摘 要：試題編制的科學性是編題試題最基本的準則，它要求教師從解題者——變式研究者——試題創(chuàng)新者之間慢慢地成長，在模仿、學習和創(chuàng)新之間學會編制問題的科學性、正確性、邏輯性、簡潔性等，在充分考慮問題入口寬廣、解法可行的基礎上，確實保障不能與中學數(shù)學的定理、概念矛盾，不能與將來高等數(shù)學內容沖突.

關鍵詞：編題；科學性；專業(yè)化發(fā)展

數(shù)學編題研究，是數(shù)學教師的日常教學工作的一種延伸，在教師專業(yè)化道路上不可或缺；多年來的教學經歷告訴筆者，對高中數(shù)學教學工作的理解不能僅限于教學、答疑、解題、應試，而應該站在系統(tǒng)的角度去審視.經歷了教材改革和課程改革之后，新的問題會常常在教學中體現(xiàn)出來，每每看到新的問題總是覺得自己的知識是多么的淺薄！曾經一位哲人這么形容：“人的知識好比一個圓內的部分，圓的外部都是不懂的，每當自身知識越多時，圓就會越大，圓周與外界接觸（即不懂的知識）也越大，因此覺得自己越是淺薄.” 因此在教師專業(yè)化道路上的成長，筆者認為教師需要做些理性的思考，提高自身的思維層次——即需要對編題進行一定的嘗試和摸索.

另一方面來說，對數(shù)學編題的研究是一位中學教師在擁有多年教學經驗后慢慢成長起來的，優(yōu)秀的數(shù)學教師不僅在高效課堂教學、雙基教學、變式教學、解題教學等方面出類拔萃，還能在對數(shù)學編題的研究上有所建樹. 近年來，對數(shù)學編題、命題的研究也有一些成果，諸如文[1]～[4]等等，筆者拜讀后發(fā)現(xiàn)此類文章在對命題的構成、命題的心理機制、高觀點下的命題思路等等做出了一定的分析和闡述. 本文將從編制試題的一個基本準則出發(fā)，將編題嘗試與科學性原則相結合，略談一二.

■編題的科學性準則

數(shù)學考查的總要求是由考試大綱與課程標準決定的，在命題編制時如何將對知識、方法、能力的要求具體貫徹到實際試題中去，則是依據(jù)一定的準則進行操作的，即所謂命題準則. 經過多年教學歷練，有些教師具備一定的試題分析水準，加上自身的理論學習和教學經驗，對試題編制研究有一定的積累，對命題編制的原則有所了解. 特別地，對近年來非常流行的高等數(shù)學背景下的試題研究要求更高. 因此筆者認為，從專業(yè)化的眼光來看，命題的編制必須首要注重科學性.

案例：點O是銳角三角形ABC的外心，AB=6，AC=10，∠A=■，若■=x■+y■，則x+y=________.

原解：如圖1，點O在AB，AC上的射影是D，E點，他們分別是邊AB，AC的中點；對式子■=x■+y■兩邊數(shù)乘■，由向量數(shù)乘的幾何意義即■·■=■·■=3·6，得3·6=x·6·6+y·6·10·cosA，即6x+5y=3；同理，對式子■=x■+y■兩邊數(shù)乘■，得3x+10y=5.聯(lián)合解得x=■且y=■，即x+y=■.

錯誤改編：隨后，在本校一次月考試卷命題時，本校一位教師對上述解法有深刻的欣賞體驗，尤其對運算3·6=x·6·6+y·6·10·cosA情有獨鐘. 注意到如果3-6x=6y的話，cosA=■就可以求得.這樣，就隨意把上述的試題進行改變，變?yōu)椋狐cO是銳角三角形ABC的外心，AB=6，AC=10，若■=x■+y■，且2x+2y=1，則cosA=__________.

分析：這是對原題的一個逆向改編，但又是對命題較為疏忽的隨意改編，導致問題產生雙重的解答. 其實，他還沒有檢驗另一個運算，對式子■=x■+y■兩邊數(shù)乘■，得5=x·6·cosA+y·10，結合2x+2y=1就得cosA=■，顯然是有兩重錯誤的結果：cosA=■是大于1的數(shù)且與上一個運算式子結果cosA=■相矛盾.

思考：隨意編制試題，其原因基于教師對問題本質、內部的條件聯(lián)系、相互之間的量的制約沒有充分弄清楚，因此往往值得教師進一步地思考. 筆者思考的著眼點：點O是任意△ABC的外心，AB=6，AC=10，若■=x■+y■，則系數(shù)x，y應該滿足的條件是什么？或在直角坐標平面上，點（x，y）的軌跡是什么？那么我們繼續(xù)探究下去.

探究：利用向量的兩次數(shù)乘運算，可得6x+10ycosA=3，6xcosA+10y=5， 求得cosA=■=■，它等價于下列的結果：

■-■=1且3-6x<10y，5-10y<6x.

用幾何畫板在直角坐標系內畫出，如圖2. 圖中，上述結果所要求的是第一象限的實線部分不包括端點0，■是雙曲線的一部分.

■

圖2

雙曲線■-■=1與直線2x+2y=1的交點恰好是0，■和■，0，它們在圖中實線之外，既不滿足cosA=■=■這個式子，也在不等式3-6x<10y和5-10y<6x表示的區(qū)域之外，這就是題錯誤的原因.

本質：當△ABC的三個內角確定的話（所有這樣的三角形是相似的），x，y是唯一且確定的. 即可得下面的問題：已知△ABC的外心為O，求證：■■+■■=2■.

為了展示此類問題的多解方法，下面采取的是有別于上面的方法.

證明一（向量數(shù)乘法）：如圖3所示的圖形，角大小如圖標記，具體計算忽略. 設2■=■=x■+y■，在這一式子兩邊分別乘以向量■，■得

2RsinC=xc+ybcosA，2RsinB=xccosA+yb，

解得x=■=■，y=■=■，

即■■+■■=2■.

■

圖3

證明二（向量基本定理法，解三角形）：當如上圖所示的圖形時，角大小如圖標記，具體計算忽略. 2■=■=■+■，通過計算■=■·sin■-B=■，則有■=■·■=■·■；同理，■=■，■=■·■=■·■.

這樣就有■■+■·■=2■.

當如圖4所示的圖形時，角大小如圖標記，此時，■π-B是負值的角了，具體計算忽略. 2■=■=■+■，通過計算-■=■·sin■-B=■，則有■=-■·■=■·■；

同理，■=■，■=■·■=■·■.

這樣就有■■+■·■=2■.

上述說明了改編試題必須全方位思考、驗證，只有這樣，才有完美的結果，符合科學性的原則.

■推動教師專業(yè)化成長

數(shù)學與其他學科不同在于除研究對象之外，是數(shù)學對象的內部規(guī)律真實性與表象背后的本質屬性，必須用邏輯推理的方式來證明. 因此，數(shù)學試題的編制需要一定的數(shù)學知識、數(shù)學內涵和學習的耐心，這其中隱含的數(shù)學素養(yǎng)對教師自身發(fā)展有較大的決定性作用.

一方面，就內容而言，數(shù)學課程內容的絕大部分都可以說是數(shù)學命題的學習和延伸，數(shù)學課程的核心內容就是由數(shù)學命題組成的. 高中數(shù)學教學的整個階段都離不開解題，解題需要運算，離不開運算法則，從運算中提高教師的計算能力；要計算圖形的面積、體積，離不開數(shù)學公式，加強對公式的熟練運用并能融會貫通中提高教師的想象能力；要學習數(shù)學證明，必然先介紹公理，而后再有定理和推論，提高教師的推理能力；對試題變式的研究，大大提高了教師在數(shù)學知識點交匯處演變問題的能力；對一個高考試題的背景分析、探討和學習，能迅速提升教師看待中學數(shù)學問題的高度；對優(yōu)秀試題編制進行總結和反思，大大提升了教師教學與科研的水平和能力. 因此，數(shù)學試題編制的研究推動著教師的專業(yè)化成長.

另一方面，從再認知理論的角度來說，荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾指出：數(shù)學學習是一種再創(chuàng)造學習，反思是數(shù)學思維活動的核心和動力. 筆者認為利用“再創(chuàng)造學習理論”進行試題編制的研究，一方面回顧問題中出現(xiàn)的基本知識，另一方面通過變式等研究對知識進行了重組，從而優(yōu)化了知識在腦海中存儲，久而久之，產生了“創(chuàng)新”，教師水平的提高也大大提升了試題編制的能力，兩者是相輔相成的！

隨著新一輪課程改革的起航和不斷變革中的高考，將來的高中數(shù)學教學應該向著更注重教學應用、綜合能力的方向不斷前行. 今天能解決中學數(shù)學問題的教師是一名合格的教師，但在不久的將來可能這樣的基本要求很難適合教師的生存，這勢必要求教師自身擁有更扎實的基本功、更開拓的眼界、更系統(tǒng)的知識、更高人一籌的研究能力才能勝任. 以計算輔助教學來說：多年前PPT是CAI的主流，近年來，幾何畫板、超級畫板、Cabri3D、Flash等等越來越普遍使用在教學中，更為專業(yè)的如Mathematica、MathCAD等等也在慢慢滲透進數(shù)學教學中來，教師也要有與時俱進的研究來帶動自身的成長，向歐美發(fā)達國家一樣，隨處可見利用iPad在學習、利用網(wǎng)絡收發(fā)作業(yè)等等.

借本文與讀者共勉，追求不斷的發(fā)展——期待不斷對試題編制進行嘗試，在教師專業(yè)化的成長路上做到輕舟已過萬重山.