黃良春

關(guān)于“x=3是什么”（等式，方程，方程的解？）的爭(zhēng)論，一直在各個(gè)階段的數(shù)學(xué)教師中以不同的方式持續(xù)著.從目前爭(zhēng)論的情況看，對(duì)“x=3是等式”的結(jié)論似乎已達(dá)成了共識(shí).但結(jié)論“x=3是方程”與“x=3是方程的解”又各有各的道理.“x=3是方程”依據(jù)的是“含有未知數(shù)的等式，稱為方程”這一定義；而對(duì)于“x=3是方程的解”的說(shuō)法，因?yàn)榫椭T如x-3=0這樣的方程，“x=3是它們的解”，各種教材、教師示范也都在作類(lèi)似的表述，沒(méi)有人給予過(guò)任何的懷疑.

不過(guò)，無(wú)論如何，有一點(diǎn)是肯定的：“方程”與“方程的解”雖有聯(lián)系，但畢竟是兩個(gè)不同的概念，x=3不可能既是方程，又是方程的解.之所以作出是方程的判斷，那是因?yàn)槲覀儼褁=3看成了含未知數(shù)的等式，而作出是方程的解的判斷，是因?yàn)閤=3讓我們知道未知數(shù)x的值是3.同樣，判斷x=3是等式則是因?yàn)槲覀冋J(rèn)為字母x與數(shù)值3具有相等關(guān)系.所以，對(duì)同一個(gè)問(wèn)題，不同的視角會(huì)產(chǎn)生不同的判斷.

筆者認(rèn)為，要回答“x=3是什么”的問(wèn)題，不能簡(jiǎn)單地依據(jù)某一定義或某種書(shū)面表述或某種習(xí)慣行為來(lái)進(jìn)行——而這恰恰是引起爭(zhēng)論的誘因，關(guān)鍵是要弄清“=”的作用或意義.

一個(gè)概念的內(nèi)涵往往是豐富的、多重的，但其所要表達(dá)的真正涵義一定蘊(yùn)含于其特定的情境之中，而不在于我們彼此的視角.對(duì)“=”的理解同樣如此.筆者以為，在目前的實(shí)際應(yīng)用中，“=”主要有以下四個(gè)方面的意義表達(dá)：

1表示相等的邏輯關(guān)系

據(jù)數(shù)學(xué)史料記載，“=”起源于1557年出版的《礪智石》[1]一書(shū).作者——英國(guó)數(shù)學(xué)家、牛津大學(xué)教授雷科德在書(shū)中有這樣一段描述：“為避免多次繁瑣重復(fù)使用‘等于這個(gè)詞，在日常工作中，我規(guī)定用一對(duì)平行線段或幾對(duì)來(lái)表達(dá)‘等于，因?yàn)闆](méi)有兩件東西能比兩根平行線更相等了.”[2]“=”以及同時(shí)期出現(xiàn)的其它表示相等關(guān)系的符號(hào)，它們都是隨著代數(shù)（方程）的發(fā)展而逐步產(chǎn)生的，表達(dá)著“相等”（be equal to）的基本含義，意即“=”兩邊具有相等關(guān)系.其基本前提是“=”的兩邊同時(shí)存在.“=”在方程中的應(yīng)用是相等關(guān)系最初、最基本的符號(hào)表達(dá).除此之外，數(shù)學(xué)中其它的相等關(guān)系基本上都用“=”表達(dá).

例如，比較5+3與8、14與4×3+2的大小，所得5+3=8、14=4×3+2中的“=”均表示相等關(guān)系.

如平方差公式（a2-b2=（a+b）（a-b））等諸多數(shù)學(xué)公式中的“=”亦表示相（恒）等關(guān)系.

對(duì)于方程2x-6=0求解過(guò)程中的2x=6和x=3，“=”所表示的相等關(guān)系的含義并沒(méi)有因?yàn)榈仁叫问降牟煌兴淖?，它們所具有的“方程”（含有未知?shù)的等式）的基本要件（含有未知數(shù)，等式）也沒(méi)有因形式的簡(jiǎn)化而有任何的缺失.所以，在方程2x-6=0的解答過(guò)程中，x=3并沒(méi)有改變其方程的屬性.

值得注意的是，在相等的關(guān)系之下，因?yàn)椤?”的連接，使得“=”的兩邊（2x-6，0）與等號(hào)共同構(gòu)成了一個(gè)相等關(guān)系的整體，缺少了等號(hào)兩邊的任何一方，相等關(guān)系就不復(fù)存在.

2表示運(yùn)算的進(jìn)程

盡管“=”的產(chǎn)生源于等式、方程式表達(dá)的簡(jiǎn)便之需，但隨著其應(yīng)用的廣泛，人們對(duì)于“=”的認(rèn)識(shí)基本上是從數(shù)的運(yùn)算的學(xué)習(xí)開(kāi)始的.比如，①計(jì)算：5+3②分解因式：x2-1，其解答表述一般為①5+3=8②由平方差公式，得x2-1=（x+1）（x-1）.在這里，“=”將運(yùn)算的前后數(shù)、式連接起來(lái)，表示邏輯運(yùn)算的進(jìn)程，“表達(dá)著‘……得（得到）……的含義，與推導(dǎo)符號(hào)有一定的相似性，指引著相關(guān)規(guī)則下數(shù)學(xué)對(duì)象運(yùn)算的遞推過(guò)程及結(jié)果”[3].

再如：（1）計(jì)算14÷3

解之，得14÷3=4……2

（2）計(jì)算：（x+1）（x-1）

解之，得（x+1）（x-1）=x2-x+x-1=x2-1.

以上兩題解答過(guò)程中的“=”皆表示運(yùn)算遞推過(guò)程及結(jié)果，并不表示“=”兩邊相等的關(guān)系.因?yàn)椤?”的右邊是“=”左邊運(yùn)算后的所得，兩邊數(shù)或式并不同時(shí)存在.況且，沒(méi)有意義賦予而獨(dú)立存在的4……2無(wú)法與14÷3建立起相等關(guān)系.

3表示一種賦值

在日常數(shù)學(xué)問(wèn)題的呈現(xiàn)過(guò)程中，“=”除了表示相等的邏輯關(guān)系、運(yùn)算的進(jìn)程之外，還廣泛應(yīng)用于對(duì)未知變量賦值的表示.

如：（1）求整式4y2-（x2+y）+（x2-4y2）的值，其中x=-28，y=18；（2）四條線段a，b，c，d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，求線段a的長(zhǎng).兩題中五個(gè)用“=”連接起來(lái)的式子，實(shí)則是給未知數(shù)賦予了一個(gè)確定的值，如果將它們理解成相等的關(guān)系，顯然沒(méi)有什么實(shí)際意義，且與題意不符.此處的“x=-28”實(shí)際意義應(yīng)理解為“x的值是-28”.

4表示“等于”的替代符號(hào)

在人們?nèi)粘５脑捳Z(yǔ)體系中，“等于”一詞屬常用詞匯.商務(wù)印書(shū)館2014年1月出版的《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》對(duì)“等于”作了如下解釋：①某數(shù)量跟另一數(shù)量相等.如，三加二等于五；②差不多就是，跟……沒(méi)有區(qū)別.如，不識(shí)字就等于睜眼瞎子.這里，①所指為數(shù)學(xué)中的相等關(guān)系，其數(shù)學(xué)符號(hào)表示“3+2=5”（三加二的值與五相等）亦為大家所熟悉.此處，以“=”代替“等于”在數(shù)學(xué)中已極為普遍.②為人們一般的語(yǔ)言表達(dá)，所反映出的并非數(shù)學(xué)問(wèn)題，但在表述時(shí)亦常以“=”代替“等于”.類(lèi)似“不識(shí)字=睜眼瞎子”、“教師成長(zhǎng)=經(jīng)驗(yàn)+反思”、“全面發(fā)展=全科發(fā)展”，等等，這些只是根據(jù)數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)潔、形象、直觀的特點(diǎn)，用數(shù)學(xué)的形式來(lái)表達(dá)所反映的內(nèi)容，反映出事物具有某種相同或相關(guān)的屬性.對(duì)此，基本上不會(huì)有人把它們理解成數(shù)學(xué)中的等式或數(shù)量關(guān)系.

綜上，要回答x=3是什么，必須要了解它所在的現(xiàn)實(shí)情境.脫離于具體的情境進(jìn)行判斷，無(wú)論結(jié)果是等式，是方程，是方程的解，還是其它，都是片面的，不科學(xué)的.

在此，筆者就x=3與方程2x-6=0的關(guān)系提出自己的觀點(diǎn).

如上所述，解方程時(shí)，對(duì)2x-6=0進(jìn)行同解變形，最后得出的x=3仍為方程.因?yàn)?，同解變形沒(méi)有改變方程兩邊“相等”的關(guān)系，亦即“=”在解方程的過(guò)程中“相等”關(guān)系的含義沒(méi)有改變.

但各類(lèi)教材及相關(guān)資料在解答方程之后，都會(huì)出現(xiàn)“x=3是方程2x-6=0的解”的表述，由此，引起了“x=3是方程還是方程的解”（“方程的解”的表述，必須就某一特定方程而言才有意義，僅表述為“x=3是方程的解”沒(méi)有意義）的爭(zhēng)論.

首先可以肯定的是，此時(shí)（x=3是方程2x-6=0的解）的x=3中的“=”顯然不表示計(jì)算的進(jìn)程與結(jié)果，也不表示給字母賦值，因?yàn)樽帜竫的值不是賦予的，而是通過(guò)運(yùn)算得到的.當(dāng)然也不能表示為相等關(guān)系，即x=3不能視為方程.因?yàn)楦鶕?jù)“使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解”的概念，方程2x-6=0的解是3，而不是表示相等關(guān)系的表達(dá)式x=3.因此，這里的x=3應(yīng)理解為“x等于3”或“x的值是3”等語(yǔ)句的數(shù)學(xué)化形式.也只有如此，如方程x2=25的解表示成x=±5或x1=5、x2=-5才有意義.

參考文獻(xiàn)

[1][2][3]徐文龍.語(yǔ)言視角下的等號(hào)教學(xué)思考[J].教育教學(xué)論壇，2012（3）82-83.endprint