印冬建

近期，我市舉行了中考模擬考試，筆者參與了試卷的批閱工作.批閱時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，一些同學(xué)因解題習(xí)慣差導(dǎo)致了大量失分，這讓筆者十分痛心.為此，認(rèn)真梳理了試卷中的“無謂失誤”，并找出了與之對(duì)應(yīng)的解題范例.在試卷講評(píng)課上，對(duì)“無謂失誤”精準(zhǔn)點(diǎn)評(píng)的同時(shí)，還將這些規(guī)范的解題過程呈現(xiàn)，供學(xué)生觀摩欣賞，彰顯范例的“正向”示范作用.本文就結(jié)合筆者講評(píng)中呈現(xiàn)的部分案例來談?wù)剬W(xué)生應(yīng)具備的五種良好解題習(xí)慣.

1審題標(biāo)記，實(shí)現(xiàn)文圖呼應(yīng)

試題解答的第一關(guān)就是審題，它是學(xué)生解題的起點(diǎn)，也是成功解題的關(guān)鍵.初中數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，決定了試題應(yīng)具備學(xué)段特色和數(shù)學(xué)特色，一些試題除了有文字說明外，還配有與之對(duì)應(yīng)的圖形.因此，在初中階段的數(shù)學(xué)考試中，審題絕不是簡(jiǎn)單地讀題，在讀的同時(shí)，我們應(yīng)將文字信息中的關(guān)鍵詞進(jìn)行標(biāo)記（標(biāo)著重號(hào)或畫線），同時(shí)，還應(yīng)將文字信息在圖形中對(duì)應(yīng)標(biāo)注，實(shí)現(xiàn)文圖呼應(yīng)，為分析和獲取解題思路等做好基礎(chǔ)性工作.

案例1如圖1，點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，且OP=5，PA=4，則sin∠APO等于（）.

A.45B.35C.43D.34

審題后如圖1（說明：學(xué)生標(biāo)注見圖2），點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，且OP=5，PA=4，則sin∠APO等于（）.

A.45B.35C.43D.34

案例分析這道試題條件并不多，一幅圖，一段文字.這樣的簡(jiǎn)單文圖組合，讓試題的解答看似十分簡(jiǎn)單.然而，如果不將題目中的文字信息和圖形信息對(duì)應(yīng)標(biāo)注，這道試題的解答很可能會(huì)出現(xiàn)失誤.事實(shí)也正如筆者所言，一些同學(xué)審題時(shí)，不僅文字中未做任何標(biāo)記，連圖形上也未進(jìn)行標(biāo)注，這樣的解題習(xí)慣下選錯(cuò)答案并不意外.筆者呈現(xiàn)的這則范例中，學(xué)生審題后，將題中的幾個(gè)關(guān)鍵信息“相切”（即題中的“切”）、“正弦”（sin）、“∠APO”等進(jìn)行了標(biāo)記，將“相切”通過“連接OA”和“標(biāo)記直角”在圖2中體現(xiàn)，將“OP=5，PA=4”在圖中的相應(yīng)線段旁進(jìn)行了標(biāo)注，將“∠APO”用“弧”在圖中標(biāo)注.這樣的文圖呼應(yīng)，讓試題條件和結(jié)論變得非常清晰，線段AO旁標(biāo)注的“？”說明學(xué)生已經(jīng)深刻領(lǐng)會(huì)了題意，并已經(jīng)找到了正確的解題思路，問題很快得到化解！

2適時(shí)梳理，修正解題思路

在模擬考試和中考中，中等以上難度的試題散布在試卷的不同題型之中，這些試題常有“欲解不能，放手不甘”的感覺，解答中不可避免遇到一些“挫折”.面對(duì)此類的試題，當(dāng)“解題不能”時(shí)，應(yīng)及時(shí)梳理題中的條件和結(jié)論，反思解題思路分析中的得與失，發(fā)現(xiàn)被遺漏的條件并努力挖掘出隱含條件.這樣的梳理，可以彌補(bǔ)“解題不能”狀態(tài)下思路分析的“缺陷”，及時(shí)修正解題思路，從而找出正確的解法.

案例2試卷講評(píng)課片斷

如圖3，在直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=mx與雙曲線y=nx相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（b，-2），矩形OCDE的邊CD恰好被點(diǎn)B平分，邊DE交雙曲線于F點(diǎn)，四邊形OBDF的面積為2.求m，n的值.

教師：解答這道試題的關(guān)鍵是什么？

學(xué)生1：將“四邊形OBDF的面積”轉(zhuǎn)化為含有n的方程.

教師：怎么轉(zhuǎn)化？

學(xué)生2：連接OD.根據(jù)“邊CD恰好被點(diǎn)B平分”可得S△BOC=S△BOD=12n，根據(jù)矩形的對(duì)稱性可得S△DOC=S△EOD=n，△EOF是“建構(gòu)在雙曲線和坐標(biāo)軸上的直角三角形”，它的面積也是12n，所以，S四邊形OBDF=n=2.

教師：非常棒，根據(jù)你的思路，接下來我們就可以順利地求出m，n的值了！還有其他得到方程的方法嗎？

學(xué)生陳述不同的方法，10分鐘后，方法交流結(jié)束.

教師（看著學(xué)生3）：老師發(fā)現(xiàn)你的解題過程有一些改動(dòng)，解題時(shí)是不是走了一些“彎路”呀？能把你解答這道試題的經(jīng)驗(yàn)與大家分享一下嗎？

學(xué)生3：好吧！根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的意義，我先將點(diǎn)B的坐標(biāo)（b，-2）代入到y(tǒng)=nx中，得到-2=nb，整理得b=-12n，這樣，我就用含有n的式子表示出了點(diǎn)B的坐標(biāo)（-12n，-2）.接下來，根據(jù)“頂點(diǎn)建構(gòu)在坐標(biāo)軸和雙曲線上的直角三角形”面積求法，我用含有n的式子表示出了△BOC的面積為-12n.再往下，我有一種直覺，四邊形OBDF的面積是△BOC的面積的2倍，但是我說不出理由.

教師：那你接下來是怎么做的呢？

學(xué)生3：我再讀了一下題目.

教師：有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生3：剛才解題時(shí)，有個(gè)條件沒看到.

教師：哪個(gè)條件？

學(xué)生：“CD恰好被點(diǎn)B平分”！這讓我想到了“三角形的中線將三角形分割為兩個(gè)面積相等的三角形”.所以，在連接OD后，得到了S△BOD=S△BOC=

-12n.此時(shí)，思路一下子就打開了.

教師：你還有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生3：△DOC和△DOE的面積相等，都是-n.我還發(fā)現(xiàn)了△EOF也是“頂點(diǎn)建構(gòu)在坐標(biāo)軸和雙曲線上的直角三角形”，其面積也是-12n.到這兒，我發(fā)現(xiàn)△BOC的面積實(shí)際上與題目中所給的點(diǎn)B的坐標(biāo)并沒太大關(guān)系，所以，我刪去了最初的解題過程，給出了和學(xué)生2差不多的解題過程！

教師：很好，你給我們大家做出了很好的示范！當(dāng)我們解題遇到“障礙”時(shí)，就要和學(xué)生3一樣，不要恐慌，重新梳理一下題目，細(xì)讀文字，剖析圖形，在“文圖呼應(yīng)”中找尋遺漏條件和隱含條件.充分利用這些條件，及時(shí)修正思路，正確的解法很快就能發(fā)現(xiàn)！

案例分析初次解題時(shí)，由于忽略“邊CD恰好被點(diǎn)B平分”這一條件，讓學(xué)生3的求解遇到了“障礙”，雖然寫出了一些看似正確的過程，但始終無法求解.當(dāng)他再度審題后，發(fā)現(xiàn)了這個(gè)條件，并且將它與已有知識(shí)“三角形的中線將三角形分割為兩個(gè)面積相等的三角形”聯(lián)系起來，找到了解題的輔助線.這樣一來，“思路一下子就打開了”，隱含條件“△EOF是頂點(diǎn)建構(gòu)在坐標(biāo)軸和雙曲線上的直角三角形”很快“浮出水面”，解題分析被拉回到“正道”.案例中，學(xué)生3經(jīng)歷了“遭遇困境—再度審題—脫困得解”的過程.事實(shí)上，每一名學(xué)生都有過這樣的經(jīng)歷，然而能在“磨難”中形成良好的解題習(xí)慣的人卻很少.基于此，在日常教學(xué)中，筆者經(jīng)常會(huì)象案例2中這樣，從學(xué)生的解題中挖掘出正反兩面的教學(xué)資源，通過學(xué)生求解歷程的自主陳述，在全班范圍內(nèi)分享解題的經(jīng)驗(yàn)，突出“適時(shí)梳理”在問題解決中的作用，讓這一解題行為成為學(xué)生的自覺習(xí)慣，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.endprint

3窮盡結(jié)論，力求踩點(diǎn)掙分

基于試題必須有一定區(qū)分度這一客觀現(xiàn)實(shí)，與中考試題一樣，模擬考試試題中也會(huì)存在一些用以控制滿分的難題.因此，要求學(xué)生解答這些試題時(shí)，一定要有“寬容心”，允許自己出現(xiàn)無法求解的情形.作為考試，多掙分是考試的目標(biāo).試題解答時(shí)，當(dāng)確實(shí)無法給出正確解題過程時(shí)，我們應(yīng)盡可能多地將由條件可以得出的結(jié)論寫出來，生成一些可能在“得分點(diǎn)”上的步驟，多少挽回一點(diǎn)“損失”.

案例3在分析下面這道試題時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)一些同學(xué)只給出了“零星”步驟，也得到了一些分?jǐn)?shù).

如圖4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分別以AB，CD為邊向外側(cè)作等邊三角形ABE和等邊三角形CDF，連接AF，DE.

（1）求證：AF=DE；（2）略.

命題者給出的第（1）題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下：

證明：∵在梯形ABCD中，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA（1分），∵△ABE和△DCF是等邊三角形，∴AB=AE，DC=DF，∠BAE=∠CDF=60°，∴AE=DF（2分），∠EAB+∠BAD=∠FDC+∠CDA，即∠EAD=∠FDA（3分），∵AD=DA，∴△AED≌△DFA，∴AF=DE（4分）.

學(xué)生1只寫了一步：∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA.根據(jù)“評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)”，閱卷老師給了1分.

學(xué)生2在給出學(xué)生1的過程的基礎(chǔ)上，還增加了下面的步驟：

∵△ABE和△DCF是等邊三角形，

∴AB=AE=BE=DC=DF=CF，∠BAE=∠ABE=∠AEB=∠CDF=∠CFD=∠DCF=60°.

學(xué)生2給出的解題過程，得到2分.

案例分析汽車組裝車間，工人們將各種汽車零件緊密地整合在一起，就完成了一輛汽車的組裝.數(shù)學(xué)解題與此類似，學(xué)生將不同的數(shù)學(xué)知識(shí)“鏈接”成一個(gè)整體，就形成了完整的解題過程.然而，無法回避的是，有時(shí)我們真不能將題中的所有知識(shí)“鏈接”起來.此時(shí)我們應(yīng)告訴學(xué)生，不要灰心，出售汽車零件，同樣可以實(shí)現(xiàn)其市場(chǎng)價(jià)值.數(shù)學(xué)解題亦然，數(shù)學(xué)知識(shí)也可以單獨(dú)“銷售獲利”的.案例中的學(xué)生1，利用“等腰梯形同一底上兩個(gè)底角相等”得出了“∠BAD=∠CDA”，拿到1分；學(xué)生2，不僅給出了學(xué)生1的過程，他還根據(jù)“等邊三角形的三條邊相等，三個(gè)角相等”得出了另外兩組結(jié)論，順利拿到2分.學(xué)生1、2緊扣題中的條件，生成的這些結(jié)論恰好都在本題的“得分點(diǎn)”上，閱卷老師的評(píng)判恰到好處地呈現(xiàn)出了這些考點(diǎn)的“價(jià)值”.因此，我們要鼓勵(lì)學(xué)生在“解題無果”的情況下，將解題的中間過程盡可能多地呈現(xiàn)出來，以求踩在“得分點(diǎn)”上，實(shí)現(xiàn)所獲知識(shí)的解題價(jià)值，拿到該拿的分?jǐn)?shù).

4重建圖形，剔除干擾信息

數(shù)學(xué)考試中，綜合問題一直都是學(xué)生解題的難點(diǎn).這些試題一般包括題干和問題兩部分，具有很強(qiáng)的綜合性，信息量大，不僅包含豐富的文字信息，還有復(fù)雜的圖形信息.試題一般會(huì)給出的兩到三個(gè)問題，問題之間用并列或遞進(jìn)的方式銜接，存在著某種內(nèi)在的聯(lián)系.一般地，上一問題的順利解決可能會(huì)為下一問題的求解提供一些有用的條件或共性的方法.因此，在試題解答時(shí)，不僅要從原題中捕捉有用的解題信息，還應(yīng)從已經(jīng)化解的數(shù)學(xué)問題中挖掘可用的條件或結(jié)論，將題目中與問題解決無關(guān)的條件剔除，簡(jiǎn)化問題情境，建構(gòu)有效圖形，讓思路的分析和過程的書寫不繞“彎子”、“干凈利落”.

案例4如圖5所示，直線l：y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B.把△AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C，拋物線過點(diǎn)B，C和D（3，0）.

（1）求直線BD和拋物線的解析式.

（2）若BD與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)N，B，D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似，求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).

（3）略.

在試卷講評(píng)時(shí)，一學(xué)生陳述了自己解答第（2）題的過程：

根據(jù)第（1）題得出的解析式和“BD與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M”，求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1）.然后，在草稿紙上作出草圖，如圖6.利用這幅“簡(jiǎn)圖”，結(jié)合點(diǎn)M，C，D的坐標(biāo)，我發(fā)現(xiàn)，△MCD是一個(gè)等腰直角三角形.根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，我在坐標(biāo)軸上找到了三個(gè)符合要求的點(diǎn)N.在得出正確的解題思路后，回到答卷，我將符合要求的三個(gè)N點(diǎn)標(biāo)注到答題紙的圖上（即圖5），并給出了完整的解題過程.

案例分析在數(shù)學(xué)考試中，復(fù)雜的問題情境，會(huì)成為很多學(xué)生解題的“障礙”.因此，為了讓學(xué)生形成自主跨越“障礙”的能力，筆者將“重建圖形”作為學(xué)生簡(jiǎn)化問題情境的“抓手”，通過日常教學(xué)的不斷強(qiáng)化，促進(jìn)學(xué)生形成解題應(yīng)用的“慣性”.案例中，學(xué)生將與解決問題（2）無關(guān)的拋物線、拋物線的對(duì)稱軸、直線AB等圖形信息“剔除”，留下解題必備的“點(diǎn)B，D”和“△MCD”，形成圖6.在無關(guān)信息被刪除后，新圖變得非常簡(jiǎn)單，對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題十分有利.接下來，學(xué)生充分利用△MCD的特征，在新圖中“找出了符合要求的三個(gè)點(diǎn)N”，并給出了完整的解題過程.這樣的解題行為值得稱贊，然而要想讓學(xué)生能在考試中自覺生成這一行為，教師就必須通過解題教學(xué)對(duì)學(xué)生進(jìn)行長(zhǎng)期訓(xùn)練，訓(xùn)練方式很多，案例4中的求解過程的自主陳述是最常見的一種，通過分享“重建圖形”解題成功經(jīng)驗(yàn)，彰顯出“重建圖形”的解題價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生“重建圖形”應(yīng)用意識(shí)的形成，培養(yǎng)全體學(xué)生的良好解題習(xí)慣.

5規(guī)范書寫，追求有序呈現(xiàn)

答卷是學(xué)生與閱卷老師之間對(duì)話的唯一“工具”，它是學(xué)生展示自己知識(shí)技能的“舞臺(tái)”，也是老師了解學(xué)生學(xué)習(xí)狀況的“平臺(tái)”.近幾年，網(wǎng)上閱卷成為了中考閱卷的主要方式.在這樣的閱卷方式下，考生想要順利完成師生之間的“對(duì)話”，呈現(xiàn)自己在初中階段的學(xué)習(xí)收獲，答卷的規(guī)范與工整顯得特別重要.因此，模擬考試試卷講評(píng)課上，應(yīng)將“規(guī)范書寫，有序呈現(xiàn)”作為一種解題習(xí)慣加以培養(yǎng)，要讓學(xué)生知曉，“答卷，如同作畫，要‘謀篇布局”，在工工整整呈現(xiàn)解題過程的前提下，應(yīng)力求解答過程的有序呈現(xiàn)，“自左往右，從上往下”書寫，決不能象畫“作戰(zhàn)圖”一樣將解題過程在答卷上隨意“調(diào)動(dòng)”.endprint

案例5在案例4中，呈現(xiàn)的綜合題是這次模擬考試的壓軸題，題目難度較大，解題步驟很多.試卷講評(píng)課上，筆者選擇了學(xué)生解題中的部分范例進(jìn)行了點(diǎn)評(píng)，進(jìn)一步強(qiáng)化“規(guī)范書寫，有序呈現(xiàn)”解題習(xí)慣的養(yǎng)成.現(xiàn)呈現(xiàn)一則范例的交流片斷如下.

投影：一位同學(xué)的解題過程.

教師：請(qǐng)說說你是怎么解第（1）題的？

學(xué)生1：根據(jù)直線解析式y(tǒng)=3x+3，可以得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為（0，3），（-1，0），由于點(diǎn)C是把△AOB沿y軸翻折得到的，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）.接下來用待定系數(shù)法分別求出“直線BD和拋物線的解析式”.

教師：不錯(cuò)，你說出了第（1）題的解法.說說在答題紙上，你是如何呈現(xiàn)解題過程的.

學(xué)生2：我先用鉛筆將答題區(qū)域“自上而下”分割成寬度差不多的三塊.然后，按照“自左往右，從上往下”的順序書寫解題過程.

教師：這么呈現(xiàn)解題過程，有什么好處呢？

學(xué)生3：答題區(qū)域的劃分，讓答題在限制的區(qū)域內(nèi)，給人以條理清晰的感覺.

學(xué)生4：“自左往右，從上往下”書寫解題過程，我們平時(shí)就是這么做的.這樣呈現(xiàn)的解題過程，不僅寫得方便，而且檢查起來也很方便.我估計(jì)，這樣寫，閱卷老師看起來一定很舒服！

教師：很不錯(cuò)，這樣的“有序呈現(xiàn)”不僅便于檢查，更為老師閱卷提供了方便.在他的解題過程中，還有什么值得我們學(xué)習(xí)的呢？

學(xué)生5：解題結(jié)論的呈現(xiàn)很清晰，“拋物線的解析式為y=（x-3）（x-1），即y=x2-4x+3”是對(duì)前面解題過程的總結(jié)，即時(shí)呈現(xiàn)解題結(jié)論是很好的習(xí)慣，值得學(xué)習(xí)！

學(xué)生6：解題的過程很簡(jiǎn)潔，寫出的幾乎都是本題的關(guān)鍵步驟，失分很少.我覺得，答題時(shí)，應(yīng)寫出解題的關(guān)鍵點(diǎn)，不在關(guān)鍵點(diǎn)上的步驟少寫，甚至可以不寫.這樣一來，自己寫得輕松，老師批閱也舒服，減少了無謂失分！

……

在學(xué)生發(fā)表自己的見解后，筆者表?yè)P(yáng)了這位同學(xué)的“規(guī)范書寫，有序呈現(xiàn)”的良好解習(xí)慣，對(duì)書寫中的一些細(xì)節(jié)，如“自左往右，從上往下”、寫關(guān)鍵步驟等進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)，要求全班同學(xué)能在考試中反復(fù)演練，保證中考時(shí)能“自動(dòng)化”應(yīng)用，同學(xué)們對(duì)此深表贊同.

案例分析規(guī)范書寫解題過程，不僅節(jié)省了答題時(shí)間，減少了答題失誤，還讓閱卷老師看著舒心，批閱省心.案例顯示，解題前，學(xué)生1對(duì)答題區(qū)域進(jìn)行了合理“分割”，初步“圈定”了解題過程的書寫范圍.接下來，學(xué)生1按照“自左往右，從上往下”的順序書寫解題過程，呈現(xiàn)出的解題過程整齊有序，得到了很多同學(xué)的贊賞.此外，學(xué)生1給出的解題步驟直指“要害”，呈現(xiàn)出的都是解題的關(guān)鍵步驟，清晰明了地呈現(xiàn)出了命題者期待的每一個(gè)考點(diǎn)，無關(guān)步驟的“缺失”，節(jié)約了答題的空間，同時(shí)還為學(xué)生爭(zhēng)取到了寶貴的答題時(shí)間.顯然，解題范例的展示交流，喚醒了學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生體會(huì)到良好解題習(xí)慣對(duì)數(shù)學(xué)問題解決巨大作用的同時(shí)，進(jìn)一步強(qiáng)化了“規(guī)范書寫，有序呈現(xiàn)”的解題行為向解題習(xí)慣的轉(zhuǎn)化，將學(xué)生分析問題和解決問題的能力又提升了一個(gè)檔次！

解題習(xí)慣內(nèi)涵十分豐富，不僅包括閱讀審題的習(xí)慣，還包括思路分析、過程書寫等方面的習(xí)慣，它是學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的重要組成部分.良好的解題習(xí)慣，是學(xué)生有效解決數(shù)學(xué)問題的保障，是有效規(guī)避解題風(fēng)險(xiǎn)的“抓手”.任何一種良好習(xí)慣的形成，都非朝夕之功，需要我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中借助一切可用的教學(xué)契機(jī)強(qiáng)化培養(yǎng)，讓學(xué)生知道怎么做，是習(xí)慣培養(yǎng)的第一步，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)好的解題經(jīng)驗(yàn)和解題行為的反復(fù)應(yīng)用，是習(xí)慣養(yǎng)成的關(guān)鍵.“正向”示范，榜樣引領(lǐng)，是習(xí)慣養(yǎng)成的“推進(jìn)劑”.在數(shù)學(xué)課上，我們應(yīng)為學(xué)生樹立解題的“榜樣”，讓他們?cè)谟^察交流中，感知到良好解題習(xí)慣的價(jià)值，逐步形成習(xí)慣養(yǎng)成的自覺意識(shí)，提高問題解決的成效.

以上所述，僅是筆者的一點(diǎn)個(gè)人感悟，不足之處，敬請(qǐng)批評(píng)指正！endprint