張 凱，姚宇峰，劉 紫，張智鵬

(北京林業(yè)大學，北京 100083)

復(fù)擺［1］是指一剛體在重力作用下繞一水平軸做微小擺動的運動動力體系。通過復(fù)擺實驗可以測量重力加速度［2-4］、物體的轉(zhuǎn)動慣量［3，5-10］以及驗證平行軸定理［11］等。如針對重力加速度的測量，代偉［2］提出了兩種復(fù)擺模型，但是并未將兩種模型利用一套裝置來實現(xiàn)，裝置利用率較低。另外針對物體的轉(zhuǎn)動慣量測量，徐軍華等［10］利用復(fù)擺法測定了剛體的轉(zhuǎn)動慣量并驗證了平行軸定理。

以上所提及的復(fù)擺［2，10］主要是采用光電法來完成復(fù)擺的實驗研究。鑒于編碼器精度高以及簡化實驗裝置的目的，采用編碼器和單片機來完成復(fù)擺實驗研究［12-13］。該實驗裝置能采用多種方式完成重力加速度和物體轉(zhuǎn)動慣量的測量，并能驗證平行軸定理。

1 實驗裝置的設(shè)計

采用光電法進行復(fù)擺實驗研究需要測角儀、光電門以及計時器等儀器，實驗裝置較為復(fù)雜。如圖1所示，采用編碼器和單片機組合的實驗裝置則省去了這些儀器。實驗過程中，通過蜂鳴器進行提醒，起到限制復(fù)擺起擺角度的作用，同時利用單片機實現(xiàn)對擺動周期的測量。

2 實驗研究

2.1 利用方案一測量重力加速度與轉(zhuǎn)動慣量

如圖1所示，將復(fù)擺擺桿的每個小孔依次懸掛在編碼器軸上，以小于5°的起擺角度進行小擺幅擺動，測量每次擺動的多個周期，最后取平均值并記錄。如圖2所示，為復(fù)擺周期T與轉(zhuǎn)軸位置h之間的關(guān)系圖，其中h為轉(zhuǎn)軸與擺桿質(zhì)心的距離，T為對應(yīng)的擺動周期。

圖1 復(fù)擺結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 周期T與回轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心距離h曲線圖

如圖2所示，取最低兩點對應(yīng)的橫坐標絕對值為回轉(zhuǎn)半徑R，所對應(yīng)的縱坐標值為最小擺動周期Tmin。由上述測量數(shù)據(jù)，再根據(jù)公式(1)即可得到重力加速度的數(shù)值［3］。

根據(jù)回轉(zhuǎn)半徑的定義即公式(2)，易得通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量 Ic［3］。

由圖2，可得擺桿的回轉(zhuǎn)半徑R=16 cm=0.16 m，對應(yīng)的最小周期 Tmin=1.14 s。通過式(1)計算得g=9.72 m/s2，可知擺桿質(zhì)量m0=123.86 g，則擺桿轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量Ic=3.171×10－3kg/m2。

2.2 利用最小二乘法測量重力加速度和通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量

令 y=T2h，x=h2，通過測量可得n組(x，y)，在Matlab中利用最小二乘法擬合出直線y=A+Bx，如圖3所示，其中截距 A為R2，斜率 B為 。

通過實驗可得，斜率B=4.115 5，截距A=0.106 9。再由 A=R2和B=，可得重力加速度 g=9.60 m/s2，回轉(zhuǎn)半徑 R=0.161 2 m。最后由公式(2)可得通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為Ic=3.219 kg/m2。

2.3 利用方案三測量重力加速度

圖3 利用最小二乘法的h2-T2的擬合直線

圖4 利用方案三測量重力加速度示意圖

圖5 利用擺錘測量重力加速度示意圖

如圖4所示，分別將與擺中心相距h1和h2的孔懸掛在編碼器軸上，使得h2=2h1，并測量出它們的周期 T1、T2，帶入公式(3)可求得重力加速度［2］。

取 h1=12 cm，h2=24 cm，對應(yīng)的周期T1=0.1678 s，T2=0.3419 s。由公式(3)得 g=9.798 m/s2。

2.4 利用擺錘測量重力加速度

如圖5所示，測出復(fù)擺正掛與倒掛時相等的周期值T和l，就可算出當?shù)氐闹亓铀俣戎怠?/p>

式中:l為二刀刃間的距離。在適當調(diào)節(jié)擺錘A、B的位置之后，可使T1=T2，令此時的周期值為T，O1O2間的距離即為l。

通過實驗，可得 T1=T2=1.166 s，l=34 cm，再由式(4)可得 g=9.8 m/s2。

2.5 測量擺桿與物體(配重)的轉(zhuǎn)動慣量

如圖6所示，為測量轉(zhuǎn)動慣量示意圖。當復(fù)擺繞固定軸O轉(zhuǎn)動，則復(fù)擺的轉(zhuǎn)動慣量為I0，它滿足公式(5)［5］

式中:質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離為 h0，對應(yīng)的周期為T0。

設(shè)待測物體的質(zhì)量為mx，回轉(zhuǎn)半徑為R，則繞自身質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為Ix0=mxR2，繞O轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量為 Ix，則有［5］

當待測物體與復(fù)擺質(zhì)心重合，即x=0時，讓待測物體繞 O 轉(zhuǎn)動，由［5］，則有

式中:M=m0+mx

測出周期T，利用公式(6)、(7)，可求得待測物體的轉(zhuǎn)動慣量Ix和Ix0。

取 h0=24 cm，T=1.194 s，由式(5)得復(fù)擺的繞固定軸為O轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量為:I0=1.073×10－2kg·m2;由式(7)可得物體繞O轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量Ix=5.776 ×10－4kg·m2;再由式(6)可得Ix0=1.308 × 10－4kg·m2。

圖6 測量轉(zhuǎn)動慣量示意圖

2.6 驗證平行軸定理

令 h1=0.02 m，根據(jù)［11］

其中:y=T2h － T21h1，x=h2－ h21。

可知若y與x的線性相關(guān)系數(shù)為r≈1，則可驗證平行軸定理。

根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，在Matlab中利用最小二乘法得到如圖7所示的y與x的擬合直線，并求得相關(guān)系數(shù)r=0.999 5。故平行軸定理得到驗證。

圖7 利用最小二乘法的y-x的擬合直線

3 結(jié) 論

(1)基于編碼器對擺動周期進行測量，精度高，誤差小;將普通復(fù)擺的多孔擺桿與配重結(jié)合起來，完成了多個實驗的計算及驗證，結(jié)構(gòu)設(shè)計巧妙經(jīng)濟。

(2)通過多種方法較準確地測量出了當?shù)氐闹亓铀俣龋瑪[桿和配重的轉(zhuǎn)動慣量，也較好地驗證了平行軸定理。

(3)存在誤差原因有復(fù)擺的加工精度不足;單片機測量數(shù)據(jù)的精度不足;人為誤差等。

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