朱耀峰

教學(xué)內(nèi)容：“分類(lèi)計(jì)數(shù)”問(wèn)題（適合“長(zhǎng)方體和正方體”單元結(jié)束時(shí)使用）。

教學(xué)目標(biāo)：通過(guò)活動(dòng)，幫助學(xué)生積累由特殊到一般、尋找規(guī)律解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，培養(yǎng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)奧秘的興趣；掌握分類(lèi)計(jì)數(shù)的方法以解決相關(guān)問(wèn)題。

教學(xué)設(shè)想：借助課件直觀，將學(xué)生的探究活動(dòng)不斷引向深入，通過(guò)不完全歸納引導(dǎo)學(xué)生把握問(wèn)題的共性進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得一般性結(jié)論；教學(xué)中要盡可能地讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律、表述規(guī)律，教師只能在學(xué)生確有困難時(shí)給予適當(dāng)指引；通過(guò)窮盡列舉完善分類(lèi)，讓學(xué)生養(yǎng)成及時(shí)驗(yàn)證結(jié)論的學(xué)習(xí)習(xí)慣；通過(guò)質(zhì)疑與追問(wèn)，提升學(xué)生思維品質(zhì)的嚴(yán)密性。

教學(xué)過(guò)程：

一、談話(huà)導(dǎo)入

課前，我們通過(guò)魔方認(rèn)知了三面涂色、兩面涂色、一面涂色的相關(guān)情況，誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)在魔方中三面涂色、兩面涂色、一面涂色的部件分別處在魔方的什么位置？能不能通過(guò)旋轉(zhuǎn)把魔方中三面涂色的部分移到兩面涂色或一面涂色的位置？（不能。）看來(lái)三面涂色、兩面涂色、一面涂色的位置是確定的。

今天，我們就來(lái)一起探究跟表面涂色有關(guān)的計(jì)數(shù)問(wèn)題。板書(shū)：“分類(lèi)計(jì)數(shù)”。課件出示：

把一個(gè)六面都涂上顏色的正方體木塊，切成64個(gè)大小相同的小正方體（如圖）。

（1）三面涂色的小正方體有多少個(gè)？

（2）兩面涂色的小正方體有多少個(gè)？

（3）一面涂色的小正方體有多少個(gè)？

設(shè)計(jì)意圖：沒(méi)有先研究棱長(zhǎng)為3的正方體再研究棱長(zhǎng)為4的正方體，主要出發(fā)點(diǎn)是棱長(zhǎng)為3的正方體比較特殊，兩面涂色的每條棱上只有1個(gè)，一面涂色的每個(gè)面上只有1個(gè)，六面都沒(méi)涂色的也只有1個(gè)，不具有一般性；而棱長(zhǎng)為4的正方體更具一般性，便于探究規(guī)律。

二、引導(dǎo)探究

1.棱長(zhǎng)為4的正方體

（1）三面涂色的小正方體有多少個(gè)？

啟發(fā)：處在什么位置上的小正方體才會(huì)是三面被涂色的？其中有幾個(gè)是能看到的？而不能看到的又有幾個(gè)？說(shuō)說(shuō)不能看到的那些小正方體在什么位置？（課件變色能看到7個(gè)頂點(diǎn)上的小正方體。）再閉上眼睛想一想：三面涂色的小正方體在什么位置？有幾個(gè)？記住它們所在的位置。

（2）兩面涂色的小正方體有多少個(gè)？

啟發(fā)引導(dǎo)（與三面涂色基本同，略），思考：這個(gè)數(shù)據(jù)該通過(guò)怎樣的計(jì)算獲得？（課件變色能看到的9條棱上的每條棱上2個(gè)小正方體。）引導(dǎo)學(xué)生得出2×12=24。

（3）一面涂色的小正方體有多少個(gè)？

啟發(fā)引導(dǎo)（與三面涂色基本同，略），思考：這個(gè)數(shù)據(jù)該通過(guò)怎樣的計(jì)算獲得？（課件變色能看到的3個(gè)面上的每個(gè)面上的4個(gè)小正方體。）引導(dǎo)學(xué)生得出2×12=24。

（4）追問(wèn)：六個(gè)面都沒(méi)有涂色的小正方體有多少個(gè)？

啟發(fā)：這樣的小正方體處在什么位置？它的個(gè)數(shù)該如何計(jì)算？（引導(dǎo)學(xué)生想象：將大正方體剝?nèi)ヒ粚悠?，得到的該是什么情況？）引導(dǎo)學(xué)生得出：六個(gè)面都沒(méi)有涂色的小正方體在大正方體的中間，而非表面。有兩種算法：64-8-24-24=8（個(gè)）或2×2×2=8（個(gè)），這兩種方法可以相互印證。

（5）操作教具（驗(yàn)證學(xué)生的發(fā)現(xiàn)）。

①將處在頂層的4個(gè)頂點(diǎn)上的4個(gè)小正方體從教具中取下，讓學(xué)生見(jiàn)證“三面涂色”。

②將處在非底層的8條棱上的16個(gè)小正方體取下，讓學(xué)生明確計(jì)算方法、見(jiàn)證“兩面涂色”。同時(shí)追問(wèn)學(xué)生：還有兩面涂色的小正方體在哪里？

③取出其中5個(gè)一面涂色的小正方體，讓學(xué)生明確計(jì)算方法、見(jiàn)證“一面涂色”。

④呈現(xiàn)“六個(gè)面都沒(méi)涂色”的小正方體（由8個(gè)小正方體組成的棱長(zhǎng)為2的正方體）。

⑤將最底層的小正方體按類(lèi)歸位，驗(yàn)證計(jì)數(shù)的結(jié)果及計(jì)算方法。

（6）填表。

將正方體的棱長(zhǎng)、各種正方體的個(gè)數(shù)及計(jì)算方法填入活動(dòng)記錄表中。并引發(fā)思考：計(jì)算所需的數(shù)據(jù)與原正方體的棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：要求學(xué)生能夠準(zhǔn)確表達(dá)出不能看到的三面涂色、兩面涂色、一面涂色及六個(gè)面都沒(méi)有涂色的小正方體的位置，是想通過(guò)學(xué)生的準(zhǔn)確表達(dá)從而在頭腦中建立表象。再閉上眼睛想一想，再次建立初步的表象。計(jì)算方法的探究主要是為找到通式的規(guī)律作鋪墊，實(shí)物教具的操作更是為了讓學(xué)生在頭腦中建立清晰的表象?；顒?dòng)記錄表的填寫(xiě)，主要是通過(guò)比較與歸納，從而找到此類(lèi)問(wèn)題的規(guī)律，獲取解決問(wèn)題的一般方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2.棱長(zhǎng)為3的正方體

學(xué)生自主完成，將探究結(jié)果填在活動(dòng)記錄表中。完成后指名匯報(bào)交流。

3.棱長(zhǎng)分別為5、6、10的正方體

學(xué)生自主完成，將探究結(jié)果填在活動(dòng)記錄表中。

小組內(nèi)交流自己的發(fā)現(xiàn)。

投影呈現(xiàn)學(xué)生的活動(dòng)記錄表。

通過(guò)課件形象呈現(xiàn)，印證學(xué)生的結(jié)論。

引導(dǎo)學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)正方體表面涂色問(wèn)題的一般規(guī)律。

設(shè)計(jì)意圖：將棱長(zhǎng)為4的正方體作為重點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，棱長(zhǎng)為3、5、6、10的正方體用于進(jìn)一步強(qiáng)化認(rèn)識(shí)及新建立的概念，通過(guò)比較歸納發(fā)現(xiàn)正方體表面涂色的一般規(guī)律。課件呈現(xiàn)主要是為了讓學(xué)生頭腦中的概念表象更清晰。

4.棱長(zhǎng)為a的正方體木塊

讓學(xué)生通過(guò)小組合作，在觀察分析前面5種正方體表面涂色的相關(guān)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律得出結(jié)論：三面涂色：8個(gè)；兩面涂色：（a-2）×12（個(gè)）；一面涂色：（a-2）2×6（個(gè)）；六個(gè)面都沒(méi)涂色的：（a-2）3（個(gè)）。完成活動(dòng)記錄表。

設(shè)計(jì)意圖：將探究的內(nèi)容由有具體長(zhǎng)度的正方體推進(jìn)到用字母表示的抽象的正方體，也將剛剛獲得的有關(guān)正方體表面涂色的新認(rèn)知由特殊推向一般，發(fā)現(xiàn)規(guī)律得出結(jié)論，豐富和積累了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。

5.長(zhǎng)7、寬5、高4的長(zhǎng)方體endprint

課件呈現(xiàn)：將一個(gè)長(zhǎng)為7厘米、寬為5厘米、高為4厘米的長(zhǎng)方體木塊表面涂色后切成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，結(jié)果會(huì)怎樣？

在學(xué)生充分自主探究的基礎(chǔ)上小組合作完成，將探究結(jié)果填在活動(dòng)記錄表中。

在學(xué)生充分交流的基礎(chǔ)上，通過(guò)實(shí)物教具的操作形象化展示與印證學(xué)生的探究結(jié)果。

設(shè)計(jì)意圖：將探究的內(nèi)容由正方體推進(jìn)到長(zhǎng)方體，進(jìn)一步地將剛剛獲得并得到強(qiáng)化的認(rèn)知由特殊再次推向一般。不僅豐富了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，更能讓學(xué)生體會(huì)到長(zhǎng)、正方體之間的密切關(guān)系。而圓柱、圓錐、棱錐、棱臺(tái)、圓臺(tái)等立體實(shí)物都不具備這樣的特征。實(shí)物教具的操作，驗(yàn)證學(xué)生的結(jié)論、方法，進(jìn)一步建立表象形成認(rèn)知。

6.由特殊到一般（課件出示）

一個(gè)長(zhǎng)方體木塊，長(zhǎng)a、寬b、高c（a、b、c都為大于或等于2的整數(shù)），把它的表面涂上紅色后，再將其分割成邊長(zhǎng)為1的小正方體。（1）三面涂色的小正方體有多少個(gè)？（2）兩面涂色的小正方體有多少個(gè)？（3）一面涂色的小正方體有多少個(gè)？（4）六個(gè)面都沒(méi)涂色的小正方體有多少個(gè)？

（引導(dǎo)學(xué)生觀察前面的活動(dòng)數(shù)據(jù)，從而發(fā)現(xiàn)每一個(gè)結(jié)果與正方體的棱長(zhǎng)或長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高之間的關(guān)聯(lián)度。）

設(shè)計(jì)意圖：將探究的內(nèi)容由正方體擴(kuò)展到長(zhǎng)方體、再由具體數(shù)據(jù)推向抽象的字母，使所探究的內(nèi)容進(jìn)一步貼近知識(shí)本質(zhì)和概念的內(nèi)涵，豐滿(mǎn)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)和認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容有了系統(tǒng)的建模，從而形成準(zhǔn)確的概念認(rèn)知。

三、質(zhì)疑追問(wèn)

1.應(yīng)用

一個(gè)長(zhǎng)為8厘米、寬為6厘米、高為3厘米的長(zhǎng)方體木塊，將其表面涂成紅色后再分割成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體。提出問(wèn)題并解答，并將結(jié)果填在活動(dòng)記錄表中。

設(shè)計(jì)意圖：從給圖形到不給圖形，全憑學(xué)生在頭腦中構(gòu)圖，旨在培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

2.質(zhì)疑

（1）為什么此前一題中“a、b、c都為大于或等于2的整數(shù)”？

（2）分割成的小正方體會(huì)不會(huì)出現(xiàn)有4個(gè)面涂色的？

3.追問(wèn)

如果是將長(zhǎng)方體表面涂色再切成小正方體，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)4個(gè)面涂色的小正方體呢？（引發(fā)學(xué)生的討論、辯論、爭(zhēng)論。）課件出示10×1×1的長(zhǎng)方體。

設(shè)計(jì)意圖：當(dāng)教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行到獲得一般規(guī)律與結(jié)論時(shí)，很多老師往往是組織一些練習(xí)用于鞏固新的認(rèn)知。但對(duì)于長(zhǎng)方體表面涂色問(wèn)題還有很多“特殊情況”需要進(jìn)行深度探究。通過(guò)質(zhì)疑及追問(wèn)再次讓學(xué)生的認(rèn)知“從一般到特殊”，甚至是“特殊中的特殊”，居然出現(xiàn)了四面涂色的小正方體，更出現(xiàn)了五面涂色的小正方體。讓學(xué)生見(jiàn)證數(shù)學(xué)的奇妙！似在意料之外，即在意料之中！有效培養(yǎng)了學(xué)生思維的縝密性。

四、深度探究

將下列長(zhǎng)方體表面涂色后再切割成棱長(zhǎng)為1的小正方體，得到的小正方體中：（1）三面涂色的小正方體有多少個(gè)？（2）兩面涂色的小正方體有多少個(gè)？（3）一面涂色的小正方體有多少個(gè)？六個(gè)面都沒(méi)涂色的小正方體有多少個(gè)？

1.4×3×2 2.3×2×2

3.2×2×2 4.3×2×1

5.2×2×1 6.2×1×1

7.3×1×1 8.4×3×1

設(shè)計(jì)意圖：這一環(huán)節(jié)是在學(xué)生獲得有關(guān)長(zhǎng)、正方體表面涂色問(wèn)題的一般認(rèn)知的基礎(chǔ)上，通過(guò)“窮盡”的列舉，將長(zhǎng)、正方體表面涂色問(wèn)題不斷引向深入，使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)與認(rèn)知體系更豐滿(mǎn)、更繁茂，認(rèn)知領(lǐng)域的“知識(shí)樹(shù)”根基更穩(wěn)固，將探究發(fā)現(xiàn)的“一般規(guī)律”靈活運(yùn)用，做到“具體問(wèn)題具體分析”。

本節(jié)課的教學(xué)，先是在正方體體系內(nèi)由一般到特殊，由具體到抽象，讓學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)正方體表面涂色問(wèn)題的一般規(guī)律。然后由正方體表面涂色這一特殊情況推向長(zhǎng)方體表面涂色的一般情況，讓學(xué)生將有關(guān)正方體表面涂色的認(rèn)識(shí)遷移到長(zhǎng)方體表面涂色的認(rèn)知中，實(shí)現(xiàn)了從特殊到一般的飛躍，再將具體的長(zhǎng)方體推向抽象的用字母表示長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體，引導(dǎo)學(xué)生得出有關(guān)長(zhǎng)方體表面涂色問(wèn)題的一般規(guī)律。在似乎“萬(wàn)事大吉”的情況下，又進(jìn)行了深度探究，不僅實(shí)現(xiàn)了“從一般到特殊”，更完成了“從特殊到特殊”。讓學(xué)生一次又一次地深陷探究的“漩渦”中，在一次又一次的“看到彼岸”的欣喜中，不斷收獲“柳暗花明”，練就縝密的思維。endprint