王 輝，林德福，王延?xùn)|

（1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100081；2.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機械與物理研究所，長春130033）

隨著現(xiàn)代戰(zhàn)爭形式的變化及精確制導(dǎo)技術(shù)的快速發(fā)展，在實現(xiàn)對敵方地面高價值目標(biāo)精確攻擊的同時，對末端攻擊角度也提出了約束，如對裝甲目標(biāo)的掠頂攻擊、對敵方艦船的掠海－俯沖攻擊、航路點規(guī)劃等。同時，很多戰(zhàn)斗部的毀傷效能也與制導(dǎo)精度及末端攻擊角度密切相關(guān)，從頂部以近似垂直的角度進(jìn)行攻擊可以達(dá)到更大的毀傷效果［1－2］。

傳統(tǒng)上，人們基于線性化的制導(dǎo)模型已經(jīng)提出了僅帶落點約束、同時帶落點和落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律［2－4］。在彈目視線角為小角度假設(shè)下，可以將上述制導(dǎo)律簡化成導(dǎo)彈加速度指令與彈目相對速度、彈目視線角、彈目視線角速度以及導(dǎo)彈剩余飛行時間的表達(dá)式，其中，彈目視線角速度為核心物理量，可以由平臺或動力陀螺導(dǎo)引頭直接測得［2－5］。簡化后的制導(dǎo)律表達(dá)形式簡單，易于工程實現(xiàn)。比例導(dǎo)引即為帶落點約束的最優(yōu)制導(dǎo)律的工程簡化形式，在此基礎(chǔ)上發(fā)展了若干衍生形式，如增強型比例導(dǎo)引、積分比例導(dǎo)引、近似積分比例導(dǎo)引等［6－9］。而習(xí)慣上，一般將帶落點和落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律簡稱為落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律。落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律是近幾年的研究熱點之一，相關(guān)的研究成果較多，如文獻(xiàn)［1－5，10－13］等。

本文僅研究對地攻擊的擴展落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律制導(dǎo)精度的一般性規(guī)律，根據(jù)文獻(xiàn)［2－6，10－13］的描述，制導(dǎo)精度分別用脫靶量和落角誤差表示。

1 擴展的落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律

傳統(tǒng)的對固定目標(biāo)最優(yōu)的落角約束制導(dǎo)律表達(dá)式為［2］

式中：vr為彈目相對速度；ac為導(dǎo)彈加速度指令；q，分別為彈目視線角和角速度；qf為彈道終端期望落角；tgo＝tf－t，為剩余飛行時間，tf為制導(dǎo)時間。

根據(jù)文獻(xiàn)［1］的研究成果，在利用最優(yōu)控制理論推導(dǎo)制導(dǎo)律時，將控制權(quán)函數(shù)由1擴展為1／（n≥0），則引入?yún)?shù)n后的擴展落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律表達(dá)式為

比較式（1）、式（2）可以看出，二者的導(dǎo)航系數(shù)之比由4∶2擴展為2（n＋2）∶（n＋1）（n＋2）。

為了表述方便，文中將擴展的落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律簡寫成EOGLIAC（extended optimal guidance law with impact angle constraint）。

2 導(dǎo)引頭量測誤差及制導(dǎo)動力學(xué)

2.1 制導(dǎo)動力學(xué)

對一個具有實際意義的制導(dǎo)系統(tǒng)，制導(dǎo)動力學(xué)是必須要考慮的內(nèi)容，這其中包括導(dǎo)引頭動力學(xué)、制導(dǎo)濾波器、駕駛儀動力學(xué)等。這些動力學(xué)既可能是高階的，也可能是低階的，這取決于建模的準(zhǔn)確性及系統(tǒng)的需求。如對常規(guī)的兩框平臺導(dǎo)引頭，用二階或三階環(huán)節(jié)來描述是合適的；對過載駕駛儀，工程上常用的是經(jīng)典兩回路、三回路駕駛儀或其變型，用二階或三階環(huán)節(jié)來描述也是合適的。上述導(dǎo)引頭和駕駛儀模型都沒有考慮慣性測量器件、濾波器、舵機等硬件動力學(xué)，一旦引入額外的硬件動力學(xué)，其階數(shù)可能達(dá)到10階、11階。

在做制導(dǎo)系統(tǒng)精度分析時，若直接引入高階的導(dǎo)引頭和駕駛儀動力學(xué)模型，由于可變參數(shù)較多，很難得出通用性的結(jié)論。因此，為了便于理論研究、簡化分析過程，通常將導(dǎo)引頭和駕駛儀動力學(xué)簡化成一階或二階環(huán)節(jié)來研究［2－8，10－13］。

2.2 導(dǎo)引頭量測誤差

導(dǎo)引頭量測誤差包括確定性誤差和不確定性誤差兩類。對EOGLIAC制導(dǎo)系統(tǒng)，導(dǎo)引頭不確定性量測誤差主要是指視線角速率誤差和視線角誤差Δq以及初始方向誤差（本文暫不考慮）；不確定性誤差主要是指導(dǎo)引頭量測噪聲，本文僅考慮導(dǎo)引頭探測器角噪聲，相關(guān)模型可參考文獻(xiàn)［2，5－6］，此處不再贅述。

3 導(dǎo)引頭量測誤差輸入下的EOGLIAC制導(dǎo)系統(tǒng)

3.1 EOGLIAC制導(dǎo)系統(tǒng)模型的建立

根據(jù)式（2），引入導(dǎo)引頭零位誤差、探測器角噪聲的EOGLIAC制導(dǎo)系統(tǒng)如圖1所示。圖中，Δq分別為導(dǎo)引頭彈目視線角速率零位誤差、彈目視線角零位誤差；ua表示輸入的探測器角噪聲；K2a為對應(yīng)的噪聲功率譜密度，單位為rad2／（rad／s）；θ為彈道傾角；y′miss，θmiss分別為脫靶量和落角誤差；s為拉普拉斯算子；Th，Ta和Tg分別表示導(dǎo)引頭、駕駛儀和制導(dǎo)系統(tǒng)時間常數(shù)，其中，Tg＝Th＋Ta。

在對地攻擊時，EOGLIAC又可表示成：

由式（3）可以看出，彈道傾角θ追蹤彈目視線角q，在彈道末端θ（tf）與qf近似相等［12－13］，其中，tf為彈道的終端時刻。同時，導(dǎo)彈最終攻擊目標(biāo)時的有效角度是終端彈道傾角而非彈目視線角，彈道傾角比彈目視線角更具工程意義。因此，落角誤差可根據(jù)θ（tf）－qf來計算［5，12］。

導(dǎo)引頭和駕駛儀均為一階環(huán)節(jié)，分別為1／（Ths＋1），1／（Tas＋1）。假設(shè)導(dǎo)引頭和駕駛儀總滯后時間常數(shù)為Tg，改變導(dǎo)引頭和駕駛儀動力學(xué)時間常數(shù)在總滯后時間常數(shù)中的權(quán)重，即可研究導(dǎo)引頭和駕駛儀動力學(xué)的快速性比值對脫靶量的影響。表1給出了總滯后時間常數(shù)為Tg，Th／Ta分別為1／5，1／2，1，2，5時的動力學(xué)分配情況。

圖1 3種誤差輸入下的落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律制導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

表1 導(dǎo)引頭和駕駛儀動力學(xué)不同選取狀態(tài)

3.2 無量綱的EOGLIAC 伴隨系統(tǒng)

定義無量綱時間＝t／Tg，則＝s／Tg，＝tf／Tg－，其中，tf／Tg表示無量綱末導(dǎo)時間。經(jīng)過無量綱和伴隨模型變換，得到圖2、圖3所示的無量綱脫靶量和無量綱落角誤差伴隨模型。圖中，k1＝分別表示彈目視線角及角速率零位誤差、探測器角噪聲引起的無量綱脫靶量；ymiss｜Δq，ymiss｜Δ，σmiss｜a為常規(guī)脫靶量；相應(yīng)地｜Δq｜Δ，｜a為無量綱落角誤差；θmiss｜Δq，θmiss｜Δ，σθmiss｜a為常規(guī)落角誤差。圖2、圖3中的（）2表示對當(dāng)前信號進(jìn)行平方示對當(dāng)前信號取平方根。

圖2 脫靶量伴隨系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

由圖2、圖3的結(jié)果可以看出，彈目視線角零位誤差引起的脫靶量與vr，Δq，Tg成正比，落角誤差與Δq成正比；彈目視線角速率零位誤差引起的脫靶量與vr，，T2g成正比，落角誤差與，Tg成正比；探測器噪聲引起的脫靶量與Ka，vr，成正比；落角誤差與Ka成正比，與成反比。

圖3 落角誤差伴隨系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

由上面的分析可知，無量綱化前制導(dǎo)系統(tǒng)的可變參數(shù)有n，vr，Δq，，，Th，Ta，tf等8個，無量綱化后只有n，Th／Ta，tf／Tg等3個，因此，通過無量綱化有效地減少了可變參數(shù)，為后續(xù)脫靶量和落角誤差的研究創(chuàng)造了方便。

4 EOGLIAC制導(dǎo)系統(tǒng)無量綱脫靶量和落角誤差分析

根據(jù)制導(dǎo)系統(tǒng)的常規(guī)模型（圖1）及無量綱伴隨模型（圖2、圖3），對上述導(dǎo)引頭量測誤差作用下的位置和落角誤差進(jìn)行研究。在下面的仿真結(jié)果中，圖的縱軸為各誤差對應(yīng)的無量綱脫靶量和落角誤差，虛－實線表示伴隨模型結(jié)果，離散圓點表示常規(guī)模型結(jié)果。

4.1 導(dǎo)引頭視線角零位誤差引起的無量綱脫靶量和落角誤差分析

Δq作用下的無量綱脫靶量和落角誤差如圖4、圖5所示。在圖4（a）、圖5（a）中，Th／Ta取為2；在圖4（b）、圖4（c）及圖5（b）、圖5（c）中，Th／Ta的取值規(guī)律如表1所示。

由仿真結(jié)果可以看出：對不同的指數(shù)n及不同的導(dǎo)引頭和駕駛儀權(quán)狀態(tài)，當(dāng)tf／Tg≈15時，Δq引起的無量綱脫靶量收斂到零附近，無量綱落角誤差收斂到－1附近；隨著指數(shù)n的增大及導(dǎo)引頭動力學(xué)時間常數(shù)的增加，無量綱脫靶量和落角誤差振蕩趨勢加劇，峰值加大；與駕駛儀動力學(xué)相比，增加導(dǎo)引頭的快速性能更有效地減少Δq對制導(dǎo)精度的影響。

下面對落角誤差收斂到－1進(jìn)行分析。由式（2）可知，落角約束項為（q－qf）／tgo，彈目視線角q追蹤終端約束角qf；當(dāng)彈目視線角有零位誤差Δq時，落角約束項實際變?yōu)椋踧－（qf－Δq）］／tgo，彈目視線角q實際追蹤的是qf－Δq。若末導(dǎo)時間足夠長，在彈道末端，θf＝qf－Δq，則無量綱落角誤差為（θfqf）／Δq＝－Δq／Δq＝－1，即上述仿真結(jié)果與理論分析是一致的。

4.2 導(dǎo)引頭視線角速率零位誤差引起的無量綱脫靶量和落角誤差分析

圖4 導(dǎo)引頭視線角零位誤差引起的無量綱脫靶量

圖5 導(dǎo)引頭視線角零位誤差引起的無量綱落角誤差

圖6 導(dǎo)引頭視線角速率零位誤差引起的無量綱脫靶量

圖7 導(dǎo)引頭視線角速率零位誤差引起的無量綱落角誤差

4.3 探測器噪聲引起的無量綱脫靶量和落角誤差分析

圖8 、圖9分別給出了探測器角噪聲作用下的無量綱脫靶量和落角誤差隨tf／Tg和指數(shù)n（n∈［－0.5，1］）的變化曲線。由此可以看出：探測器角噪聲引起的無量綱脫靶量和落角誤差并不隨tf／Tg的增大而趨向于零；當(dāng)tf大于Tg的10倍時，脫靶量和落角誤差達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，且隨著指數(shù)n的增大，該穩(wěn)態(tài)值顯著增大。圖8（b）、8（c），圖9（b）、9（c）的仿真結(jié)果表明，在Tg一定及脫靶量和落角誤差達(dá)到穩(wěn)態(tài)值（tf／Tg＝15）的情況下，隨著導(dǎo)引頭和駕駛儀時間常數(shù)比值的變化，當(dāng)導(dǎo)引頭與駕駛儀響應(yīng)速度一致時，系統(tǒng)無量綱脫靶量和落角誤差均達(dá)到最大值。由于探測器噪聲引起的脫靶量與T1／2g成正比，落角誤差與T1／2g成反比，因此，在制導(dǎo)系統(tǒng)滯后時間常數(shù)一定的情況下，為了盡量降低探測器角噪聲對制導(dǎo)精度的影響，指數(shù)n不應(yīng)選得過大［2，6］。

圖8 導(dǎo)引頭探測器噪聲引起的無量綱脫靶量

圖9 導(dǎo)引頭探測器噪聲引起的無量綱落角誤差

4.4 指數(shù)n的工程選取

根據(jù)式（2）中導(dǎo)航系數(shù)與參數(shù)n的關(guān)系式可知，指數(shù)n與導(dǎo)航系數(shù)一一對應(yīng)，因此確定了指數(shù)n，也就確定了導(dǎo)航系數(shù)。指數(shù)n大時有利于消除導(dǎo)引頭視線角速率零位誤差引起的脫靶量，也能加快制導(dǎo)系統(tǒng)響應(yīng)；但大的n會放大探測器角噪聲引起的制導(dǎo)誤差，也會使導(dǎo)引頭視線角零位誤差、落角約束、初始方向誤差等引起的制導(dǎo)誤差振蕩加劇，收斂時間變長，同時在彈道初始段也容易造成過載飽和［6］。因此，制導(dǎo)系統(tǒng)工程師應(yīng)根據(jù)導(dǎo)彈過載能力、各種誤差引起的制導(dǎo)誤差與總體技術(shù)指標(biāo)間的關(guān)系，綜合確定n的取值范圍。

若以比例導(dǎo)引的導(dǎo)航系數(shù)N的最大取值6為上界，以傳統(tǒng)的落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律的位置項導(dǎo)航系數(shù)4為下界，則可確定擴展的落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律的位置項導(dǎo)航系數(shù)的取值范圍，進(jìn)而可確定指數(shù)n的取值范圍。根據(jù)2（n＋2）∈［4，6］，則指數(shù)n可取在0～1之間。

5 結(jié)論

本文以擴展的落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律為研究對象，針對地面固定目標(biāo)，分別研究導(dǎo)引頭視線角速率零位誤差、視線角零位誤差和探測器角噪聲對制導(dǎo)精度的影響。研究結(jié)果表明：

①當(dāng)末導(dǎo)時間達(dá)到制導(dǎo)系統(tǒng)滯后時間常數(shù)的15倍左右時，可以消除導(dǎo)引頭視線角零位誤差對脫靶量的影響。此時，導(dǎo)引頭視線角零位誤差引起的落角誤差收斂到穩(wěn)態(tài)值－1。

②大的指數(shù)n有利于消除導(dǎo)引頭視線角速率零位誤差對脫靶量和落角誤差的影響。

③在導(dǎo)引頭視線角速率和視線角零位誤差作用下，提高導(dǎo)引頭的響應(yīng)比提高駕駛儀的響應(yīng)更有利于降低制導(dǎo)誤差。

④探測器角噪聲引起的制導(dǎo)誤差并不隨著末導(dǎo)時間的增大而趨向于零，而是隨著末導(dǎo)時間的增大收斂到穩(wěn)態(tài)值，且指數(shù)n越大，穩(wěn)態(tài)制導(dǎo)誤差越大。因此，為了盡量降低探測器角噪聲對制導(dǎo)精度的影響，指數(shù)n不應(yīng)選得過大。

⑤參考比例導(dǎo)引及傳統(tǒng)的落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律有效導(dǎo)航比的選擇范圍，建議指數(shù)n選在在0～1之間。

本文的研究方法同樣適用于復(fù)雜的制導(dǎo)動力學(xué)模型，同時，文中的研究僅針對地面固定目標(biāo)。若研究空中機動目標(biāo)，需將目標(biāo)機動補償項引入到制導(dǎo)律中。

［1］OHLMEYER E J，PHILLIPS C A.Generalized vector explicit guidance［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2006，29（2）：261－268.

［2］ZARCHAN P.Tactical and strategic missile guidance，5th edition［M］.Virginia：AIAA Inc，2007：31－50，541－569.

［3］常超，林德福，祁載康，等.帶落點和落角約束的最優(yōu)末制導(dǎo)律研究［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報，2009，29（3）：233－239.CHANG Chao，LIN De－fu，QI Zai－kang，et al.Study on the optimal terminal guidance law with interception and impact angle［J］.Journal of Beijing Institute of Technology，2009，29（3）：233－239.（in Chinese）

［4］WANG H，LIN D F，CHENG Z X.Time－to－go weighted optimal trajectory shaping guidance law［J］.Journal of Beijing Institute of Technology，2011，20（3）：317－323.

［5］劉大衛(wèi)，夏群利，崔瑩瑩，等.具有終端位置和角度約束的廣義落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報，2011，31（12）：1 408－1 413.LIU Da－wei，XIA Qun－li，CUI Ying－ying，et al.Generalized trajectory shaping guidance law with both impact position and angle constrains［J］.Journal of Beijing Institute of Technology，2011，31（12）：1 408－1 413.（in Chinese）

［6］GARNELL P.Guided weapon control systems［M］.Beijing：Beijing Institute of Technology Press，2003：297－364.

［7］王輝，林德福，祁載康，等.時變最優(yōu)的增強型比例導(dǎo)引及其脫靶量解析研究［J］.紅外與激光工程，2013，42（3）：692－698.WANG Hui，LIN De－fu，QI Zai－kang，et al.Study of time－varying optimal augmented proportional navigation and miss distance closed－form solutions［J］.Infrared and Laser Engineering，2013，42（3）：692－698.（in Chinese）

［8］張宏，夏群力，祁載康，等.基于目標(biāo)機動補償?shù)脑鰪娦捅壤龑?dǎo)引性能研究［J］.紅外與激光工程，2007，36（1）：82－87.ZHANG Hong，XIA Qu－li，QI Zai－kang，et al.Augmented proportional navigation with maneuvering target compensation［J］.Infrared and Laser Engineering，2007，36（1）：82－87.（in Chinese）

［9］PRASANNA H M，GHOSE D.Retro proportional navigation：a new guidance law for interception of high speed targets［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2012，35（2）：377－386.

［10］BEN－ASHER J Z，YAESH I.Optimal guidance with reduced sensitivity to time－to－go estimation errors［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1997，20（1）：158－163.

［11］BEN－ASHER J Z，YAESH I.Advances in missile guidance theory［M］.Virginia：AIAA Inc.，1998：25－88.

［12］RYOO C K，CHO H，TAHK M J.Optimal guidance laws with terminal impact angle constraint［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2005，28（4）：724－732.

［13］RYOO C K，CHO H，TAHK M J.Closed－form solutions of optimal guidance with terminal impact angle constraint［C］／／Proceeding of IEEE International Conference on Control Application.Istanbul，Turkey：IEEE，2003：504－509.