劉凱，梁曉庚，李友年

（中國空空導(dǎo)彈院 河南 洛陽 471000）

精確制導(dǎo)是現(xiàn)代武器系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)之一。精確制導(dǎo)系統(tǒng)研究包括目標(biāo)探測、制導(dǎo)信息處理、精確定位和導(dǎo)航、制導(dǎo)算法設(shè)計(jì)和先進(jìn)飛行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)等。在空空導(dǎo)彈的末制導(dǎo)中，由于導(dǎo)引頭輸出的可測制導(dǎo)信息非常有限，精確制導(dǎo)實(shí)現(xiàn)面臨的信息缺乏問題尤為突出[1-2]。因此，如何精確的提取出關(guān)鍵的制導(dǎo)信息成為精確制導(dǎo)面臨的一個(gè)核心問題。

制導(dǎo)信息估計(jì)是根據(jù)導(dǎo)引頭的探測信息以及彈體的導(dǎo)航信息來解算彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，比如彈目相對(duì)距離、相對(duì)速度、視線角以及視線角速率等。制導(dǎo)信息估計(jì)遇到的主要問題是:彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)是嚴(yán)重非線性的、制導(dǎo)回路與所采用的制導(dǎo)律有關(guān)、目標(biāo)探測信息不足導(dǎo)致估計(jì)模型可觀性差。由于這些問題，解決制導(dǎo)信息估計(jì)精度問題一直受到廣泛的重視。目前常用的制導(dǎo)信息提取算法主要有擴(kuò)展卡爾曼濾波、跟蹤濾波等[3]。

本文中，針對(duì)制導(dǎo)信息估計(jì)遇到的主要問題，提出了采用粒子濾波算法進(jìn)行制導(dǎo)濾波，提取所需要的制導(dǎo)信息。粒子濾波是一種基于隨機(jī)采樣的濾波方法，主要解決非線性非高斯問題。粒子濾波的實(shí)質(zhì)是遞推Bayes濾波的一種實(shí)現(xiàn)形式，粒子濾波算法擺脫了解決非線性濾波問題時(shí)隨機(jī)量必須滿足高斯分布的制約條件，適用于非高斯非線性條件。

1 制導(dǎo)信息

制導(dǎo)信息提取是指依賴目標(biāo)探測信息和彈體自身的導(dǎo)航信息來計(jì)算彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如彈目相對(duì)距離、相對(duì)速度、目標(biāo)的加速度等。

考慮平面攔截情況，彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示，可得彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系可得[4]

其中R為目標(biāo)位置，R˙為相對(duì)速度，q為彈目視線角，q˙為視線角速度，vm為導(dǎo)彈速度、θm為彈道傾角，vt為目標(biāo)速度、θt為目標(biāo)速度傾角。

圖1 平面攔截運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系Fig.1 Planar interception kinematics relations

傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引律只需要導(dǎo)引頭輸出視線角速率即可，而隨著對(duì)制導(dǎo)精度要求的提高，出現(xiàn)了滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律、最優(yōu)制導(dǎo)律等等，這些制導(dǎo)律不僅需要實(shí)現(xiàn)角速率信息，還需要彈目相對(duì)位置、相對(duì)速度以及目標(biāo)加速度等信息，固需制導(dǎo)濾波算法得到彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，進(jìn)而求解得到視線角以及視線角速率信息。

2 粒子濾波

粒子濾波是一種基于隨機(jī)采樣的濾波方法，主要解決非線性非高斯問題[6]。粒子濾波實(shí)質(zhì)是遞推Bayes濾波的一種實(shí)現(xiàn)形式，在每一時(shí)刻，利用狀態(tài)空間中一系列隨機(jī)樣本集（粒子）來近似系統(tǒng)狀態(tài)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)，從而得到下一時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)。其主要思想是利用這些采樣點(diǎn)和權(quán)值來獲得最小方差的狀態(tài)估計(jì)量，是一種基于仿真的統(tǒng)計(jì)濾波方法[7]。

2.1 序貫重要性采樣（SIS）

從待估計(jì)的后驗(yàn)分布p（x0:k|y0:k）中抽樣出N個(gè)獨(dú)立同分布的粒子；i=1…N}，則分布 p（x|y）的估計(jì)表示為0:k0:k

其中δ（·）為狄拉克函數(shù)。

當(dāng)無法從后驗(yàn)分布p（x0:k|y0:k）中直接采樣時(shí)，可以找一個(gè)容易采樣的密度分布函數(shù)（重要性函數(shù)）q（x0:k|y0:k）中采樣。則后驗(yàn)概率分布可以表示為

其中w（x0:k）為重要性權(quán)值，為歸一化權(quán)值。

2.2 粒子濾波算法

由于在SIS算法中，離散隨機(jī)量存在嚴(yán)重的退化問題。也就是在進(jìn)行一定的迭代之后，除了很少的粒子以外，其他粒子所對(duì)應(yīng)的權(quán)值都可以忽略不計(jì)。

減小退化現(xiàn)象的一個(gè)最有效的方法就是增大粒子數(shù)N，但N過大會(huì)給計(jì)算帶來很大的負(fù)擔(dān)，影響粒子濾波器的運(yùn)行速度。所以考慮采用另外兩種辦法：1）優(yōu)選重要性函數(shù)法；2）重采樣法。

最優(yōu)重要性函數(shù)為p（xk|xk-1，yk）。然而從最優(yōu)函數(shù)中采樣比較困難，一般不易求解。實(shí)際應(yīng)用中更常用的是先驗(yàn)重要性函數(shù)：

此時(shí)重要性權(quán)值的計(jì)算公式可以簡化為

由于p（xk|xk-1）沒有考慮觀測信息 yk，所以采樣得到的粒子并不能非常準(zhǔn)確地描述后驗(yàn)分布。這種選取方案的優(yōu)點(diǎn)在于根據(jù)狀態(tài)方程，重要性函數(shù)的采樣很容易實(shí)現(xiàn)，而且重要性權(quán)值也能直接由觀測方程迭代計(jì)算得到。

3 制導(dǎo)濾波器設(shè)計(jì)

3.1 制導(dǎo)濾波器狀態(tài)方程

導(dǎo)彈需要跟蹤大機(jī)動(dòng)目標(biāo)，因此選擇機(jī)動(dòng)目標(biāo)Singer模型對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤估計(jì)。該模型實(shí)質(zhì)是零均值一階時(shí)間相關(guān)模型[5]，即：

其中α為機(jī)動(dòng)頻率，等于機(jī)動(dòng)時(shí)間常數(shù)倒數(shù)，ω（t）是均值為零，方差為的白噪聲，為目標(biāo)加速度方差。

根據(jù)選取的目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型，選取狀態(tài)變量為x=[rx，ry，vx，vy，atx，aty]T，在直角坐標(biāo)系下建立濾波狀態(tài)方程：

其中：rx，ry彈目相對(duì)距離向量在直角坐標(biāo)系中的分量；vx，vy彈目相對(duì)速度向量在直角坐標(biāo)系中的分量；atx，aty為目標(biāo)加速度向量在直角坐標(biāo)系中的分量，amx，amy為導(dǎo)彈加速度；wx，wy為系統(tǒng)的過程噪聲[8]。

3.2 目標(biāo)跟蹤量測方程

目標(biāo)的量測信息包含實(shí)現(xiàn)的方位角、俯仰角和彈目視線等信號(hào)，選擇觀測向量為

其中R為彈目距離，θ為目標(biāo)量測的方位角。并由此建立目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的量測方程

3.3 粒子濾波算法

粒子濾波算法的基本步驟如下[6]：

1）初始化：當(dāng)k=0時(shí)，確認(rèn)目標(biāo)狀態(tài)的先驗(yàn)概率密度函數(shù)p（x0）的表示形式，提取 N 個(gè)樣本點(diǎn){，i=1，…，N}，并給每個(gè)粒子賦初始權(quán)重為

2）狀態(tài)預(yù)測，即重要性采樣、權(quán)重計(jì)算：當(dāng)時(shí)刻k=1時(shí)，從轉(zhuǎn)移先驗(yàn)密度函數(shù)通過公式為似然密度函數(shù)）；

4 仿真分析

為了驗(yàn)證粒子濾波對(duì)于制導(dǎo)濾波算法的有效性，建立以下仿真模型[9]，仿真參數(shù)如下：目標(biāo)機(jī)動(dòng)情況如下：目標(biāo)的初始位置在（2 000 m，6 000 m），初始速度為（－400 m/s，0 m/s），采樣間隔T=0.01 s，仿真結(jié)束時(shí)間設(shè)為stop_t=20 s，粒子濾波算法的采樣粒子數(shù)N=200。

仿真過程中采用改進(jìn)的導(dǎo)引律設(shè)計(jì)，設(shè)擴(kuò)展比例導(dǎo)引律為：

其中R˙為彈目相對(duì)速度，q˙為實(shí)現(xiàn)角速率，aT為目標(biāo)加速度，g為重力補(bǔ)償項(xiàng)。

圖2 彈目運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.2 Relationship between the missile and the target

圖3 彈目相對(duì)位置及估值Fig.3 Relative position and estimation between the missile and the target

圖4 彈目相對(duì)速度及估值Fig.4 Relative velocity and estimation between the missile and the target

圖5 彈目視線角及估值Fig.5 Line-of-sight angel and estimation between the missile and the target

在仿真過程中，將彈體自動(dòng)駕駛儀部分的傳遞函數(shù)近似1，進(jìn)行仿真可得，仿真時(shí)間為 2.19 s，脫靶量為3.28 m，具有較高的制導(dǎo)精度，圖1為彈目的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，圖2到圖4分別給出了彈目相對(duì)位置、彈目相對(duì)速度、視線角和視線角速率的真實(shí)值和濾波估計(jì)值，結(jié)果表明粒子濾波對(duì)于非線性濾波具有較高的精度，驗(yàn)證了粒子濾波算法在制導(dǎo)信息提取中的有效性。

圖6 彈目視線角速率及估值Fig.6 Line-of-sight angel velocity and estimation between the missile and the target

5 結(jié)束語

本文提出了采用粒子濾波進(jìn)行制導(dǎo)信息估計(jì)，并建立仿真模型進(jìn)行驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明采用粒子濾波算法能夠有效的估計(jì)出彈目之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，從而提取出有效的制導(dǎo)信息，但是由于粒子濾波存在計(jì)算量大大、耗時(shí)長等問題，所以進(jìn)一步的粒子濾波算法還有待研究。

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