向文明，沈 鋼

（同濟(jì)大學(xué)鐵道與城市軌道交通研究院，上海201804）

在鋼軌打磨測(cè)量中需要了解打磨前后的軌頂打磨區(qū)域的打磨量，常采用手持式儀器對(duì)打磨前的鋼軌廓形進(jìn)行一次測(cè)量，然后再對(duì)打磨后的同一處鋼軌廓形進(jìn)行第二次測(cè)量，對(duì)比兩次測(cè)量結(jié)果則能獲得打磨的情況。由于儀器定位面在鋼軌的下顎面上，雖然沒(méi)有被打磨過(guò)，但由于鋼軌表面生銹和定位精度問(wèn)題會(huì)給磨耗量測(cè)量結(jié)果帶來(lái)一定偏差。目前的接觸式鋼軌輪廓測(cè)量?jī)x器相應(yīng)的數(shù)值處理軟件中沒(méi)有相關(guān)功能以實(shí)現(xiàn)偏差的糾正，為此我們需要研究相關(guān)方法糾正這種偏差。

圖1 鋼軌廓型Fig.1 Rail profile

如圖1（a）所示為先后兩次的鋼軌全斷面測(cè)量結(jié)果。（注：文中所有插圖的坐標(biāo)單位和表格的數(shù)值單位均為：mm）。如果將前后測(cè)得的鋼軌輪廓曲線(xiàn)在非磨耗區(qū)域擬合對(duì)齊即能矯正測(cè)量?jī)x器的定位偏差。為此，截取第一次測(cè)量的鋼軌廓型曲線(xiàn)的左側(cè)下部曲線(xiàn)（圖1（b）中的實(shí)線(xiàn)I）；又截取第二次測(cè)量的左下側(cè)下部曲線(xiàn)（圖1（b）中的虛線(xiàn)II）。截取的實(shí)曲線(xiàn)I和虛曲線(xiàn)II為鋼軌的非磨耗區(qū)段。如果能將圖1（b）中的虛曲線(xiàn)II擬合回歸到實(shí)曲線(xiàn)I中，然后再通過(guò)計(jì)算就可獲得打磨量的準(zhǔn)確值。本文提出一種能實(shí)現(xiàn)上述的曲線(xiàn)擬合回歸過(guò)程的方法。

1 曲線(xiàn)偏離度量函數(shù)

為將II曲線(xiàn)擬合回歸到I曲線(xiàn)中，只需將II曲線(xiàn)相對(duì)坐標(biāo)軸作一定的橫移、縱移及相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換。因而可以說(shuō)兩曲線(xiàn)偏離度量函數(shù)F是關(guān)于坐標(biāo)軸橫移量X，縱移量Y及相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)量alpha3 個(gè)自變量的函數(shù)。在兩曲線(xiàn)有偏離的情況下F(X,Y,alpha)是大于0 的，當(dāng)兩曲線(xiàn)實(shí)現(xiàn)較好擬合時(shí)，F(xiàn)(X,Y,alpha)是接近于0的極小正數(shù)。理想條件下，兩曲線(xiàn)能完全擬合則F(X,Y,alpha)等于0。找到合適的一組(X,Y,alpha)使得F(X,Y,alpha)接近于0即實(shí)現(xiàn)了曲線(xiàn)II較好的擬合回歸到曲線(xiàn)I。為了便于利用計(jì)算機(jī)快捷、方便地實(shí)現(xiàn)曲線(xiàn)擬合回歸，F(xiàn)(X,Y,alpha)的計(jì)算應(yīng)便于編程實(shí)現(xiàn)?？紤]到曲線(xiàn)是由有限個(gè)離散點(diǎn)組成的，本文提出一種利用曲線(xiàn)上的離散點(diǎn)之間的距離來(lái)衡量曲線(xiàn)偏差程度的方法。

曲線(xiàn)偏離度量函數(shù)F(X,Y,alpha)的算法：

假設(shè)曲線(xiàn)I 由m個(gè)離散點(diǎn)構(gòu)成，曲線(xiàn)II 由n個(gè)離散點(diǎn)構(gòu)成。用下述算法計(jì)算的返回值作為目標(biāo)函數(shù)F(X,Y,alpha)的函數(shù)值。

1）對(duì)II曲線(xiàn)上的K=1，2，3，…，n個(gè)點(diǎn)做：

尋找I曲線(xiàn)上與第K點(diǎn)距離最近的Pk點(diǎn)和次最近點(diǎn)Qk點(diǎn)。由K點(diǎn)，Pk點(diǎn)和Qk點(diǎn)三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形。如果ΔKPkQk中∠PkKQk≤90°，則dk=‖KPk‖否則dk等于ΔKPkQk底邊KPk上的高Hk。

2）曲線(xiàn)偏離程度F(X,Y,alpha)=()/n。

F(X,Y,alpha)值可以近似理解為II曲線(xiàn)上的所有點(diǎn)距離I曲線(xiàn)的平均間隙。舉例說(shuō)明：如圖2，假設(shè)曲線(xiàn)II由a，b，c三點(diǎn)組成，曲線(xiàn)I由A，B，C，D四點(diǎn)組成。

圖2 舉例Fig.2 Example

圖2所示狀態(tài)下，與a點(diǎn)距離最近的兩點(diǎn)分別為A，B；與b點(diǎn)距離最近的兩點(diǎn)分別為B，C；與c點(diǎn)距離最近的兩點(diǎn)分別為C，D；又∠AaB＞90°，∠BbC＞90°，∠CcD＜90°故按算法，圖示曲線(xiàn)II與曲線(xiàn)I的偏離度可表達(dá)為F(X,Y,alpha)=(Ha+Hb+‖Cc‖)/3。

2 偏差矯正優(yōu)化算法

上述的曲線(xiàn)擬合問(wèn)題歸結(jié)于尋找一組最佳(X,Y,alpha)值使得兩曲線(xiàn)偏離F(X,Y,alpha)最小，該問(wèn)題為無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題。無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題有解析法和直接法兩類(lèi)求解方法。解析法需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)甚至二階導(dǎo)數(shù)，但有些無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)，其表達(dá)式比較復(fù)雜難以表達(dá)或者難以用明顯的解析式表示出來(lái)，因而其導(dǎo)數(shù)很難求解或者無(wú)法得到，以致影響程序的編譯。直接法只涉及目標(biāo)函數(shù)值的計(jì)算不需要求解函數(shù)目標(biāo)的導(dǎo)數(shù)，盡管可能因此影響到算法的效果，但選擇得當(dāng)，可以滿(mǎn)足精度要求，同時(shí)因?yàn)榫幾g方便，工程實(shí)際采用廣泛。根據(jù)本文中問(wèn)題的特點(diǎn)，決定采用模式搜索法進(jìn)行求解。

圖3 定位偏差矯正程序框圖Fig.3 Positioning deviation correction program chart

2.1 模式搜索的基本思想

模式搜索法又名Hooke—jeeves 方法，于1961年提出。算法從初始基點(diǎn)開(kāi)始交替實(shí)施兩種搜索：軸向搜索和模式搜索。軸向搜索依次沿著n個(gè)坐標(biāo)軸方向進(jìn)行來(lái)，確定新的基點(diǎn)和有利于函數(shù)值下降的方向。模式搜索則沿著相鄰兩個(gè)基點(diǎn)的連線(xiàn)方向進(jìn)行，試圖使函數(shù)值下降得更快。

2.2 模式搜索算法

下述的ej=(0,···0,1,0,···,0)T,j=1,2,···,n，表示n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的搜索方向。

1）給定初始點(diǎn)x1∈Rn，初始步長(zhǎng)δ，加速因子ω≥1，縮減率β∈(0,1)，精度ε＞0。令y1=x1，k=1，j=1。

2）軸向搜索：如果f(yj+δej)＜f(yj) ，則令yj+1=yj+δej，轉(zhuǎn)（3）；如 果f(yj-δej)＜f(yj) ，則 令yj+1=yj-δej，轉(zhuǎn)（3）；否則令yj+1=yj。

3）若j＜n，則令j:=j+1，轉(zhuǎn)（2）。如果f(yn+1)＜f(xk)，轉(zhuǎn)（4）；否則，轉(zhuǎn)（5）。

4）模式搜索：令xk+1=yn+1，y1=xk+1+ω(xk+1-xk)。令k:=k+1，j=1，轉(zhuǎn)（2）。

5）如果δ≤ε，停止，得到點(diǎn)x(k)；否則，令δ:=βδ，y1=xk，xk+1=xk。令k:=k+1，j=1，轉(zhuǎn)（2）。

2.3 基于模式搜索法的定位偏差矯正程序設(shè)計(jì)

模式搜索法是一種對(duì)初始解依賴(lài)度較高的優(yōu)化算法，初始解選擇不當(dāng)可能會(huì)導(dǎo)致算法不能收斂于最優(yōu)解。為避免上述問(wèn)題，定位偏差矯正程序設(shè)計(jì)成多次調(diào)用模式搜索算法進(jìn)行優(yōu)化。某次優(yōu)化結(jié)果不理想的情況下將以該次優(yōu)化的結(jié)果作為下次優(yōu)化的初值再次用模式搜索法優(yōu)化，直到優(yōu)化結(jié)果滿(mǎn)足設(shè)定精度或前后兩次優(yōu)化結(jié)果的差異小于設(shè)定精度。定位偏差矯正程序的設(shè)計(jì)框圖如圖3所示。

3 測(cè)試與驗(yàn)證

3.1 仿真測(cè)試

采用科學(xué)計(jì)算軟件MATLAB對(duì)程序編譯。通過(guò)大量仿真實(shí)驗(yàn)表明基于模式搜索法的矯正方法能高精度的矯正定位偏差。仿真實(shí)驗(yàn)的計(jì)算機(jī)配置為P4/2.20GHz的CPU芯片、3.0G內(nèi)存。為測(cè)試程序，分別用人工編制的理想測(cè)量曲線(xiàn)（圖4（a））和正常儀器測(cè)得曲線(xiàn)（圖4（b））進(jìn)行了驗(yàn)證。同時(shí)為驗(yàn)證程序的運(yùn)行速度和矯正的穩(wěn)定性，在4（b）的情況下設(shè)定相同初始條件讓程序仿真10次，求出程序的運(yùn)行時(shí)間和矯正后曲線(xiàn)偏差的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差（見(jiàn)表1）。結(jié)果表明，程序矯正快速且穩(wěn)定，理想情況下的矯正精度極高，誤差極小，圖4（a）情況矯正后F(X,Y,alpha)=1.108×10-10。正常測(cè)量情況下也能將偏差矯正到測(cè)量?jī)x器精度數(shù)量級(jí)內(nèi)，圖4（b）情況矯正后F(X,Y,alpha)=6.028×10-3。

圖4 兩種情況下的程序仿真實(shí)驗(yàn)Fig.4 Program simulation under two situations

3.2 儀器實(shí)測(cè)驗(yàn)證

通過(guò)模擬測(cè)量鋼軌打磨量的過(guò)程，驗(yàn)證矯正方法的有效性。實(shí)驗(yàn)采用目前國(guó)內(nèi)鐵路部門(mén)普遍采用的高精度的鋼軌外形測(cè)量?jī)x器（圖5），先對(duì)鋼軌外形輪廓進(jìn)行一次正常測(cè)量并獲得輪廓曲線(xiàn)。然后在鋼軌打磨軌頂區(qū)粘貼已知厚度的薄片并有意偏轉(zhuǎn)測(cè)量?jī)x器的定位位置后，對(duì)粘貼了已知厚度薄片的鋼軌再次測(cè)量，并獲得此時(shí)的輪廓曲線(xiàn)，如圖6（a）。將先后測(cè)得輪廓曲線(xiàn)擬合后即可計(jì)算得到膠帶的厚度值，如圖6（b）。通過(guò)比較薄片厚度的真實(shí)值與通過(guò)矯正曲線(xiàn)計(jì)算得到的薄片厚度值就可驗(yàn)證矯正方法的有效性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2。

儀器的測(cè)量精度為0.05 mm，由表2 可知矯正精度高于儀器的測(cè)量精度，因而矯正方法是有效的。

圖5 高精度鋼軌輪廓測(cè)量?jī)xFig.5 High-precision rail profile measuring instrument

4 結(jié)束語(yǔ)

本文就如何矯正鋼軌磨耗測(cè)量的儀器定位偏差進(jìn)行了研究。提出了一種曲線(xiàn)與曲線(xiàn)偏離程度的衡量方法，該法能有效衡量先后兩次測(cè)得的曲線(xiàn)之間的偏離度并能方便的進(jìn)行編程計(jì)算。選用了合適有效的模式搜索法實(shí)現(xiàn)定位偏差矯正，并驗(yàn)證了其有效性。由于該法是通過(guò)擬合由眾多離散點(diǎn)構(gòu)成的曲線(xiàn)來(lái)矯正定位偏差，擬合過(guò)程中的參考基準(zhǔn)多，因而具有很高的矯正精度。矯正精度能滿(mǎn)足輪軌動(dòng)力學(xué)研究的要求。本文所述的定位偏差矯正方法也適用于其他領(lǐng)域中類(lèi)似誤差的矯正。

表1 仿真結(jié)果Tab.1 The simulation results

圖6 測(cè)量?jī)x器驗(yàn)證Fig.6 Verification by measuring instrument

表2 儀器驗(yàn)證結(jié)果Tab.2 Test results

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