摘 要：著名數(shù)學教育家提出的教學觀點值得我們?nèi)パ芯?，最起碼要反思自己的教學有沒有做到，而這一反思又是建立在對“三原則”有所理解的基礎(chǔ)上的，事實證明，如果僅限于字面的理解而忽略了與實際教學的結(jié)合，那這樣的理解是不能稱之為真正的理解的.

關(guān)鍵詞：三原則；啟示

G·波利亞是著名數(shù)學家，其教育思想對中國數(shù)學教育有著相當廣泛的影響，筆者日前在閱讀其有關(guān)數(shù)學教學的論述中，汲取了其關(guān)于學習三原則的論述，感覺對實際教學有著很大的啟發(fā)作用，這三條原則分別如下：第一，要注重學生的學習過程；第二，要強調(diào)數(shù)學學習中的猜想與發(fā)現(xiàn)；第三，學習者要了解學習的方法與途徑. 粗看起來，這些觀點與當下課程改革的一些觀點有一致的地方，但從另一個角度來看，當一位著名的數(shù)學教育家都提出這樣樸素的教學觀點時，就值得我們?nèi)パ芯苛? 最起碼的要反思自己的教學有沒有做到這三點，而這一反思又是建立在對這三個原則有所理解的基礎(chǔ)上的，事實證明，如果僅限于字面的理解而忽略了與實際教學的結(jié)合，那這樣的理解是不能稱之為真正的理解的. 因此，筆者在對這三個原則進行仔細揣摩的基礎(chǔ)上，將其與自己的教學實踐、與觀摩過的優(yōu)秀同行的教學課例、與對未來數(shù)學教學的一些暢想聯(lián)系在一起，形成了一個相對系統(tǒng)的理解.本文將這一理解呈現(xiàn)出來，以期與高中數(shù)學教學同行交流.

■原則一：要注重學生的學習過程

傳統(tǒng)的數(shù)學教學是不太關(guān)注學生的學習過程的，到新DIHE37vLq9nlaAnI0ykWBQ==課程改革之后，關(guān)注學生的學習過程更多地也只是一種理念，在實際教學中并沒有得到真正的落實. 這其中有兩個原因：一方面是由于高考的壓力，教師教學的重點還是落在培養(yǎng)學生的解題能力上，大題量的訓練仍然是高中數(shù)學教學的主線；另一方面，由于教師能力方面的原因，即使想去關(guān)注學生的學習過程，也不知道從哪里關(guān)注，應(yīng)當如何關(guān)注 .因此，波利亞這一學習原則背后還有許多值得我們琢磨和研究的地方.

以筆者觀摩到的一節(jié)數(shù)學課為例，教師講解的是“拋物線弦的性質(zhì)”復習課這一內(nèi)容. 這一內(nèi)容是高二年級學生的學習內(nèi)容，教學過程基本經(jīng)歷了這樣一些環(huán)節(jié)：首先，教師向?qū)W生呈現(xiàn)了一個問題：某直線l與給定的拋物線y2=2px（p>0）相交于A，B兩點. 如果直線經(jīng)過定點M（t，0），試證明：OA·OB為定值.

當這一問題呈現(xiàn)出來之后，相當一部分學生都感覺到有困難，于是教師讓學生進行合作學習，而教師則仔細觀察學生的思路. 后來在課后評課時，這位教師說到在參與學生的討論中發(fā)現(xiàn)了學生的思路在哪兒出了問題，于是調(diào)整了當時的教學思路，將原來設(shè)計好的講授法傳授學生的解題思路改變成了追溯這道習題的來源. 事實也確實如此，因為他呈現(xiàn)出的教學設(shè)計與當時的課堂是不一樣的，課堂上我們看到的是這樣的教學環(huán)節(jié).

教師：大家都覺得這道題目有困難，是因為沒有發(fā)現(xiàn)這道習題的本來面目.事實上這道習題與我們以前做過的一道題目是一脈同源的. 大家還能想出是哪一道題目嗎？

學生此時自然是想不到的，于是教師呈現(xiàn)了一道題目：某直線l：y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點，求OA·OB的值.

這是一道學生比較熟悉的簡單的題目，課堂上學生一下子就反映出來了本題的解題思路，可當教師引導學生去發(fā)現(xiàn)這一習題與上面呈現(xiàn)的習題之間的關(guān)系時，學生還是表現(xiàn)出了一定的困難，于是教師進一步進行了引導.

教師：本題中OA·OB的值最后的表達形式是什么？（強調(diào)不是答案的結(jié)果）

學生反映出表達形式，然后教師引導學生發(fā)現(xiàn)這一形式與變量無關(guān)，因此應(yīng)當是一個定值.在學生理解的基礎(chǔ)上，教師又將原題進行了改編：某直線l：y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點，試證明OA·OB為一定值.

這一改編學生非常熟悉，基本能看出與原來那一題是一致的，于是教師對學生進行引導.

教師：大家認為這兩道題實際上沒有改變，但大家想一想，如果我直接呈現(xiàn)改編后的問題，你還能發(fā)現(xiàn)其與我們前面做過的習題是一致的嗎？

這一提問可謂戳到了學生的痛處，因為這正是學生學習中忽視的地方：學習反思. 而教師也注意到了這一點，于是即時在課堂上呈現(xiàn)出了坐標系上直線與拋物線相交的情況，由于直線的斜率是不固定的，因此畫面也就是動態(tài)的，這一下子吸引了學生的注意力.隨后，教師又引導學生回到最初提出的那個問題上：這個問題與我們后來呈現(xiàn)問題的不同點在哪兒？（“不同點”三個字加強了語氣）這一不同會導致什么新問題的出現(xiàn)？在這兩個問題的驅(qū)動之下，學生終于發(fā)現(xiàn)OA·OB的結(jié)果為t2-2pt，而其中的t與p均為常數(shù)，因此結(jié)果為定值.

縱觀這一教學過程，評課教師一致認為教師當時及時調(diào)整課堂教學的勇氣可嘉，因為這樣的調(diào)整是建立在對學生的學習過程進行了觀察和把握的基礎(chǔ)上的，是建立在判斷出學生的學習出現(xiàn)了困難的基礎(chǔ)上的，而調(diào)整后的教學又及時兼顧了學生的學習情況，既注意到了學生知識發(fā)生的過程，又注意到了學生的認知發(fā)展過程. 而授課教師也強調(diào)了他的調(diào)整依據(jù)之一，就是及時把握住了學生的問題所在，知道應(yīng)當通過“重現(xiàn)舊知識來鞏固新知識”的思路來幫學生完成學習. 因此，在筆者看來，這一教學過程是注重學生學習過程的重要體現(xiàn)，因此也成為一節(jié)經(jīng)典課例被筆者記住.

■原則二：要強調(diào)數(shù)學學習中的猜想與發(fā)現(xiàn)

在高中數(shù)學學習的過程中，有一個重要特征需要得到我們的高度重視，那就是學生已經(jīng)具有相當?shù)臄?shù)學基礎(chǔ)，而面對具有一定難度的高中學習內(nèi)容時，是應(yīng)當讓學生充分發(fā)揮猜想和發(fā)現(xiàn)的，因為這樣可以更好地提高學生的數(shù)學學習能力.

事實上，在上面所舉的例子中還有一個教學細節(jié)值得強調(diào)，那就是教師在呈現(xiàn)了第二個例子，讓學生比較其與最初的例題的不同點之后，還設(shè)計了一個教學環(huán)節(jié)：讓學生自主探究，讓學生去設(shè)計問題. 表面上看這是一個設(shè)計過程，實質(zhì)上卻是學生在原有理解的基礎(chǔ)上，對問題進行猜想與發(fā)現(xiàn)的過程.這一過程在課堂上持續(xù)了不少于五分鐘，學生經(jīng)歷了最初的熱烈討論之后，不同小組紛紛提出了有意思的問題，當時筆者記下了其中的兩個問題：（1）設(shè)直線l與某拋物線y2=2px（p>0）相交于A，B兩點，如果直線經(jīng)過定點M（2，0），試證明：OA·OB為定值；（2）設(shè)直線l與某拋物線y2=2px（p>0）相交于A，B兩點，如果直線經(jīng)過定點M（2，0），試判斷OA·OB是不是定值.

這兩個問題看似與原問題差不多，可只要仔細觀察，就會發(fā)現(xiàn)學生此時的想法是不一樣的：前一個學生給定了橫軸上的某個點，這是對原來第二個例子的順應(yīng)，同時又是對最初例題的同化；而后一個學生則是給出一個疑問，而疑問與直接證明的結(jié)論還是有差異的.那實質(zhì)一樣的兩個問題，這個學生為什么會用疑問的形式呢？由于筆者觀摩時剛好坐在這個學生身邊，課后跟其交流才知道其曾在一個類似的疑問情境中犯過錯誤，因此印象深刻，才以疑問的形式呈現(xiàn)出了問題.

通過這兩個學生自己設(shè)計的問題可以發(fā)現(xiàn)，學生在由舊知轉(zhuǎn)向新知的過程中，只有讓其大膽地猜想與發(fā)現(xiàn)，才能激發(fā)他們心中原有的認識，從而也才能將新舊知識牢固地聯(lián)結(jié)起來.

后來，筆者在自己的課堂上也用了類似的題材. 當筆者讓學生從簡單的實例出發(fā)，去猜想或發(fā)現(xiàn)本題材還可以設(shè)計出什么問題時，學生的反應(yīng)也比較熱烈. 學生提出了這樣的一些問題：在平面直角坐標系中，如果某直線l與拋物線y2=2x相交于A，B兩點，且直線過點M（4，0），則OA·OB=8是真命題；寫出這一命題的逆命題，并判斷它是真命題還是假命題，闡述理由.

事實證明，在高中數(shù)學課堂上幫學生鋪墊好知識基礎(chǔ)和認知基礎(chǔ)，然后讓學生去大膽猜想與發(fā)現(xiàn)，學生可以發(fā)現(xiàn)很多有意思的問題. 而這些問題由于來自于學生的發(fā)散性思維，因此也客觀上培養(yǎng)了學生的思維能力. 同時，這些問題還可以成為高中數(shù)學原創(chuàng)題的一部分，價值非凡.

■原則三：學習者要了解學習的方法與途徑

波利亞的這一學習原則提醒高中數(shù)學教師要將筆者上文提到的“學習反思”納入數(shù)學課堂. 因為只有讓學生通過對自身學習的反思，學生才能尋找到了解自身實際需要的學習方法與途徑. 高中學生已經(jīng)具有一定的學習反思能力，因此在高中數(shù)學課堂上，學習反思應(yīng)當成為常態(tài).

在上例的課堂教學中，筆者就進行了嘗試. 筆者給學生一個任務(wù)：結(jié)合本節(jié)課學習的三個環(huán)節(jié)——陌生例題的出現(xiàn)、熟悉例題的復習、自己的猜想與發(fā)現(xiàn)以及聯(lián)系過程，反思一下怎樣才能更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)學舊知與新知的關(guān)系.

這一任務(wù)對學生而言是有些陌生的，但這并不妨礙學生的思考. 后來有學生說：其實我們只要分析一下，就會發(fā)現(xiàn)這些問題都是圍繞直線與拋物線關(guān)系命題的，因此關(guān)鍵在于理解同一平面直角坐標系上直線與拋物線的關(guān)系，且當直線經(jīng)過某確定點時是其中一個特殊情況就行了. 也有學生提出：如果過于籠統(tǒng)地談直線與拋物線的關(guān)系，那范圍就太廣了，就本題而言，還是把兩者的關(guān)系通過x軸一個固定點確定下來才好.

這樣的反思過程，其實就是一個總結(jié)的過程，學生在總結(jié)過程中不僅獲得了對數(shù)學知識的認識，也獲得了對如何學習的認識.

綜上所述，G·波利亞學習三原則對高中數(shù)學教學的指導意義是十分強的.在筆者看來，第一個原則是另外兩個原則的基礎(chǔ)（因此筆者也著墨最多），在教師的教學設(shè)計中只有對學生的學習過程有了足夠的預(yù)設(shè)，才能在實際教學中游刃有余. 而學生的猜想與發(fā)現(xiàn)，學生對學習方法及途徑的了解才會得到落實. 當然，筆者也深深感覺到這三個描述樸素的原則背后還有相當豐富的思想，這需要在以后的教學中更多地反思才能發(fā)現(xiàn).