李 果，林書玉

（陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710062）

傳統(tǒng)的變壓器都是利用電磁感應(yīng)原理來升高或降低電壓，即是電磁變壓器.這類變壓器在大功率電子和電力應(yīng)用技術(shù)中，獲得較好的效果.但是，其組成結(jié)構(gòu)體積較大，工作時容易受電磁干擾影響，且電磁變壓器固有的漏磁現(xiàn)象和電磁輻射會對環(huán)境造成一定的污染.隨著微電子技術(shù)迅速地發(fā)展，傳統(tǒng)的電磁變壓器很難滿足新的應(yīng)用要求，壓電變壓器應(yīng)運(yùn)而生.壓電變壓器與傳統(tǒng)的電磁變壓器相比有較多的優(yōu)勢，例如:體積小、質(zhì)量輕、高功率密度、高效率、避免電磁干擾等［1－6］.壓電陶瓷變壓器的輸入端壓電振子在交變電場的驅(qū)動下通過逆壓電效應(yīng)產(chǎn)生機(jī)械振動，將電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，輸出端壓電振子將這機(jī)械能通過正壓電效應(yīng)轉(zhuǎn)化為電能輸出實(shí)現(xiàn)變壓.壓電變壓器工作時，其振動模式可分為伸縮振動、剪切振動和彎曲振動.人們采用不同形狀結(jié)構(gòu)的壓電振子和振動方式來達(dá)到不同的應(yīng)用目的［2－9］.最早應(yīng)用的是Rosen型伸縮振動模式壓電陶瓷變壓器，這種變壓器的理論分析已經(jīng)比較成熟，為了提高這類變壓器的功率，對其提出了多層復(fù)合結(jié)構(gòu)并加以廣泛應(yīng)用［6，11］.隨后，圓盤形點(diǎn)環(huán)結(jié)構(gòu)的徑向振動模式壓電變壓器也得到關(guān)注.

本文在單層點(diǎn)環(huán)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上提出一種新型徑向復(fù)合的盤形壓電變壓器，其結(jié)構(gòu)為單層點(diǎn)環(huán)結(jié)構(gòu)壓電變壓器的兩個壓電振子之間加入一個階梯金屬圓環(huán)，能夠增加機(jī)械強(qiáng)度，并且可以通過改變階梯金屬圓環(huán)的厚度比來實(shí)現(xiàn)阻抗變換，進(jìn)而提高壓電變壓器的性能［8，10－11］，在諧振狀態(tài)下能獲得更高的電壓增益，在最佳負(fù)載下能保證更大的功率效率.文中利用等效電路法這種新型的壓電變壓器的徑向振動進(jìn)行分析，計(jì)算得到其輸入阻抗、共振頻率、反共振頻率、電壓增益和功率效率，進(jìn)而尋找到優(yōu)化其特性的方法，并得到其最佳階梯厚度比.

1 復(fù)合壓電陶瓷變壓器及其徑向振動特性分析

新型徑向復(fù)合階梯盤形壓電陶瓷變壓器如圖1所示.其分為3部分，1、3部分為沿厚度方向極化的壓電振子，2部分為階梯型金屬圓環(huán).1部分的半徑為a，2部分的內(nèi)、外半徑分別為a、b，3部分內(nèi)外半徑分別為b、c.整個盤形壓電變壓器的內(nèi)、外盤的厚度分別為ha、hb.當(dāng)a、b、c?ha、hb，在1部分給予一個沿厚度方向的外部驅(qū)動電場EZ，變壓器可以產(chǎn)生厚度與徑向振動模式，本文只考慮徑向振動.

圖1 徑向復(fù)合階梯盤形壓電陶瓷變壓器的幾何示意圖Fig.1 Diagram of the radial composite step disc piezoelectric ceramic transformer

值得注意的是，變壓器的徑向復(fù)合結(jié)構(gòu)會給其裝備帶來一些難度，同時，壓電變壓器不同部分之間的預(yù)應(yīng)力會影響到變壓器的性能.

1.1 壓電陶瓷薄圓盤的徑向振動

如圖2所示的壓電陶瓷薄圓盤為本文的壓電變壓器的1部分.該壓電陶瓷薄圓盤沿厚度方向z極化，其厚度為ha，半徑為a，F(xiàn)ra、Vra分別是外界對圓盤的徑向作用力和徑向速度.

圖2 厚度極化的壓電陶瓷薄圓盤的幾何示意圖Fig.2 Diagram of the thin thickness polarized piezoelectric ceramic disk

壓電薄圓盤徑向振動的波動方程為

徑向應(yīng)力為

由壓電方程可得電位移

其中:是自由介電常數(shù)，對于簡諧振動，根據(jù)（4）式可得通過壓電盤的電流

圖3 壓電陶瓷薄圓盤徑向振動的機(jī)電等效電路Fig.3 Electro-mechanical equivalent circuit of the thin piezoelectric ceramic disk in radial vibration

1.2 階梯金屬圓環(huán)的徑向振動

圖4所示為圖1的第2部分.如圖所示，該階梯金屬圓環(huán)的內(nèi)、外半徑分別為a、b，截面躍變處的半徑為d.內(nèi)環(huán)、外厚度分別為ha、hb.

圖4 階梯形金屬薄圓環(huán)的幾何示意圖Fig.4 Diagram of the thin step metal ring

先只考慮階梯金屬圓環(huán)中的內(nèi)環(huán)，如圖5所示，其厚度、內(nèi)、外半徑分別為ha、a、d.內(nèi)外半徑上所受徑向力和徑向速度分別為－Fra、－vra和Frd、vrd.

圖5 階梯形金屬薄圓環(huán)內(nèi)環(huán)的幾何示意圖Fig.5 Diagram of the inner thin metal ring

其徑向振動方程為

徑向應(yīng)力為

其中:Sa＝2πaha，Sd＝2πdha，

根據(jù)（8）、（9）式可以得到金屬薄圓環(huán)徑向振動的機(jī)電等效電路如圖6所示.

圖6 階梯形金屬薄圓環(huán)內(nèi)環(huán)徑向振動的機(jī)電等效電路圖Fig.6 Electro-mechanical equivalent circuit of the inner thin metal ring

同理，階梯金屬圓環(huán)外環(huán)徑向振動的機(jī)電等效電路如圖7所示.

圖7 階梯形金屬薄圓環(huán)外環(huán)徑向振動的機(jī)電等效電路圖Fig.7 Electro-mechanical equivalent circuit of the outer thin metal ring

圖7中

1.3 壓電陶瓷薄圓環(huán)的徑向振動

圖8所示為圖1的第3部分，圖中壓電陶瓷薄圓環(huán)的厚度、內(nèi)半徑和外半徑分別是hb、b和c.壓電陶瓷圓環(huán)在內(nèi)、外半徑上的徑向力和振動速度分別是－Frb、－vrb和Frc，vrc.

圖8 厚度極化的壓電陶瓷薄圓環(huán)的幾何示意圖Fig.8 Diagram of the thin thickness polarized piezoelectric ceramic ring

壓電陶瓷圓環(huán)的波動方程為

徑向應(yīng)力公式

其中:ξr3＝ξr3（r，t）是壓電陶瓷圓環(huán)徑向振動位移，E′Z是其厚度方向的電場，并且

根據(jù)（10）、（11）式，結(jié)合利用邊界條件可得

其中

對于簡諧振動，由（14）式可得通過壓電陶瓷圓環(huán)的電流

圖9 壓電陶瓷薄圓環(huán)的徑向振動的機(jī)電等效電路圖Fig.9 Electro-mechanical equivalent circuit of the thin piezoelectric ceramic ring in radial vibration

2 徑向復(fù)合階梯盤形壓電變壓器的特性分析

2.1 徑向振動等效電路

利用圖3、6、7、9可以得到徑向復(fù)合階梯盤形變壓器徑向振動的機(jī)電等效電路如圖10所示.

圖10 徑向復(fù)合階梯盤形變壓器徑向振動的機(jī)電等效電路圖Fig.10 Electro-mechanical equivalent circuit of the radial composite step disc piezoelectric transformer in radial vibration

壓電陶瓷環(huán)在邊界r＝c處自由，即Frc＝0，圖10中c-c端應(yīng)該短路.

考慮以1部分壓電陶瓷薄圓盤作為輸入端，以3部分壓電陶瓷薄圓環(huán)作為輸出端，假設(shè)輸出端負(fù)載為Z，即將V′Z加載于阻抗為Z的負(fù)載上，結(jié)合圖10可得，b-b端的阻抗為

d-d端的阻抗為

a-a端的阻抗為

壓電變壓器徑向振動的輸入阻抗為

2.2 電壓增益及功率效率分析

此處只考慮壓電變壓器的一階振動.當(dāng)輸出端開路時，即Z＝∞，利用共振頻率方程Ze＝0和反共振頻率方程Ze＝∞，可計(jì)算出壓電變壓器輸出端開路時的共振頻率fS和反共振頻率fp，機(jī)電耦合系數(shù)keff，其中keff＝［1－（fs/fp）2］1/2.

不同尺寸下，理論計(jì)算和ANSYS模擬的共振頻率如表1所示，理論計(jì)算和ANSYS模擬共振頻率非常接近，證明了理論分析的可靠性.選取尺寸時，徑向尺寸要遠(yuǎn)大于厚度尺寸，并且壓電變壓器中階梯金屬圓環(huán)的內(nèi)外環(huán)厚度之比應(yīng)該小于5.改變其內(nèi)外環(huán)厚度之比，可以達(dá)到改善整個壓電變壓器性能的目的.

表1 不同尺寸下的共振頻率的理論計(jì)算和ANSYS模擬結(jié)果Tab.1 The resonance frequency of theoretical calculation and ANSYS simulation results under different size

選取尺寸:a＝12.5mm，d＝15mm，b＝17.5 mm，c＝22.5mm，ha＝1.5mm，hb＝4.5mm，計(jì)算可得壓電變壓器輸出端開路時阻抗頻率特性曲線如圖11所示.理論計(jì)算:其共振頻率為450 05Hz；反共振頻率為485 98Hz.ANSYS模擬:其共振頻率為449 09Hz；反共振頻率為483 52Hz.

當(dāng)時Z＝1 000Ω，由（16）式可得壓電變壓器輸入阻抗的模值｜Ze｜與頻率的關(guān)系曲線如圖12所示，其共振頻率為43 890Hz；反共振頻率為47 545Hz.

結(jié)合圖10可推導(dǎo)出壓電變壓器的電壓增益為

根據(jù)（17）式可計(jì)算出在不同負(fù)載下，電壓增益模值隨頻率變化的曲線如圖13所示.當(dāng)變壓器負(fù)載無窮大時，其電壓增益就在共振頻率處取得最大值；當(dāng)變壓器負(fù)載為1kΩ時，其電壓增益在共振頻率附近取得最大值.

圖11 壓電變壓器輸出端開路時輸入阻抗頻率特性曲線Fig.11 The input impedance frequency characteristic curve of the piezoelectric transformer when the output terminal is open-circuited

圖12 壓電變壓器輸入阻抗的模值與頻率的關(guān)系曲線Fig.12 The relationship between the amplitude of input impedance and the frequency of the piezoelectric transformer

壓電變壓器的電壓增益不僅是頻率的函數(shù)，它還隨著負(fù)載變化而變化，壓電變壓器在不同頻率下的負(fù)載特性如圖14所示，固定頻率，壓電變壓器的電壓增益隨負(fù)載增加而增加，當(dāng)負(fù)載增加到某一值時，壓電變壓器的電壓增益幾乎保持不變.

圖14 不同頻率下壓電變壓器電壓增益模值的負(fù)載特性曲線Fig.14 The load characteristic of the amplitude of voltage gain of the piezoelectric transformer under different frequencies

圖15 不同負(fù)載下壓電變壓器效率模值隨頻率變化的關(guān)系曲線Fig.15 The relationship between the amplitude of efficiency and the frequency of the piezoelectric transformer under different loads

圖16 不同頻率下壓電變壓器效率的負(fù)載特性Fig.16 The load characteristic of the efficiency of the piezoelectric transformer under different frequencies

2.3 最佳階梯厚度比

選取尺寸:a＝12.5mm，d＝15mm，b＝17.5 mm，c＝22.5mm，ha＝1.5mm，令τ＝hb/ha，并且壓電變壓器輸出端處于開路狀態(tài).壓電變壓器的最大電壓增益隨階梯厚度比的變化關(guān)系如圖17所示，其最大電壓增益模值與τ值不存在簡單的單調(diào)變化關(guān)系.如圖18所示，壓電變壓器的最大電壓增益對應(yīng)的頻率就是其共振頻率，隨τ值增大而減小.反共振頻率亦示隨τ值增大而減小.如圖19所示，壓電變壓器的機(jī)電耦合系數(shù)隨τ值的增大而減小.針對該尺寸的這種壓電變壓器，結(jié)合圖17和圖19可知，當(dāng)τ選取為1.6時，壓電變壓器獲得最大電壓增益模值，并且能保證其有較大機(jī)電耦合系數(shù).

圖17 壓電變壓器最大電壓增益模值隨τ的變化曲線Fig.17 The relationship between the amplitude of the maximum voltage gain and of the piezoelectric transformer

圖18 壓電變壓器共振與反共振頻率隨τ的變化曲線Fig.18 The relationship between the resonance and anti-resonance frequency and of the piezoelectric transformer

圖19 壓電變壓器機(jī)電耦合系數(shù)隨τ的變化曲線Fig.19 The relationship between the electromechanical coupling coefficient and of the piezoelectric transformer

3結(jié)論

本文提出一種新型徑向復(fù)合階梯盤形變壓器結(jié)構(gòu)，并采用等效電路方法對其分析.得到該變壓器的機(jī)電等效電路、頻率方程、電壓增益、功率效率的解析式.結(jié)果表明，壓電變壓器的電壓增益在其共振頻率附近獲得最大值，不同負(fù)載下的電壓增益最大值對應(yīng)的頻率會不同程度的偏離其共振頻率；固定頻率時，變壓器的電壓增益隨負(fù)載的增加而增加，隨負(fù)載增加其增益增加速度減小從而增益幾乎保持不變；壓電變壓器的功率效率在其共振頻率和反共振頻率附近取得最大值；在變壓器工作頻率內(nèi)，存在一個最佳負(fù)載使壓電變壓器的功率效率達(dá)到最大值；通過分析階梯厚度比與最大電壓增益及機(jī)電耦合系數(shù)的關(guān)系，可以確定最佳的階梯厚度比為1.6.

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