摘 要：高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)注重變式的訓(xùn)練，是提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率的重要途徑. 教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中探求規(guī)律，逐步培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思維品質(zhì)，提高其數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)其探索精神和創(chuàng)新意識(shí)，從而真正把對(duì)能力的培養(yǎng)落到實(shí)處.

關(guān)鍵詞：復(fù)習(xí)課；變式教學(xué)；實(shí)踐

高考數(shù)學(xué)題“源于課本，高于課本”，這是歷年高考試卷命題所遵循的原則，也是在高考復(fù)習(xí)中一直所堅(jiān)持和探求的. 如何理解和貫徹這個(gè)原則，筆者認(rèn)為，通過(guò)對(duì)課本內(nèi)容的深挖，對(duì)例題、習(xí)題重組，就能將課本、資料、高考試題有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，從而在課堂上展示知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，形成完整的認(rèn)知過(guò)程，去啟迪學(xué)生思考、頓悟、探究. 在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)和講評(píng)課中注重變式的訓(xùn)練，這是提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率、激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和信心的重要途徑. 變式既是一種重要的思想方法，更是一種行之有效的教學(xué)方式.

■什么是變式教學(xué)

1. 所謂變式，就是在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)事物屬性的過(guò)程中，不斷變更所提供材料或事例的呈現(xiàn)形式，使本質(zhì)屬性保持穩(wěn)定而非本質(zhì)屬性不斷變化，從而產(chǎn)生新的問(wèn)題情境，誘發(fā)學(xué)生用不同的方法去思考問(wèn)題，克服或弱化思維定式思維，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，活躍思維方式，改善思維品質(zhì)（尤其是思維的靈活性），樹(shù)立創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展創(chuàng)造能力.

2. 什么是變式教學(xué)？變式教學(xué)就是對(duì)教學(xué)內(nèi)容通過(guò)不同側(cè)面進(jìn)行“單維”的表述，使主體內(nèi)容呈現(xiàn)形式不斷發(fā)生改變，在本質(zhì)內(nèi)容保持不變的前提下，使外在的表述形式不斷發(fā)生變化，通過(guò)對(duì)“單維”的多向表述，呈現(xiàn)“兩維”、“三維”或“多維”的問(wèn)題形態(tài). 比如變更概念中的非本質(zhì)特征，變換問(wèn)題中的條件或結(jié)論，轉(zhuǎn)換材料的形式或內(nèi)容，配置實(shí)際應(yīng)用的各種環(huán)境或背景復(fù)雜化，但概念或問(wèn)題的本質(zhì)不變.

■數(shù)學(xué)變式教學(xué)的基本思想

運(yùn)用不同的知識(shí)和方法，借鑒科學(xué)家發(fā)明創(chuàng)造的思想方法和數(shù)學(xué)問(wèn)題的編擬手法，對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)概念、定理、公式及課本上的習(xí)題進(jìn)行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變化，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中探求規(guī)律，逐步培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思維品質(zhì)，增強(qiáng)其應(yīng)變能力，激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性，提高其數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)其探索精神和創(chuàng)新意識(shí)，從而真正把對(duì)能力的培養(yǎng)落到實(shí)處. 結(jié)合教學(xué)實(shí)際，進(jìn)行課堂問(wèn)題變式應(yīng)該思考以下問(wèn)題：

1. 課堂問(wèn)題變式的數(shù)量的確定

問(wèn)題變式的數(shù)量確定是一個(gè)首要的問(wèn)題，原因大致如下：第一，課堂時(shí)間有限；第二，即使將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間拓展到課堂以外，我們?nèi)圆豢赡芴峁┎⑶医淌趯W(xué)生關(guān)于某個(gè)特定數(shù)學(xué)內(nèi)容的所有變式. 數(shù)學(xué)教學(xué)是教會(huì)學(xué)生通過(guò)體驗(yàn)有限變異這樣一個(gè)過(guò)程學(xué)會(huì)面對(duì)未來(lái)變異的本領(lǐng).

2. 課堂問(wèn)題變式的選取和安排

實(shí)際上，這是與問(wèn)題變式的數(shù)量確定緊緊相關(guān)的問(wèn)題，正是因?yàn)閱?wèn)題變式的數(shù)量有限，所以必須選擇好的問(wèn)題，問(wèn)題變式安排應(yīng)該遵循以下基本原則；第一，在問(wèn)題的外貌特征上，后一問(wèn)題應(yīng)與前一問(wèn)題相近；第二，在問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)上，后一問(wèn)題應(yīng)與前一問(wèn)題相近；第三，在變異增加的數(shù)量上，每一問(wèn)題應(yīng)該逐漸增加，一次不宜增加過(guò)多；第四，在變異增加的內(nèi)容上，應(yīng)該從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從具體到抽象.

■復(fù)習(xí)課數(shù)學(xué)變式教學(xué)的實(shí)施

■

1. 概念的變式

復(fù)習(xí)課的一個(gè)重要任務(wù)，就是與學(xué)生一起回顧本專題的知識(shí)內(nèi)容，使學(xué)生重溫知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，建立知識(shí)結(jié)構(gòu)，為創(chuàng)新學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ). 在知識(shí)歸析環(huán)節(jié)中，教師活動(dòng)體現(xiàn)在：（1）設(shè)計(jì)針對(duì)性、啟發(fā)性強(qiáng)的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生回顧舊知識(shí)的興趣；（2）引導(dǎo)學(xué)生建立知識(shí)結(jié)構(gòu). 學(xué)生活動(dòng)體現(xiàn)在：主動(dòng)參與、積極回顧、探究所學(xué)知識(shí)的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系，建立明晰、穩(wěn)固的知識(shí)體系，使所學(xué)知識(shí)在回顧與反思中得到進(jìn)一步升華. 數(shù)學(xué)基本概念的變式往往從引入、鑒別、鞏固、深化和擴(kuò)張幾個(gè)階段著手.

案例1：函數(shù)單調(diào)性定義的引入，安排在必修1中. 要求掌握單調(diào)性的直觀圖形，理解單調(diào)性的定義，通過(guò)大量的具體函數(shù)，理解單調(diào)性在研究函數(shù)中的作用. 復(fù)習(xí)課教學(xué)應(yīng)定位在鞏固、深化概念，理解、應(yīng)用定義，提升教材，開(kāi)發(fā)能力上. ①單調(diào)性與函數(shù)圖形有密切聯(lián)系，了解了單調(diào)性，就可以基本上決定函數(shù)圖形的形狀（畫圖）；反之，掌握了函數(shù)的圖形，也就能很好地了解函數(shù)的單調(diào)性（用圖象法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間）；②單調(diào)性與不等式聯(lián)系密切. 單調(diào)性是用不等式來(lái)描述的，反之，具體函數(shù)的單調(diào)性反映了一些不等關(guān)系.例如：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳，區(qū)間I？哿A，對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，給出三個(gè)論斷：（1）x1f（x2））；（3）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)增（減）函數(shù). 以其中兩個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，請(qǐng)寫出你認(rèn)為正確的命題結(jié)論：

（1）（2）？圯（3）判斷或證明函數(shù)單調(diào)性；

（3）（1）？圯（2）比較函數(shù)值的大小；

（3）（2）？圯（1）解抽象不等式.

③教學(xué)中，不應(yīng)只停留在直接應(yīng)用定義這一層面上，應(yīng)通過(guò)典型例題的選取，進(jìn)行變式等創(chuàng)設(shè)，提升例題的功能，開(kāi)發(fā)學(xué)生的解題能力.

2. 習(xí)題的變式

（1）精選范例

復(fù)習(xí)課所選的范例應(yīng)具有針對(duì)性（針對(duì)復(fù)習(xí)專題的內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況而選，起點(diǎn)要低，要面向全體學(xué)生）、典型性（為鞏固“三基”而選，對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)、某種方法、某種思想的訓(xùn)練有代表性，能起到以點(diǎn)代面的作用）、靈活性（解法多樣、題型易變、易于實(shí)施變式教學(xué)）、綜合性（體現(xiàn)所復(fù)習(xí)專題的知識(shí)、方法在本學(xué)科及其他學(xué)科中的應(yīng)用）、層次性（即范例的選排、變式題的探索要有層次性，如由基礎(chǔ)到技巧、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由單一到綜合等）.

在此環(huán)節(jié)中，教師活動(dòng)體現(xiàn)在：選擇符合上述要求的題目，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)廣闊的探索空間. 學(xué)生活動(dòng)體現(xiàn)在：自主審題，為實(shí)施解法變式、題目變式作好情感準(zhǔn)備.

（2）解法探究

通過(guò)對(duì)范例實(shí)施解法變式，追求一題多解，解法優(yōu)化，培養(yǎng)學(xué)生的靈活性.

案例2：已知a，b為正數(shù)，且ab=a+b+3，求ab的取值范圍.

解法1：ab=a+b+3≥2■+3，所以■≥3，ab≥9.

解法2：設(shè)ab=k，則a+b=k-3，a，b是x2-（k-3）x+k=0的兩根，Δ=（k-3）2-4k≥0，k≥9或k≤1. 又a+b>0，所以ab=a+b+3>3，故ab≥9.

解法3：a=■. 因?yàn)閍>0，所以b-1>0. ab=■=（b-1）+■+5≥9.

案例3：求證：■=tanθ.

證法1：（運(yùn)用二倍角公式統(tǒng)一角度）

左=■=■=右.

證法2：（逆用半角公式統(tǒng)一角度）

左=■=■=右.

證法3：（運(yùn)用萬(wàn)能公式統(tǒng)一函數(shù)種類）

設(shè)tanθ=t，則左=■=■=t=右.

證法4：tanθ=■，左=■=■=右.

證法5：（可用變更論證法）只要證下式即可.

（1-cos2θ+sin2θ）sin2θ=（1+cos2θ+sin2θ）（1-cos2θ）.

證法6：由正切半角公式tanθ=■=■.

在解法變式環(huán)節(jié)中，教師活動(dòng)體現(xiàn)在：（1）引導(dǎo)占據(jù).當(dāng)學(xué)生探索解法遇到困難時(shí)，誘導(dǎo)、點(diǎn)撥；（2）評(píng)價(jià)鼓勵(lì). 對(duì)學(xué)生探索得到的求解思路或方法評(píng)價(jià)，以增強(qiáng)學(xué)生的探索信心和精神，激發(fā)探索欲. 學(xué)生活動(dòng)體現(xiàn)在：①自主探索解法，求得問(wèn)題解決；②求新求異，多角度思考問(wèn)題，多渠道尋求解決問(wèn)題的方法；③相互交流，相互啟發(fā)，擴(kuò)大探索成果；④自主總結(jié)各種解法的規(guī)律與技巧，形成解題技能.

（3）探索變式

復(fù)習(xí)課所說(shuō)的“變式”，與新課教學(xué)模式中所談的“變式”相比，更加深、廣，即變式題目新，知識(shí)滲透深，方法應(yīng)用廣.

案例4：已知△ABC的一邊的兩個(gè)頂點(diǎn)B（0，6）和C（0，-6），另兩邊的斜率之積是-■，求頂點(diǎn)A的軌跡.

一般學(xué)生能比較容易地運(yùn)用求軌跡方程的直接法求得軌跡是橢圓■+■=1（去掉點(diǎn)（0，6），（0，-6））.

①探索規(guī)律，變式推廣，深化認(rèn)知結(jié)構(gòu)

學(xué)生解題后，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)條件和結(jié)論進(jìn)行觀察，得到：

（?。┒ㄖ怠雠c結(jié)論中的36，81存在關(guān)系：■=■ ；

（ⅱ）定點(diǎn)B（0，6）和C（0，-6）是橢圓■+■=1短軸的兩個(gè)端點(diǎn).

由此猜測(cè)得到：

變式1：過(guò)兩定點(diǎn)（0，b）和（0，-b）的兩相交直線的斜率之積是-■，求交點(diǎn)的軌跡.

易求得結(jié)果為■+■=1（除去（0，b），（0，-b）兩點(diǎn)）.

引導(dǎo)學(xué)生將定點(diǎn)改為（a，0），（-a，0），得到：

變式2：過(guò)兩定點(diǎn)（a，0）和（-a，0）的兩相交直線的斜率之積是-■，求交點(diǎn)的軌跡.

學(xué)生解答，仍得結(jié)果為■+■=1（除去（a，0），（-a，0）兩點(diǎn)）.

由此，教師啟發(fā)：兩定點(diǎn)發(fā)生改變，而軌跡不變，給我們什么啟示？引導(dǎo)學(xué)生觀察兩定點(diǎn)的位置關(guān)系——關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，于是產(chǎn)生更大膽的猜測(cè)：是否只要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所得軌跡就是橢圓呢？于是得到變式3：

變式3：設(shè)B（acosθ，bsinθ），C（-acosθ，-bsinθ），當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與B，C的連線的斜率之積等于-■時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡.

引導(dǎo)學(xué)生給出解答，結(jié)果為：動(dòng)點(diǎn)A的軌跡是橢圓■+■=1（除去B，C，（-acosθ，bsinθ），（acosθ，-bsinθ）四點(diǎn)）.

點(diǎn)評(píng)：在問(wèn)題解決的過(guò)程中，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生由淺入深、步步深化，善于透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律性，達(dá)到深化學(xué)生認(rèn)識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)良思維品質(zhì)、發(fā)展學(xué)生能力的目的.

②探索問(wèn)題的逆命題，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

記條件（?。憾c(diǎn)B（acosθ，bsinθ），C（-acosθ，-bsinθ）；

記條件（ⅱ）：點(diǎn)P與B，C兩點(diǎn)連線的斜率乘積為-■；

記條件（ⅲ）：點(diǎn)P是橢圓■+■=1上的點(diǎn).

則變式3的命題結(jié)構(gòu)為（?。áⅲ?？圯（ⅲ），作逆向變式，引導(dǎo)學(xué)生探究上述命題的逆命題是否成立，則可得到：

變式4：設(shè)B（acosθ，bsinθ），C（-acosθ，-bsinθ）是橢圓■+■=1ZL64ijArhbC3EOxCuv1ezoxtE6NcZ+z+kiH1ZbEB/90=上兩個(gè)定點(diǎn)，P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求證：kPB·kPC= -■（定值）.

變式5：設(shè)P是橢圓■+■=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，B，C是該橢圓上兩個(gè)定點(diǎn)，若kPB·kPC=-■，求證：點(diǎn)B，C關(guān)于橢圓中心（原點(diǎn)）對(duì)稱.

點(diǎn)評(píng)：引導(dǎo)學(xué)生探索命題的逆命題，可使學(xué)生從正、逆兩個(gè)方面完整地認(rèn)識(shí)橢圓的性質(zhì)，形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu). 同時(shí)，在探索逆命題的過(guò)程中，不斷克服思維的單向性，培養(yǎng)和發(fā)展思維的整體性和雙向性.

③類比推廣，擴(kuò)大成果

在完整地認(rèn)識(shí)了橢圓的有關(guān)問(wèn)題后，教師把握好時(shí)機(jī)，適時(shí)拋出范例2，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探索，將橢圓的有關(guān)性質(zhì)類比到雙曲線，實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移，要注意運(yùn)用激勵(lì)性語(yǔ)言，鼓舞學(xué)生的斗志，使學(xué)生一鼓作氣完成探索.

類比推廣：△ABC一邊的兩個(gè)端點(diǎn)B（0，6）和C（0，一6），另兩邊斜率的積是■，求頂點(diǎn)P的軌跡.

易求得P的軌跡是雙曲線■-■=1.

點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)栴}推廣，可以擴(kuò)展學(xué)生對(duì)問(wèn)題認(rèn)識(shí)的廣度，更為重要的是讓學(xué)生用類比進(jìn)行科學(xué)發(fā)現(xiàn).

在探索變式環(huán)節(jié)，教師活動(dòng)體現(xiàn)在：（?。┱T導(dǎo)啟發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生探索，適時(shí)引導(dǎo)、點(diǎn)撥，指引學(xué)生探索的方向（如引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行條件變式、結(jié)論變式、等價(jià)變式、逆向變式、拓展變式等）；（ⅱ）及時(shí)評(píng)價(jià)，鼓勵(lì)學(xué)生的探續(xù)探索的勇氣. 學(xué)生活動(dòng)體現(xiàn)在：通過(guò)獨(dú)立探索、小組討論、集體交流等方式，全員思維，最大限度地探索題目的各種變式.

④問(wèn)題解決

對(duì)范例變式得到的數(shù)學(xué)問(wèn)題，難易程度不同，應(yīng)采取靈活多樣的解決策略，如詳解、略解，課下練習(xí)、書面作業(yè)，課下思考討論等. 在此環(huán)節(jié)中：教師活動(dòng)體現(xiàn)在：（?。?duì)變式題的分類處理，確定哪些題目課上解決，課下思考；（ⅱ）引導(dǎo)點(diǎn)撥，適時(shí)啟發(fā). 引導(dǎo)學(xué)生解題的方向，點(diǎn)撥可面向個(gè)體，注意因材施教；（ⅲ）適時(shí)作鼓勵(lì)性評(píng)價(jià). 學(xué)生活動(dòng)體現(xiàn)在：自主探索，按教師要求，探求規(guī)定題目的求解策略；相互探討，對(duì)不能自主解決的問(wèn)題，學(xué)生之間、師生之間相互探討試題規(guī)律，進(jìn)行方法的積累與總結(jié).

⑤總結(jié)升華

師生共同完成總結(jié). 一是對(duì)解題方法、規(guī)律的總結(jié)進(jìn)行升華，對(duì)課堂上的方法加以梳理、概括，納入知識(shí)方法體系；二是對(duì)研究問(wèn)題的方法加以總結(jié)，探究學(xué)習(xí)的方式、方法，并逐步使之成為學(xué)生的自覺(jué)行為.

變式教學(xué)的實(shí)踐說(shuō)明它的確是一種提高課堂效率的有效途徑，同時(shí)更有利于學(xué)生思維的提升和解決問(wèn)題能力的提高，能關(guān)注學(xué)生個(gè)體的發(fā)展，符合新課程的教學(xué)理念. 在新課程背景下，教師需以現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育理論、素質(zhì)教育創(chuàng)新觀、創(chuàng)造性思維教學(xué)理論為指導(dǎo)，通過(guò)實(shí)踐研究，逐步形成行之有效的教學(xué)方法和教學(xué)風(fēng)格.