(gè)爭(zhēng)論一直影響到今天。爭(zhēng)論的起因在于伽利略寫在那本書里的一段話②：

亞里士多德宣稱在同一介質(zhì)中重量不同的物體以與其重量成比例的速度前進(jìn)，因?yàn)槠駷橹?，亞里士多德所說的運(yùn)動(dòng)是依賴于重量的。

爭(zhēng)論的焦點(diǎn)是伽利略是否誤解了亞里士多德的觀點(diǎn)，也就是說，亞里士多德的原意是不是像伽利略上面所說的那樣。大部分學(xué)者認(rèn)為，伽利略正確地理解了亞里士多德的觀點(diǎn)③。但筆者仔細(xì)閱讀了亞里士多德的原文，得到的結(jié)論是：伽利略在很大程度上誤解了亞里士多德。伽利略所說的“亞里士多德宣稱”的那段話出現(xiàn)在亞里士多德所著《物理學(xué)》第216頁中。這段話很難翻譯，筆者請(qǐng)東北師范大學(xué)歷史文化學(xué)院的張強(qiáng)教授參照古希臘文、古拉丁文以及英文翻譯如下④：

因此，關(guān)于運(yùn)動(dòng)是如何受其所在介質(zhì)的影響，可以得到如下結(jié)論：運(yùn)動(dòng)的不同取決于物體本身。我們看到，有較大動(dòng)能⑤——重的向下，輕的向上——的物體（假如它們的形狀相同）在相同距離內(nèi)會(huì)運(yùn)行得更快，而且其速度比等同于質(zhì)量比。但認(rèn)為穿過虛空的情況亦然，這是不可能的。那么，是什么原因?qū)е赂斓倪\(yùn)動(dòng)呢？在充滿介質(zhì)之中，必然是因?yàn)閯?dòng)能大的物體穿過介質(zhì)的速度更快。其速度或取決于物體的形狀，或取決于自然運(yùn)動(dòng)或者被動(dòng)運(yùn)動(dòng)的物體所具有的動(dòng)能。因此，在虛空中所有物體的速度是相同的，但這是不可能的。

所以，如果有虛空存在，那么，我們推出的結(jié)論恰好與主張有虛空存在的那些人所持的立論依據(jù)相反?！ㄟ^上面的分析可知，不存在可以分離的虛空。

通觀原文的前后意思，亞里士多德在這里要討論問題的核心是“虛空是否存在”。亞里士多德認(rèn)為虛空是不存在的，即空間不可能分離出一塊是虛空的，一塊是有介質(zhì)的。論據(jù)就是物體下落的速度不同，這個(gè)速度與物體的形狀和質(zhì)量有關(guān)，這就是因?yàn)榻橘|(zhì)存在的緣故。因此他得到結(jié)論：只有在虛空中物體的速度才可能相等，但這是不可能的。這樣，亞里士多德就認(rèn)為自己證明了“虛空不存在”。由此可見，亞里士多德只是通過物體運(yùn)動(dòng)速度的不同來闡述虛空的不存在，而不是專門論述物體運(yùn)動(dòng)速度的問題。通過上面的分析可以知道，亞里士多德所說的反命題是：如果虛空存在，在虛空中物體的速度是相等的。事實(shí)上，伽利略得到的結(jié)論與亞里士多德的反命題是一致的。至于亞里士多德所說的“其速度比等同于質(zhì)量比”，正如伽利略用較大篇幅論證的那樣：亞里士多德并沒有為此做過實(shí)驗(yàn)。

毫無疑問，在有介質(zhì)的空間，物體下落速度必然與物體的形狀以及物體的質(zhì)量有關(guān)，比如，因?yàn)榭諝庾枇Φ脑颍藗兛偛粫?huì)認(rèn)為在現(xiàn)實(shí)世界中雞毛與鉛球的下落速度是一樣的。因此，關(guān)于這個(gè)問題的完整思路應(yīng)當(dāng)是這樣的：只能在理想條件下構(gòu)建物體下落的模型，為此，必須假定在物體下落的過程中空氣阻力可以忽略不計(jì)；如果這個(gè)條件成立，物體下落的速度與物體的形狀以及與物體的質(zhì)量無關(guān)，因此（1）式成立。

如果物體的下落速度與物體的形狀以及物體的質(zhì)量無關(guān)，我們稱這個(gè)物體為自由落體。對(duì)于自由落體，根據(jù)我們?cè)谇懊鏀⑹鲞^的伽利略關(guān)于正比例關(guān)系的假設(shè)，加速度g意味著：下落1秒時(shí)的速度為g，下落2秒時(shí)的速度為2g，……，下落t秒時(shí)的速度為tg。由此可以推算得到：下落t秒路程的平均速度為v=tg/2。這樣就可以得到（1）式的具體表達(dá)式，即由路程=速度×?xí)r間，可以得到自由落體運(yùn)動(dòng)路程模型為

在上面的證明過程中，雖然伽利略用了很大篇幅討論了為什么“三角形ABC”應(yīng)當(dāng)?shù)扔凇拔矬w下落的距離”，但總是讓人感覺到他的解釋有些牽強(qiáng)附會(huì)。筆者想，這個(gè)牽強(qiáng)附會(huì)是可以理解的，因?yàn)樵谫だ缘臅r(shí)代微積分還沒有被發(fā)明出來?？梢钥吹剑だ缘闹庇^能力非常強(qiáng)，事實(shí)上，在他的直觀解釋中已經(jīng)說出了積分的核心思想。筆者嘗試用現(xiàn)代語言述說伽利略的思考⑥：圖1中的垂直線段AB上的點(diǎn)表示的是物體下落過程中的時(shí)刻；每一條一段在AB上的橫線，表示的是那個(gè)時(shí)刻物體的下落速度；因?yàn)槭莿蚣铀龠\(yùn)動(dòng)，所以線段的另一端都必然在線段AC上。下面考慮下落速度為a時(shí)的一個(gè)非常微小的時(shí)間段△t，那么通過的距離應(yīng)當(dāng)為：△t×a，即是一個(gè)小矩形的面積。我們把時(shí)間段△t想象得非常小，以至于可以把三角形ABC的面積看成所有這樣的小矩形的面積相加得到的，于是就得到結(jié)論：“三角形ABC”的面積等于“物體下落的距離”?？梢钥吹?，這個(gè)證明思路完全是微積分的想法。由此也可見想象，從伽利略的時(shí)代開始，微積分的出現(xiàn)是必然的，只是時(shí)間早晚的事情。

無論如何，上面的所有述說僅僅是一些邏輯思考而已，因此，所有的結(jié)論正確與否都必須得到經(jīng)驗(yàn)的驗(yàn)證，就像愛因斯坦所說的那樣：一切關(guān)于實(shí)在的知識(shí)，都是從經(jīng)驗(yàn)開始，又終結(jié)于經(jīng)驗(yàn)。那么，應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證這個(gè)結(jié)果呢？許多書中都講到伽利略利用比薩斜塔安排了他的試驗(yàn)，這樣的述說故事性很強(qiáng)，但不可信，因?yàn)樽杂陕潴w的速度太快，在那個(gè)沒有鐘表的時(shí)代（我們?cè)诘诙v中曾經(jīng)談到，鐘表是在伽利略發(fā)現(xiàn)單擺的等時(shí)性以后才由惠更斯發(fā)明的），不可能進(jìn)行精確的數(shù)據(jù)記錄，進(jìn)而根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。事實(shí)上，伽利略的試驗(yàn)是在斜面上進(jìn)行的。

首先，伽利略在那本書的定理3中證明了這樣的結(jié)論：同樣的高度、同樣的重物沿垂直和斜面下落，下落的時(shí)間之比等于垂直長度和斜面長度之比，這就說明可以利用斜面來進(jìn)行自由落體的試驗(yàn)。然后，伽利略用一塊12碼長的木板，在中間劃出1英寸寬的光滑的溝槽，讓一個(gè)光滑的黃銅球沿著溝槽滾下。他試驗(yàn)了不同的斜度，又試驗(yàn)了不同長度的木板，先后100多次的試驗(yàn)結(jié)果均顯示：黃銅球下落的距離與下落時(shí)間的平方之比近似成正比例關(guān)系。在試驗(yàn)過程中，為了解決度量時(shí)間的問題，伽利略利用水通過一個(gè)管子留到杯中的流量進(jìn)行時(shí)間度量。之所以可以這樣度量的理由是：物體下落的時(shí)間與杯中水的重量成正比例關(guān)系。這樣，伽利略自由落體實(shí)驗(yàn)的結(jié)論就是用“秤”稱出來的⑦。

在（2）所示的模型中，加速度g又被稱為“重力加速度”，我們將在下一個(gè)話題專門討論這個(gè)非常重要的量。在上面的討論中，我們無區(qū)別地使用了“重量”和“質(zhì)量”這樣的名稱，事實(shí)上，這兩個(gè)名稱之間是有區(qū)別的。在下面的討論中將會(huì)看到，有了重力加速度這個(gè)概念之后，就可以討論這兩個(gè)名詞之間的區(qū)別了，這個(gè)區(qū)別就在于引力的作用。

（欄目編輯 廖伯琴）