張丹

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）把“問題解決”作為課程目標(biāo)之一，其內(nèi)涵包括經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的全過程，獲得分析問題和解決問題的策略，學(xué)會合作交流，形成評價(jià)與反思的意識。美國加州大學(xué)教授舍費(fèi)爾德（A.Schoenfeld）通過實(shí)驗(yàn)觀察，提出了問題解決能力的四個(gè)構(gòu)成要素——認(rèn)知的資源、發(fā)現(xiàn)式解題策略、控制和信念系統(tǒng)。[1]這些都說明了問題解決多方面的教育價(jià)值。在數(shù)學(xué)教學(xué)中積極倡導(dǎo)問題解決，不僅可以提高學(xué)生解決問題的能力，還可以加深學(xué)生對知識和方法的深入理解，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)交流，提高學(xué)生的自信心，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。

需要指出的是，問題解決中的“問題”不僅包括常規(guī)問題，還包括非常規(guī)問題。常規(guī)問題一般是封閉型的，有一個(gè)確定的答案，而且給出了所有必要的已知信息，學(xué)生解決問題的方式主要是從已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提取熟悉的“模式”，更多地體現(xiàn)出常規(guī)性和重復(fù)性。非常規(guī)問題一般是開放的，沒有確定的答案，解決它沒有現(xiàn)成的方法和程序，學(xué)生解決問題的方式主要是尋找和提煉信息、探索解決問題的方法，更多地體現(xiàn)出探索性和創(chuàng)造性。

下面就《標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于問題解決的具體目標(biāo)加以闡述。

一、初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識，提高實(shí)踐能力

首先，《標(biāo)準(zhǔn)》提出要發(fā)展學(xué)生“從頭到尾”發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。學(xué)生要具有數(shù)學(xué)的意識和眼光，能在實(shí)際生活、其他學(xué)科、數(shù)學(xué)內(nèi)部等方面產(chǎn)生疑問——發(fā)現(xiàn)問題；能進(jìn)一步將疑問概括、表述為可以解決的問題——提出問題；能理解問題中的條件和目標(biāo)，識別問題情境中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)系，確定解決問題的方向——分析問題；能選擇合適的方法和程序，綜合應(yīng)用所學(xué)的知識和方法解決問題，并對結(jié)果進(jìn)行解釋和評價(jià)——解決問題。

在發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程中，學(xué)生將不斷增強(qiáng)應(yīng)用意識。特別地，學(xué)生將認(rèn)識到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)信息，相信數(shù)學(xué)的用途和價(jià)值，這也體現(xiàn)了“信念系統(tǒng)”在問題解決中的作用。為此，數(shù)學(xué)課程和教學(xué)應(yīng)努力揭示數(shù)學(xué)與日常生活、自然界和其他學(xué)科的聯(lián)系，數(shù)學(xué)概念的引入應(yīng)當(dāng)揭示它的現(xiàn)實(shí)背景，數(shù)學(xué)知識形成以后應(yīng)當(dāng)介紹它的真實(shí)應(yīng)用；應(yīng)提供機(jī)會鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的知識解決實(shí)際問題，并引導(dǎo)學(xué)生有意識地體會并掌握一些重要的解決問題的策略；應(yīng)展現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的具體實(shí)例，將學(xué)生引入豐富多彩的數(shù)學(xué)應(yīng)用的王國中；甚至在物理、化學(xué)等其他學(xué)科的教學(xué)中，也應(yīng)當(dāng)盡可能地呈現(xiàn)它們與數(shù)學(xué)的聯(lián)系。

需要強(qiáng)調(diào)的是，《標(biāo)準(zhǔn)》將發(fā)現(xiàn)問題和提出問題也作為問題解決領(lǐng)域的重要組成部分，而這正是學(xué)生的薄弱點(diǎn)。在義務(wù)教育階段，首先要培養(yǎng)學(xué)生的是發(fā)現(xiàn)和提出問題的意識和習(xí)慣。所以，最好的途徑是給學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)和提出問題的機(jī)會。具體包括：

第一，面臨情境或?qū)⒁獙W(xué)習(xí)的內(nèi)容，鼓勵(lì)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)和提出問題。

第二，解決完一個(gè)問題后，鼓勵(lì)學(xué)生提出新的問題。美國學(xué)者布朗（S.Brown）與沃爾特（M.Walter）通過研究，得到提出問題的一個(gè)很有用的方法——“否定假設(shè)法”（what-if-not，如果它不是這樣的，那又可能是什么呢？）?！斑@是從原問題出發(fā)，產(chǎn)生新問題的非常有效的方法。運(yùn)用這種策略提出問題有兩個(gè)關(guān)鍵步驟：首先，列出情境信息的特征；而后是‘what-if-not，即學(xué)生選擇一些特征加以改變來提出問題。”[2]

比如，一位教師首先鼓勵(lì)學(xué)生解決如下的問題：亮亮家、芳芳家和學(xué)校的位置如下圖所示。星期天要到校參加實(shí)踐活動(dòng)，他們7點(diǎn)從家里出發(fā)，7點(diǎn)5分同時(shí)到達(dá)學(xué)校。亮亮從家到學(xué)校每分鐘走50米，芳芳從家到學(xué)校每分鐘走40米，亮亮家到芳芳家的距離是多少米？

然后，通過獨(dú)立思考、合作交流，師生共同整理了題目中包含的信息：同時(shí)出發(fā)、相對而行、在一條直線上行走、行走的速度、行走的時(shí)間、關(guān)于相遇的情境等。接著教師提出問題：你能改變其中的一個(gè)信息，再提出一個(gè)問題嗎？于是學(xué)生改變信息，產(chǎn)生了一個(gè)又一個(gè)新問題：如果不是在一條直線上行駛，會怎么樣呢？如果不是相對而行會怎么樣呢？如果不是同時(shí)到達(dá)會怎么樣呢？

第三，學(xué)習(xí)完所學(xué)內(nèi)容后，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步提出想要研究的問題。比如，學(xué)習(xí)了“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”的內(nèi)容后，學(xué)生提出了如下“有趣”的問題：

（1）學(xué)習(xí)質(zhì)數(shù)和合數(shù)有什么用？

（2）有沒有一個(gè)辦法，能快速地找到質(zhì)數(shù)？

（3）質(zhì)數(shù)有沒有公式？

（4）有沒有最大的質(zhì)數(shù)？

（5）2與3差1，3與5差2，5與7差2，7與11差4……質(zhì)數(shù)是否有一定的規(guī)律？

（6）哥德巴赫猜想研究的是什么？

第四，設(shè)計(jì)專門的活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題?！啊C合與實(shí)踐是一類以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng)”，[3]發(fā)現(xiàn)并選擇可以研究的問題并清晰地加以表述無疑是其中重要的一環(huán)。因此，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生通過自主發(fā)現(xiàn)、小組甄選、討論分析、清晰表述等活動(dòng)，從生活中、從學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)和提出具有挑戰(zhàn)性的問題。

教師還可以安排一些專門的活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生思考并討論：自己提出的問題是什么意思？什么是合理的問題？什么是數(shù)學(xué)問題？問題的基本結(jié)構(gòu)是什么？大家所提的問題有幾類？你是怎樣想到這個(gè)問題的？是什么啟發(fā)了你？鼓勵(lì)學(xué)生積累發(fā)現(xiàn)和提出問題的經(jīng)驗(yàn)。

二、獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識

問題解決的價(jià)值不只是獲得具體問題的解，更重要的是學(xué)生在問題解決的過程中獲得發(fā)展。其中重要的一點(diǎn)是使學(xué)生學(xué)習(xí)一些解決問題的基本方法，體驗(yàn)解決問題的方法的多樣性，并在此基礎(chǔ)上形成自己解決問題的某些策略。

事實(shí)上，從波利亞開始，大家對解決問題的策略已經(jīng)有了許多研究，提出了一些比較常用的策略，包括使用圖表或其他的表示方法、尋找模式、列舉所有的情況、從特例開始試驗(yàn)、猜測與檢驗(yàn)、嘗試錯(cuò)誤、構(gòu)造簡單問題等。數(shù)學(xué)課程和教學(xué)應(yīng)該提供給學(xué)生一些解決問題的策略方面的實(shí)踐與指導(dǎo)，以使他們能根據(jù)不同的問題合理地使用這些策略。筆者選擇其中最基本的三個(gè)策略——畫圖策略、列表策略和模擬操作策略加以闡述。

畫圖策略是一種非常重要的分析問題和解決問題的策略，它是利用“圖”的直觀來對問題中的關(guān)系和結(jié)構(gòu)進(jìn)行表述，從而幫助人們分析問題和解決問題的。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于人們探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。同時(shí)，畫圖又是一個(gè)“去情境化”的過程，它能提煉情境中的數(shù)量關(guān)系，并且進(jìn)行直觀的表達(dá)。總的來說，畫圖策略的作用主要體現(xiàn)在：可以幫助理解問題；可以幫助解決問題；可以促進(jìn)反思和交流；可以導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)。

列表策略的作用主要體現(xiàn)在：第一，學(xué)生通過列表枚舉出一些符合條件的結(jié)果，然后通過驗(yàn)證從中選擇最終的答案。比如，對于“雞兔同籠”問題，教材大多選擇列表的策略，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行枚舉，學(xué)生通過枚舉每一種情況并進(jìn)行檢驗(yàn)得到問題的最終答案。如果頭和腿的數(shù)目較多，學(xué)生也可以在枚舉過程中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律從而進(jìn)行調(diào)整，如“發(fā)現(xiàn)腿數(shù)還差得很多，多增加些兔子”，又如可以從假設(shè)有一半雞或兔子開始枚舉。這不僅能使學(xué)生學(xué)習(xí)解決問題的重要策略，還可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和估算能力，使學(xué)生經(jīng)歷建立假設(shè)、檢驗(yàn)假設(shè)的過程，發(fā)展學(xué)生自己進(jìn)行判斷的能力。隨著對這個(gè)問題的不斷討論，越來越多的教師認(rèn)識到了枚舉方法的重要性。正如張景中先生提到的：“小學(xué)數(shù)學(xué)里有很多應(yīng)用題，解題的思想方法常常因題而異?？刹豢梢砸龑?dǎo)學(xué)生探索一下，用一個(gè)思想來解各種各樣的題目呢？試商的思想，其實(shí)有普遍意義，可以用來求解許多不同類型的問題，包括應(yīng)用問題，只要問題中的條件數(shù)據(jù)和解答之間有確定性的關(guān)系。例如，修一條長32千米的公路，已經(jīng)修了24千米，已修的路程是剩下的幾倍？我們用類似試商的辦法來試解。如果是1倍，剩下的是24千米，總長48千米，比題設(shè)數(shù)據(jù)大了；如果是2倍呢，剩下的是12千米，總長36千米，仍比題設(shè)數(shù)據(jù)大；3倍呢，剩下8千米，總長32千米，正好符合要求。我想很多老師不會這樣引導(dǎo)學(xué)生思考，認(rèn)為這是個(gè)笨辦法。其實(shí)，這個(gè)辦法具有一般性，把試解的倍數(shù)看成自變量，把根據(jù)試解算出的總長看成試解倍數(shù)的函數(shù)，找尋使函數(shù)值符合題目要求的自變量，這個(gè)思路能解決很多問題，是‘大智若愚。這樣思考試算，最終也會發(fā)現(xiàn)具體的規(guī)律，列出通常的算式。”[4]不難看出，“試商”就是我們說的枚舉并驗(yàn)證的方法，它是一個(gè)“大智若愚”的方法。第二，學(xué)生可以將問題中的信息用表格的形式加以整理，往往既能起到整理信息的作用，也有助于學(xué)生探索出解決問題的思路。

模擬操作策略是借助實(shí)際操作或模擬操作分析問題和解決問題的策略。一方面，可以通過模擬問題中的情境，幫助學(xué)生理解題意和分析問題。另一方面，學(xué)生可以通過操作解決問題。

需要指出的是，學(xué)生所采用的策略，在教師眼中也許有優(yōu)劣之分，但在學(xué)生的思考過程中并沒有好壞之別，都能反映出學(xué)生對問題的理解和他們所作出的努力。只要解題過程及答案具有合理性，就值得肯定，這為樹立學(xué)生的自信心和培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神提供了很有價(jià)值的機(jī)會。同時(shí)，有研究表明，“學(xué)生不僅能夠自己去發(fā)現(xiàn)問題解決的策略，而且可以利用學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的策略去促進(jìn)他們的數(shù)學(xué)理解”[5]。因此，在教學(xué)中，應(yīng)提供給學(xué)生更多的展示屬于他們自己的思維方式和解題策略的機(jī)會，提供給學(xué)生更多的解釋和評價(jià)他們自己的思維結(jié)果的權(quán)利。還應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生共同分享他們各自的策略，由此體會解決問題的不同方法，學(xué)習(xí)和評價(jià)不同的策略，并豐富和擴(kuò)充自己的策略。在這種環(huán)境中，學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)才會成為可能。

三、學(xué)會與他人合作交流

許多國家都將培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流的能力作為課程的重要目標(biāo)。例如，英國著名的“科克羅夫特報(bào)告”（Cockcroft Report）指出：“所有這些對數(shù)學(xué)有用的理解都來源于這樣的事實(shí)，即數(shù)學(xué)提供了一種有力的、簡潔的和準(zhǔn)確無誤的交流信息的手段……它提供了對所有兒童要教數(shù)學(xué)的主要的理由?！盵6]

在問題解決的過程中與他人合作交流，學(xué)生不僅能獲得更多的幫助和啟示，他們的數(shù)學(xué)思考能力也將得到發(fā)展。實(shí)際上，思考和交流是交叉在一起的。無論是口頭的還是書面的交流，學(xué)生首先面臨向他人清晰而有信心地表達(dá)自己的想法的挑戰(zhàn)，這就需要他們預(yù)先組織自己的數(shù)學(xué)思維，這實(shí)際上是他們獲得對自己問題解決過程深入理解的過程，同其他人討論是使自己的策略和思想得到詳細(xì)的檢查、提煉和完善的基本方法之一；在討論問題解決的各種各樣的方案時(shí)，學(xué)生將有機(jī)會看到別人的觀點(diǎn)和方法，評價(jià)這些觀點(diǎn)和方法的正確性和適用性，并在解決以后出現(xiàn)的問題時(shí)加以運(yùn)用，通過仔細(xì)地聽取和思考他人的觀點(diǎn)，學(xué)生將學(xué)習(xí)成為有著批判眼光的思考者；學(xué)生還要將自己的語言與數(shù)學(xué)語言聯(lián)系起來，這就為他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言積累了經(jīng)驗(yàn)，奠定了基礎(chǔ)，有助于學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)語言的精確性和力量?？傊?dāng)學(xué)生在合作交流的基礎(chǔ)上最終提出能有效地解決問題的方案時(shí)，他們的思考能力也就同時(shí)得到了提高。當(dāng)然，交流的過程也為教師提供了觀察、了解和幫助學(xué)生的機(jī)會。

因此，如果數(shù)學(xué)教育中充滿了豐富的交流，學(xué)生就可以獲得雙重的效益：為了學(xué)會數(shù)學(xué)進(jìn)行交流和學(xué)會數(shù)學(xué)地交流。交流應(yīng)該成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)很自然的組成部分，數(shù)學(xué)課程和教學(xué)應(yīng)提供多種機(jī)會促進(jìn)學(xué)生的合作與交流。例如：可以要求學(xué)生記錄他們在當(dāng)天數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的收獲和遇到的問題，這個(gè)活動(dòng)可以促使學(xué)生自覺思考一天的工作，表達(dá)自己對所學(xué)內(nèi)容的想法，這種活動(dòng)也能提醒學(xué)生，他們和教師一樣對所學(xué)內(nèi)容是負(fù)有責(zé)任的。

四、初步形成評價(jià)與反思的意識

有研究表明，學(xué)生在問題解決中的失敗常常不是由于他們?nèi)狈?shù)學(xué)知識，而是由于他們不能有效地應(yīng)用所學(xué)的知識。好的問題解決者常常監(jiān)控并調(diào)整他們解決問題的過程。他們要通過仔細(xì)閱讀問題或提出自己的疑惑來確信他們是否真正理解了問題；他們常常做計(jì)劃，并定期檢查正在做的事，以了解他們是否正在正確的軌道上前進(jìn)；如果遇到了重大挫折，他們就嘗試換一個(gè)解決問題的角度；而解決了一個(gè)問題之后，他們能回顧整個(gè)解題過程，反思結(jié)果和解決問題的策略是否合理、是否有不同的解決問題的途徑、與其他問題是否有聯(lián)系等?？傊瑢W(xué)生的評價(jià)和反思意識與水平在問題解決的過程中起著很大的作用。實(shí)際上，這就是“元認(rèn)知”的重要性。元認(rèn)知是指“個(gè)體對自我認(rèn)知過程的認(rèn)知，以及在這種認(rèn)知基礎(chǔ)上的自我監(jiān)督、計(jì)劃與調(diào)節(jié)（弗拉維爾，1979）”[7]。數(shù)學(xué)教育家萊斯特（Lester）強(qiáng)調(diào)元認(rèn)知在數(shù)學(xué)解決問題中的作用，具體地說，“在導(dǎo)引階段，元認(rèn)知可以引導(dǎo)解題者去尋找題目的關(guān)鍵字，確認(rèn)解題方向；在組織階段，元認(rèn)知有助于解題者模式識別和解題遷移；在執(zhí)行階段，元認(rèn)知起調(diào)控解題者行為的作用；在驗(yàn)證階段，元認(rèn)知可以促使解題者對解題進(jìn)行反思”[8]。

數(shù)學(xué)課程和教學(xué)可以通過設(shè)計(jì)以下一些問題，幫助學(xué)生逐步形成評價(jià)和反思的習(xí)慣：在開始解決問題前，你確實(shí)理解問題了嗎？到目前為止解過類似的問題嗎？能否將此問題轉(zhuǎn)化為以前解過的問題？可能有哪些解決問題的途徑供選擇？需要制訂一個(gè)計(jì)劃嗎？這個(gè)計(jì)劃可行嗎？或者，我們應(yīng)該重新考慮計(jì)劃？這個(gè)問題的解合理嗎？解決這個(gè)問題時(shí)，你運(yùn)用了什么策略？是否還有其他解決問題的方法？……。特別地，我們不能僅僅滿足于求解一個(gè)具體的問題，還應(yīng)促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考得到進(jìn)一步的發(fā)展。例如：引導(dǎo)學(xué)生對所求解的問題抽象化或一般化；思考解決問題過程中使用的策略能否作為解決一類問題的重要方法；比較解決問題的不同策略，以體會它們不同的特點(diǎn)與適用性；在解決問題的基礎(chǔ)上提出新的問題；等等。

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（作者單位：北京教育科學(xué)研究院）