摘 要：面積問(wèn)題，從小學(xué)到中學(xué)乃至大學(xué)的學(xué)習(xí)與考試中一直在出現(xiàn)，它是數(shù)學(xué)最基本的問(wèn)題之一. 本論文主要講解了一道面積問(wèn)題的初等解法和高等解法，并將這些解法進(jìn)行了比較，做出了小結(jié).

關(guān)鍵詞：面積問(wèn)題；初等解法；高等解法

筆者在《挑戰(zhàn)智力水平的150趣題》（皮埃爾·貝洛凱 著）一書(shū)中，看到一道求面積的題，題目如下：

曲盡其妙■

曲線圖形比直線圖形更加微妙.你能不能計(jì)算出圖1中那個(gè)曲邊正方形的面積？這個(gè)曲邊正方形是由四條以大正方形頂點(diǎn)為圓心的四分之一圓弧所圍成的，正方形的邊長(zhǎng)是1.

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圖1

在此筆者給出所想到的三種解法：

■初等解法

1.？搖初中解法

首先明確：S曲邊正方形=S大正方形-4（S1+S2）（？鄢）.

這里S1表示底部“山形”圖形■的面積；

S2表示“錐形”圖形■的面積.

事實(shí)上，如圖2所示，易證：△ABC是等邊三角形，且C點(diǎn)以上的陰影部分和C點(diǎn)以下的陰影部分是全等的.

所以S1=S矩DEGF-■S圓-S△ABC=1×1-■-■-■=1-■-■.

結(jié)合圖1，可知：S2=S正方形-■S圓-2S1=1-■-2×1-■-■=-1+■+■.

將S1和S2代入（*）中，得S曲邊正方形=1-■+■.

2.？搖高中解法

如圖3所示，S曲邊正方形=S正方形EFGH+4S3？搖 （**）.

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圖3

這里S3表示圖中陰影部分的面積，且S3=S扇形GAH-S△GAH. 易知：∠GAH=30°，故S扇形GAH=■，S△GAH=■AG·AH·sin30°=■，從而S3=■-■.

S正方形EFGH=GH2，在△GAH中，根據(jù)余弦定理，有：

GH2=AG2+AH2-2·AG·AH·cos30°=2-■.

將S3和S正方形EFGH代入（**）式，得S曲邊正方形=1-■+■.

■高等解法

許多省市在高中數(shù)學(xué)教材中，已添加了定積分和其幾何意義的相關(guān)內(nèi)容，以下內(nèi)容便展示了利用這一高等方法求解此題的過(guò)程.

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圖4

如圖4所示，建立平面直角坐標(biāo)系，可知：S曲邊正方形=4S4. 這里S4就是圖中的陰影部分，即⊙B：x+■2+y+■2=1在第一象限的面積. 令y=0，得與x軸正半軸的交點(diǎn)為■，0.

故S4=■■-■dx=■■dx-■.

查積分表可知：■■dx=■·■+■arcsin■+C，再利用牛頓-萊布尼茲公式，得：S4=■■+■arcsinx+■■-■=■-■+■. 所以S曲邊正方形=4S4=1-■+■.

■小結(jié)

面積問(wèn)題，在從小學(xué)到中學(xué)乃至大學(xué)的學(xué)習(xí)與考試中一直在出現(xiàn)，它是數(shù)學(xué)最基本的問(wèn)題之一，也是最具趣味性的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 它最能讓人直觀地理解數(shù)學(xué)，因?yàn)檫@類問(wèn)題一般都具有圖形的優(yōu)美性、對(duì)稱性和規(guī)律性.

一道好的面積問(wèn)題，應(yīng)能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想與方法，其求解絕不是僅僅利用已知的面積公式，往往還需要綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，需要擁有科學(xué)的思維方法和清晰的思維層次，甚至有時(shí)需要把握有限與無(wú)限、特殊與一般、變形與化歸以及形式多樣的轉(zhuǎn)換策略.

對(duì)于這道題的求解，初等解法顯得比較巧妙，因?yàn)樗麄兌缄P(guān)注到了圖中的等邊三角形及特殊的角度，很好地運(yùn)用了“割補(bǔ)法”這一求解面積最基本的變形轉(zhuǎn)換策略，并結(jié)合了其他的一些數(shù)學(xué)知識(shí). 初中解法運(yùn)用圖形的全等和整體減去部分（即“割”）的方法，高中解法運(yùn)用了余弦定理和整體加部分（即“補(bǔ)”）的方法.

高等解法則運(yùn)用了定積分的幾何意義進(jìn)行求解，相對(duì)而言，計(jì)算量大、比較繁瑣，顯得有些“大材小用”了，且定積分求解面積是一種模式化“公式性”的方法，不能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維性與靈活性. 但值得注意的是，所給的三種方法都考慮到了圖形的對(duì)稱性.

很多時(shí)候，高等方法并無(wú)優(yōu)越性，反而是初等方法能以其簡(jiǎn)單清晰的思路、巧妙的過(guò)程給人以深刻.