戴星超

浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華，321004

Dirichlet空間DH上Toeplitz算子

戴星超

浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華，321004

Sobolev空間；Dirichlet空間；Toeplitz算子；交換性；有限秩；緊算子

這里的偏導(dǎo)數(shù)是弱導(dǎo)數(shù)。這時(shí)，f在邊界上有確定的屬于L2(T)的跡[1]，則在Sobolev空間上定義如下范數(shù)：

其中符號(hào) <·,·>L2表示Hilbert空間L2(D,dA)中的內(nèi)積。

f(w)=,?f∈DH

任給ψ∈W1,∞(D)，則在DH上以ψ為符號(hào)的Toeplitz算子定義為：

Tψf=Q(ψf),f∈DH

容易證明Tψ是DH上的有界線性算子。

在經(jīng)典Hardy空間H2(T)上，Brown和Halmos證明了Tf為緊算子當(dāng)且僅當(dāng)它是零算子[2]，但在H2(T)上不存在非平凡的緊算子，而在Bergman空間上卻存在許多非平凡的緊Toepliz算子。2010年，于濤證明了Dirichlet空間上緊算子只能是零算子[8]。

1 Sobolev空間的直和分解

(1)當(dāng)l+j=0時(shí)，上面等式變：

又因?yàn)?/p>

設(shè)f∈WH1,2(D)，記f在T上的跡為f|T。

定理1.1[8]設(shè)函數(shù)f∈WH1,2(D)，則下面成立：

(1)f∈A0當(dāng)且僅當(dāng)f|T=0；

(2)f∈A當(dāng)且僅當(dāng)f|T是常數(shù)。

定理1.2[8]設(shè)函數(shù)f∈W1,∞(D)，則fA0?A0。

2 主要結(jié)果和證明

引理2.1設(shè)ψi∈W1,∞(D),i=1,2,3,…,n,(ψi)|T表示ψi的跡，則對(duì)任意的f∈DH，有

證明：令P[ψ|T]表示ψ|T的Poisson延拓，則有：

設(shè)ψ∈W1,∞(D)，由定理1.2易知Tψ=TP[ψ|T]。以下設(shè)m≥0的一個(gè)固定整數(shù)，則：

TP[ψ|T](zm)(w)=Q(P[ψ|T]zm)(w)

=

=

現(xiàn)在令ψi∈W1,∞(D),i=1,2,3,…,n，顯然有

Tψ1Tψ2Tψ3…Tψn(f)

證明由引理2.1知顯然成立。

定理2.3設(shè)φ,ψ∈W1,∞(D)，則在DH上TφTψ=TψTφ當(dāng)且僅當(dāng)下列條件的其中之一成立：

(1)φ,ψ∈A0⊕DH；

(3)存在不全為零的常數(shù)a,b∈C，使得aφ+bψ∈A。

(1′)φ|T和ψ|T是解析的；

(2′)φ|T和ψ|T是共軛解析的；

(3′)存在不全為零的常數(shù)a,b∈C，使得aφ|T+bψ|T=0。

證明證明方法與定理2.3類似。

定理2.5設(shè)φ,ψ∈W1,∞(D)，則交換算子TφTψ-TψTφ有有限秩當(dāng)且僅當(dāng)下面條件的其中之一成立：

(a)存在一個(gè)解析的非零多項(xiàng)式p，使得pφ,pψ∈A0⊕DH；

(a′)存在一個(gè)解析的非零多項(xiàng)式p，使得pφ|T和pψ|T是解析的；

因?yàn)闂l件(a′),(b′),(c′)分別對(duì)應(yīng)等價(jià)于條件(a),(b),(c)，所以定理是成立的。

(i)在DH上Tψ=0；

(ii)Tψ在DH上是緊算子；

(iii)ψ∈A0。

Tψ為緊算子，則當(dāng)j→∞，有：

所以對(duì)所有的n,m,bn=am=0，從而ψh=0，故ψ=ψ0∈A0。

[1]AdamsR.SobolevSpace[M].NewYork:AcademicPress,1988:1-203

[2]BrownA,HalmosPR.AlgebraicpropertiesofToeplitzoperators[J].JReineAngewMath,1964,213:89-102

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[5]陳泳，徐輝明，于濤．Dirichlet空間上Toeplitz算子的交換性(Ⅱ)[J]．?dāng)?shù)學(xué)年刊，2010，31A(6)：737-748

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(責(zé)任編輯：汪材印)

Toeplitz Operators on the Dirichlet SpaceDH

DAI Xingchao

College of Mathematics,Physics and Information Engineering,Zhejiang Normal University, Jinhua Zhejiang 321004,China

Sobolev space；Dirichlet space；Toeplitz operator；commutativity；finite rank；compact operator

10.3969/j.issn.1673-2006.2015.11.024

2015-09-21

國(guó)家自然科學(xué)基金“多復(fù)變函數(shù)空間上的算子理論”(11271332)。

戴星超(1987-)，安徽宿州人，碩士研究生，主要研究方向：算子理論。

O177.1

A

1673-2006(2015)11-0094-04