王曉芳，鄭藝裕，林 海

（北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100081）

近程防御武器系統(tǒng)（CIWS）是一種配屬在海軍艦船上的裝備，用來偵測與摧毀逼近的反艦導(dǎo)彈或相關(guān)的威脅飛行器，具有強(qiáng)大的威力［1］。為了有效地突破CIWS的攔截，反艦導(dǎo)彈通常采用飽和攻擊戰(zhàn)術(shù)［2］。飽和攻擊一般要求導(dǎo)彈群同時(shí)到達(dá)目標(biāo)區(qū)域并最終幾乎同時(shí)命中目標(biāo)。如果不能很好地實(shí)現(xiàn)2個(gè)“同時(shí)”，那么導(dǎo)彈突破敵方CIWS的難度將上升，飽和攻擊將失去原有的意義。因此，如何充分共享戰(zhàn)場實(shí)時(shí)信息，設(shè)計(jì)具有彈目距離協(xié)同（滿足導(dǎo)彈群同時(shí)到達(dá)目標(biāo)區(qū)域的要求）和攻擊時(shí)間協(xié)同（滿足同時(shí)命中目標(biāo)的要求）功能的制導(dǎo)律，完成高效的、信息化的飽和攻擊，是一個(gè)值得深入研究的課題。

目前，對具有攻擊時(shí)間協(xié)同的制導(dǎo)律，學(xué)者們進(jìn)行了一些研究［3－6］。文獻(xiàn)［3］基于線性化后的彈目相對運(yùn)動模型，采用最優(yōu)控制理論得到一種可用于反艦導(dǎo)彈飽和攻擊的攻擊時(shí)間控制導(dǎo)引律。文獻(xiàn)［4］將攻擊時(shí)間作為協(xié)調(diào)變量，提出一種基于協(xié)調(diào)變量的時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)律。文獻(xiàn)［5］針對目標(biāo)機(jī)動的情況，運(yùn)用卡爾曼濾波理論估計(jì)目標(biāo)加速度，確定了附加的目標(biāo)指令，得到一種最優(yōu)彈著時(shí)間可控制導(dǎo)律。但這些方法都假設(shè)導(dǎo)彈的速度為常數(shù)，而且需要估計(jì)導(dǎo)彈的剩余飛行時(shí)間。而在導(dǎo)彈實(shí)際飛行過程中，其飛行速度一般不會是一個(gè)固定不變的值［6］，剩余飛行時(shí)間的估計(jì)精度也難以保證。此時(shí)，上述制導(dǎo)律將不再適用或其精度將會大大降低。而對于彈目距離協(xié)同制導(dǎo)律的研究，目前還未見到相關(guān)的文獻(xiàn)。

本文考慮導(dǎo)彈速度可變且避開對剩余飛行時(shí)間的預(yù)測問題，提出一種可實(shí)現(xiàn)多導(dǎo)彈彈目距離協(xié)同和攻擊時(shí)間協(xié)同、從而對目標(biāo)實(shí)現(xiàn)有效飽和攻擊的協(xié)同制導(dǎo)律。首先，設(shè)定了各導(dǎo)彈期望的彈目距離；然后，基于經(jīng)典比例導(dǎo)引律，采用時(shí)標(biāo)分離原理、動態(tài)逆系統(tǒng)理論和線性系統(tǒng)理論設(shè)計(jì)了使每枚導(dǎo)彈的彈目距離趨于期望的彈目距離的彈目距離協(xié)同制導(dǎo)律。當(dāng)各導(dǎo)彈距目標(biāo)比較近時(shí)，為了能夠精確攻擊目標(biāo)，又采用有限時(shí)間控制理論設(shè)計(jì)了視線角速度收斂制導(dǎo)律，使各導(dǎo)彈在接近目標(biāo)的過程中視線角速度迅速收斂于零，最終幾乎同時(shí)命中目標(biāo)，也實(shí)現(xiàn)了攻擊時(shí)間的協(xié)同。上述兩部分制導(dǎo)律組成了具有彈目距離協(xié)同和攻擊時(shí)間協(xié)同功能的協(xié)同制導(dǎo)律，仿真結(jié)果驗(yàn)證了其正確性和有效性。

1 比例導(dǎo)引律下的彈目相對運(yùn)動模型

建立彈目相對運(yùn)動模型時(shí)，不失一般性，考慮一枚反艦導(dǎo)彈攻擊一個(gè)海上目標(biāo)的情形，此時(shí)，導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對運(yùn)動關(guān)系如圖1所示。

圖1中，Oxy為慣性坐標(biāo)系；M，T分別代表導(dǎo)彈和目標(biāo)；相應(yīng)地，MT為彈目線，r為彈目距離，q為視線角；v為導(dǎo)彈的速度；φ，η分別為導(dǎo)彈的航向角和速度前置角（圖示方向?yàn)檎籥τ，an分別為導(dǎo)彈的切向和法向加速度；vt，φt，ηt分別為目標(biāo)的速度、航向角和速度前置角。

圖1 導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對運(yùn)動

經(jīng)典比例導(dǎo)引律為

式中：K為比例系數(shù)。由圖1可知：

由式（1）～式（3）可得：

為分析問題方便，假設(shè)目標(biāo)靜止，然后對式（5）求導(dǎo)，可得：

將式（4）代入式（6）得到的表達(dá)式，再將其代入式（7），另外，考慮在導(dǎo)彈飛行過程中通常速度前置角η不大，因此可認(rèn)為cosη≈1，sinη≈η，則化簡后的式（7）為

由式（8）可見，在相同速度變化率的基礎(chǔ)上，比例系數(shù)K的取值對彈目距離的二階導(dǎo)數(shù)有直接影響，從而會影響導(dǎo)彈與目標(biāo)的接近速度和彈目距離r。因此，可通過控制K的取值實(shí)現(xiàn)對彈目距離的控制。

2 協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

本文協(xié)同制導(dǎo)律由兩部分組成：各導(dǎo)彈發(fā)射后按照彈目距離協(xié)同制導(dǎo)律飛行，使導(dǎo)彈群同步接近目標(biāo)；當(dāng)彈目距離小到一定程度時(shí)，為了確保有效地打擊目標(biāo)，轉(zhuǎn)為使視線角速度收斂的制導(dǎo)律。由于各導(dǎo)彈的速度差別不會太大，而切換制導(dǎo)律時(shí)的彈目距離也比較小，因此，能夠?qū)崿F(xiàn)多枚導(dǎo)彈幾乎同時(shí)命中目標(biāo)。

2.1 彈目距離協(xié)同制導(dǎo)律

圖2所示為n枚導(dǎo)彈協(xié)同攻擊目標(biāo)的情況，Mi表示第i枚導(dǎo)彈，T為目標(biāo)，ri為第i枚導(dǎo)彈的彈目距離為期望彈目距離。

圖2 多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊目標(biāo)示意圖

彈目距離協(xié)同制導(dǎo)律是使多枚導(dǎo)彈的彈目距離等于期望彈目距離、多枚導(dǎo)彈同步接近目標(biāo)的制導(dǎo)律。因此，首先需確定期望彈目距離

2.1.1 期望彈目距離的確定及收斂性證明在設(shè)定期望彈目距離時(shí)，考慮以下2個(gè)因素：①應(yīng)根據(jù)各枚導(dǎo)彈當(dāng)前的彈目距離ri來設(shè)定

②為保證導(dǎo)彈逐漸接近目標(biāo)以及最終能命中目標(biāo)，須隨時(shí)間變化收斂于零。

在深入分析上述2個(gè)因素的基礎(chǔ)上，將期望彈目距離設(shè)定為所有參與協(xié)同作戰(zhàn)導(dǎo)彈的彈目距離的平均值，即

接下來，對的收斂性進(jìn)行證明。

取李雅普諾夫函數(shù)

顯然，L為正定函數(shù)。對式（10）求導(dǎo)可得：

對式（9）求導(dǎo)得：

在導(dǎo)彈飛向目標(biāo)的過程中，有＜0，因此得：

將式（13）代入式（11），又因?yàn)槠谕麖椖烤嚯x＞0，因此有：

即是負(fù)定的，因此，漸進(jìn)收斂于零。

2.1.2 彈目距離協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

根據(jù)時(shí)標(biāo)分離原理［7－8］，可將由式（5）和式（6）描述的彈目相對運(yùn)動非線性系統(tǒng)分解為2個(gè)快慢變化不同的子系統(tǒng)——慢變子系統(tǒng)（5）和快變子系統(tǒng)（6），然后利用動態(tài)逆系統(tǒng)理論對2個(gè)子系統(tǒng)分別進(jìn)行反饋線性化，將原系統(tǒng)補(bǔ)償為具有線性傳遞關(guān)系的系統(tǒng)，即偽線性系統(tǒng)［9］，再用線性系統(tǒng)的設(shè)計(jì)理論完成系統(tǒng)的綜合與設(shè)計(jì)，從而導(dǎo)出彈目距離協(xié)同制導(dǎo)律。

2.1.2.1 慢變子系統(tǒng)動態(tài)逆設(shè)計(jì)

對于如式（5）所示的慢變子系統(tǒng)，其期望輸出為，設(shè)其控制量輸入為速度前置角指令ηc。為使系統(tǒng)的輸出r→可令其具有如下的動態(tài)特性：

式中：kr＞0，為慢變子系統(tǒng)帶寬。根據(jù)動態(tài)逆系統(tǒng)方法，綜合式（15）和式（5），可得此子系統(tǒng)的期望輸入為

式中：η0為η的初始值，sgn（·）為符號函數(shù)，式（16）表示ηc的符號與其初值η0相同。為了保證能求出ηc，必須滿足：

當(dāng)速度前置角η跟隨式（16）所示的前置角指令變化時(shí)，慢變子系統(tǒng)（5）將被補(bǔ)償成為線性系統(tǒng)（15），其輸出r漸進(jìn)收斂于。假設(shè)η0＞0，分析式（16）（η0＜0情況類似）。當(dāng)r＞時(shí)，ηc∈［0，π／2），此時(shí)，導(dǎo)彈速度在視線方向的分量使彈目距離縮短且趨近于期望彈目距離；當(dāng)r＝時(shí)，ηc＝π／2，此時(shí)，導(dǎo)彈的速度矢量垂直于視線，其在視線上的投影為零，力圖使彈目距離保持為當(dāng)r＜時(shí)，ηc∈（π／2，π］，此時(shí)，要求導(dǎo)彈倒飛以增大彈目距離，使其趨近于；考慮實(shí)際情況和η0＜0的情況，為保證＜0，ηc的取值范圍為（－π／2，π／2）。

根據(jù)時(shí)標(biāo)分離原理，慢變子系統(tǒng)的期望輸入ηc將作為快變子系統(tǒng)的期望輸出，即快變子系統(tǒng)控制器的任務(wù)為：通過設(shè)定比例系數(shù)K控制η逐漸趨近于ηc。

2.1.2.2 快變子系統(tǒng)動態(tài)逆設(shè)計(jì)

對于快變子系統(tǒng)（6），其期望輸出為ηc，控制量輸入為K。根據(jù)動態(tài)逆系統(tǒng)方法，令

則快變子系統(tǒng)（6）可被補(bǔ)償為偽線性系統(tǒng)：

式中：kη＞0，為快變子系統(tǒng)帶寬。當(dāng)按照式（18）設(shè)定比例系數(shù)K時(shí)，速度前置角η將漸進(jìn)收斂于ηc，從而可實(shí)現(xiàn)對各導(dǎo)彈彈目距離的調(diào)整和控制。

將式（18）代入式（1）可得彈目距離協(xié)同制導(dǎo)律的表達(dá)式：

式中：ηc與當(dāng)前時(shí)刻各枚導(dǎo)彈的彈目距離r有關(guān)。

由式（20）可見，當(dāng)η→ηc時(shí)，此制導(dǎo)律變?yōu)楸壤禂?shù)K＝1的比例導(dǎo)引律。由式（6）知，此時(shí)＝0，即η為常數(shù)。隨著彈目距離r逐漸減小，由式（4）和式（1）知逐漸增大，導(dǎo)彈的需用過載逐漸增大，最后趨近于無窮。當(dāng)需用過載超過導(dǎo)彈的可用過載時(shí)，彈目距離協(xié)同制導(dǎo)律無法實(shí)現(xiàn)，導(dǎo)彈最終無法命中目標(biāo)。如果在彈道末段，即r＜rε（rε為設(shè)定的制導(dǎo)律切換的彈目距離）時(shí)，設(shè)計(jì)一種制導(dǎo)律，在彈目距離逐漸縮短的過程中，能使→0，即η→0，則導(dǎo)彈能精確命中目標(biāo)。而且，如果rε不大，而多枚導(dǎo)彈之間的速度相差又不太大時(shí)，其命中目標(biāo)的時(shí)間差不會太大，即實(shí)現(xiàn)了多枚導(dǎo)彈攻擊時(shí)間的協(xié)同，各導(dǎo)彈幾乎同時(shí)命中目標(biāo)。

2.2 視線角速度收斂制導(dǎo)律

在實(shí)現(xiàn)彈目距離協(xié)同和合理確定rε的基礎(chǔ)上，根據(jù)有限時(shí)間控制理論設(shè)計(jì)an，使得在有限時(shí)間內(nèi)快速收斂于零，保證導(dǎo)彈最終能命中目標(biāo)?？紤]如下引理：

引理1［10］一階線性系統(tǒng)

可被下列控制器在有限時(shí)間內(nèi)鎮(zhèn)定：

式中：x為狀態(tài)變量，u為控制量，k＞0，0＜α＜1。引理1表明：對初始狀態(tài)x（0）≠0的狀態(tài)x（t），如式（22）所示的控制器將在有限時(shí)間ts內(nèi)使?fàn)顟B(tài)變量到達(dá)x＝0（平衡點(diǎn)）后停留，且

當(dāng)目標(biāo)靜止時(shí)，由式（2）和式（3）可得：

根據(jù)引理1，針對如式（24）所示的系統(tǒng)，可取控制量：

則η和將在有限時(shí)間ts內(nèi)被鎮(zhèn)定至零。需要說明的是，只有在保證彈目距離逐漸減小，即＜0的前提下，采用式（25）所示的制導(dǎo)律才能精確命中目標(biāo)，而在彈目距離協(xié)同制導(dǎo)律中對速度前置角的限幅（ηc∈（－π／2，π／2））則保證了＜0這一條件。

綜上所述，多枚導(dǎo)彈協(xié)同攻擊目標(biāo)時(shí)，使其飛行前段能夠?qū)崿F(xiàn)彈目距離協(xié)同、飛行末段能夠精確打擊目標(biāo)且實(shí)現(xiàn)攻擊時(shí)間協(xié)同的制導(dǎo)律為

且ηc∈（－π／2，π／2）。

3 仿真分析

假設(shè)2枚導(dǎo)彈協(xié)同攻擊一個(gè)艦艇，2枚導(dǎo)彈的初始狀態(tài)如表1所示，表中下標(biāo)0表示初始值，（xm，ym）表示導(dǎo)彈在地面坐標(biāo)系的坐標(biāo)。設(shè)2枚導(dǎo)彈作勻加速運(yùn)動，其切向加速度均為aτ＝0.1m／s2。目標(biāo)的位置為（45，25）（km）。取設(shè)計(jì)參數(shù)kη＝0.5，kr＝1，k＝50，α＝0.6，兩部分制導(dǎo)律在彈目距離rε＝2 000m時(shí)切換?？紤]到導(dǎo)彈逐漸飛向目標(biāo)的需求以及能量和過載的約束，對速度前置角指令進(jìn)行限幅：－20°≤ηc≤20°。另外，設(shè)2枚導(dǎo)彈的可用法向過載為±10。

表1 導(dǎo)彈的初始參數(shù)

為更接近于真實(shí)系統(tǒng)，設(shè)導(dǎo)彈法向加速度自動駕駛儀為一階慣性環(huán)節(jié)，即

式中：τ為駕駛儀時(shí)間常數(shù)，取τ＝0.3s，an，c為法向加速度指令，由式（26）確定。仿真結(jié)果如圖3～圖9所示。圖5～圖7主要顯示飛行前段應(yīng)用彈目距離協(xié)同制導(dǎo)律時(shí)相關(guān)參數(shù)的變化情況，其余的圖則顯示了導(dǎo)彈整個(gè)飛行過程中參數(shù)的變化。

圖3 導(dǎo)彈運(yùn)動軌跡

圖4 彈目距離隨時(shí)間變化

圖5 彈目距離差隨時(shí)間變化

圖6 導(dǎo)彈1的速度前置角變化

圖7 導(dǎo)彈2的速度前置角變化

圖8 視線角速度隨時(shí)間變化

圖9 法向過載隨時(shí)間變化

對仿真結(jié)果進(jìn)行分析：

①綜合圖5、圖6和圖7可知，開始飛行時(shí)，導(dǎo)彈1距目標(biāo)比較遠(yuǎn)，因此，為了達(dá)到彈目距離協(xié)同，導(dǎo)彈1以最大相對速度（ηc＝0）飛行，而導(dǎo)彈2則按照限幅的最大（按絕對值）速度前置角飛行以等待導(dǎo)彈1，在78s左右，兩彈的彈目距離相等，均等于期望彈目距離。在接下來的飛行過程中，由于導(dǎo)彈1的速度大于導(dǎo)彈2的速度，因此，導(dǎo)彈1的相對速度較?。ㄋ俣惹爸媒禽^大），其按照限幅最大的速度前置角飛行；導(dǎo)彈2則按照彈目距離協(xié)同的要求不斷地調(diào)整其速度前置角。由圖4和圖5看出，78s后、切換制導(dǎo)律之前，兩彈的彈目距離實(shí)現(xiàn)了很好的協(xié)同。另外，由圖6和圖7還可看出，實(shí)際的速度前置角η能夠較好地跟蹤前置角指令ηc。

②由于兩部分制導(dǎo)律切換時(shí)的彈目距離比較小，而且2枚導(dǎo)彈的飛行速度相對較大且相差不多，因此，2枚導(dǎo)彈到達(dá)目標(biāo)的時(shí)間差比較小，約為0.2s，可認(rèn)為2枚導(dǎo)彈幾乎同時(shí)攻擊目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)了攻擊時(shí)間的協(xié)同。

③在采用彈目距離協(xié)同制導(dǎo)律時(shí)，由于在78s前導(dǎo)彈1的彈目距離大于導(dǎo)彈2的彈目距離，因此導(dǎo)彈1在視線的方向上快速飛向目標(biāo)，而在78s后，它的飛行速度大于導(dǎo)彈2，為了達(dá)到彈目距離協(xié)同，其繞路飛行，彈道相對彎曲。導(dǎo)彈2則是在78s前繞路飛行，而在后面一段快速接近目標(biāo)。在采用使視線角速度收斂的制導(dǎo)律時(shí)，快速收斂，η快速收斂于零，導(dǎo)彈最終以直線彈道飛向目標(biāo)。這些可由圖3看出。

④由圖8可見，在大約188s時(shí)，制導(dǎo)律進(jìn)行切換。前一段應(yīng)用彈目距離協(xié)同制導(dǎo)律時(shí)，在η→ηc的情況下，由式（20）可知，比例系數(shù)K→1，不滿足比例導(dǎo)引律的收斂條件，因此，視線角速度發(fā)散。188s后，導(dǎo)彈按式（25）所示制導(dǎo)律飛行，視線角速度快速收斂。

⑤從圖9所示的法向過載圖中可知，在應(yīng)用彈目距離協(xié)同制導(dǎo)律時(shí)，2枚導(dǎo)彈的法向過載比較小且變化平緩。在兩部分制導(dǎo)律切換時(shí)，過載較大，但也不超過導(dǎo)彈的可用過載，之后過載快速收斂于零。因此，導(dǎo)彈的過載滿足要求。

4 結(jié)束語

針對多枚導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)時(shí)導(dǎo)彈同時(shí)到達(dá)目標(biāo)區(qū)域和同時(shí)攻擊目標(biāo)的要求，在各導(dǎo)彈速度不同且可變的前提下，本文提出了由彈目距離協(xié)同制導(dǎo)律和視線角速度收斂制導(dǎo)律組成的協(xié)同制導(dǎo)律。在飛行前段，通過合理設(shè)計(jì)比例系數(shù)K，控制導(dǎo)彈實(shí)現(xiàn)彈目距離協(xié)同。在彈道末段，基于有限時(shí)間控制理論設(shè)計(jì)制導(dǎo)律使得視線角速度趨近于零，實(shí)現(xiàn)了對目標(biāo)的有效協(xié)同打擊。采用本文的協(xié)同制導(dǎo)律，導(dǎo)彈能夠有效地突破敵方的防御系統(tǒng)，對目標(biāo)實(shí)施有力的協(xié)同攻擊，因此，本方法具有廣闊的軍事應(yīng)用前景。下一步的工作將是：對本文方法如何應(yīng)用于目標(biāo)運(yùn)動和導(dǎo)彈在三維空間內(nèi)攻擊目標(biāo)的情況進(jìn)行深入研究。

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