柴 林，吳曉明

（廈門大學物理與機電工程學院，福建 廈門361005）

碰撞振動是機械系統(tǒng)中常見的一種現(xiàn)象，其響應可能會呈現(xiàn)復雜的非線性混沌現(xiàn)象.在工程實際中，一方面，為了某種生產目的，可以利用碰撞振動的動力學原理設計制造如振動篩、壓路機、微振造型機等多種沖擊振動機械；另一方面，碰撞振動也可能造成負面影響，如降低穩(wěn)定性、損壞設備、制造噪聲等，特別是碰撞振動所產生的非線性運動是造成機械部件疲勞、損壞的主要原因之一［1］.因此，工程實際中要根據(jù)機械系統(tǒng)的功能需求去選擇利用或者避免碰撞振動的非線性動力學現(xiàn)象.

碰撞振動是一個復雜的過程，它受多方面因素的影響，如碰撞體的約束狀況、接觸時的相對速度、接觸面的幾何形狀及接觸持續(xù)時間、局部塑性變形等，其研究涉及工程機械、系統(tǒng)動力學、數(shù)值分析等多個專業(yè)領域.牛頓、Poisson及 Whittaker理論構成了經典碰撞動力學理論的框架.在系統(tǒng)進行動態(tài)分析時，用于描述碰撞過程的模型有3種［2－3］：1）瞬時沖擊模型；2）分段線性模型；3）考慮碰撞中的局部變形的模型，用Hertz接觸理論描述接觸力.

本文以一大類實際工程機械，如振動篩、制磚機、振動壓實機為基礎，建立了單自由度碰撞振動機械的通用動力學模型.采用瞬時沖擊法，在碰撞過程中只考慮能量的損失，利用恢復系數(shù)法計算碰撞前后速度之間的關系，用四階龍格——庫塔法求解模型的動力學微分方程，討論設計參數(shù)變化時系統(tǒng)呈現(xiàn)周期運動以及混沌現(xiàn)象的演化過程.

1 動力學模型及其運動方程

具有約束的單自由度碰撞振動系統(tǒng)的動力學模型如圖1所示，質量為m的振子由剛度為k／2的線性彈簧和阻尼系數(shù)為c／2的阻尼器對稱連接于支承臺，振動臺質量為M并受到振幅為A、頻率為ω的強制簡諧激勵的作用，碰撞恢復系數(shù)設為R.

圖1 單自由度碰撞振動系統(tǒng)的力學模型Fig.1 Mechanics model of SDOF collision vibration system

系統(tǒng)在未發(fā)生碰撞時，自由運動階段方程為：

碰撞過程采用瞬時沖擊模型，“－”、“＋”分別表示振動臺與振子碰撞前后的瞬時狀態(tài)，碰撞前后瞬時速度關系式為［4］：

在MATLAB中用四階龍格－庫塔法求解二階微分方程，并判斷當x1＝x2時即發(fā)生碰撞，分別把這一時刻的速度值˙x－2和˙x1帶入式（2）中，求出瞬時碰撞后下一時刻的速度.計算時，步長設置為ts＝0.000 1s，運行時間為4s.

已知參數(shù)有：m＝200kg，c＝11 000N·s／m，k＝500 000N／m，g＝10m／s2，A＝0.05m，h＝0.02m，R＝0.9，μ＝0.1，ω＝50×2π＝314.16rad／s，x2為位移，單位：m；dx2為速度，單位：m／s.

MATLAB運行結果如圖2所示.從圖2（a）、（b）可以看出振子作復雜的非周期運動，每一次碰撞結束后的一周期內速度和位移均無規(guī)律可言.由圖2（c）可以看出，從相圖得到運動狀態(tài)是由多條不封閉曲線組成，而圖2（d）上分布著多個離散的無規(guī)律的點，說明系統(tǒng)出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象［5］.

2 參數(shù)對系統(tǒng)響應狀態(tài)的影響

對于碰撞振動系統(tǒng)，設計參數(shù)的變化對系統(tǒng)是周期性響應還是混沌狀態(tài)具有決定性影響，本節(jié)討論碰撞振動系統(tǒng)設計參數(shù)對系統(tǒng)響應狀態(tài)的影響.

圖2 系統(tǒng)動態(tài)響應Fig.2 Dynamics responses of system

2.1 初始碰撞位置

系統(tǒng)參數(shù)如上節(jié)所述，分別取初始碰撞位置h＝0.04m和h＝0.003m，數(shù)值仿真的位移和相圖如圖3所示，結合圖2所示h＝0.02m時的系統(tǒng)響應圖，可以看出系統(tǒng)運動狀態(tài)表現(xiàn)出隨機性和不可預測性，但同時振子的最大位移和整體運動趨勢局限在一定范圍內，顯現(xiàn)出局部不穩(wěn)定而整體穩(wěn)定的特性［6－7］.在碰撞間隙為0～0.05m的范圍內取值為0.003，0.02和0.04m的仿真數(shù)值結果表明，系統(tǒng)運動狀態(tài)變化不大，碰撞間隙作為參數(shù)對系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象產生和演化影響并不明顯.

2.2 黏性阻尼系數(shù)

以阻尼系數(shù)為分岔參數(shù)，數(shù)值仿真系統(tǒng)的運動狀態(tài).通過計算，得到阻尼從4 000～18 000N·s／m，振子的狀態(tài)變量全局分岔圖（見圖4），圖中位置“一、二、三”分別對應參數(shù)阻尼c的值為9 280，10 290，11 610N·s／m.從圖中可見，振子在“一”位置進入周期倍化階段，此后系統(tǒng)從倍化分岔序列通向混沌，在“二”位置進入混沌運動狀態(tài)，在“三”位置結束混沌運動狀態(tài).為此，我們分別選取c為10 000，10 500和16 000N·s／m進行動態(tài)響應數(shù)值計算，結果如圖5所示.

圖3 不同初始碰撞位置的位移響應圖（左）和相圖（右）Fig.3 Displacement－velocity response graph（left）and phase portraits（right）（h＝0.04m、h＝0.003m）

圖4 阻尼c的全局分岔圖Fig.4 Overall bifurcation of damp

從圖5可看出，在阻尼c分別取10 000，10 500 N·s／m時，系統(tǒng)處于周期倍化運動狀態(tài)和混沌狀態(tài).當阻尼c＝16 000N·s／m時，相圖是一條閉合曲線，Poincaré截面映射圖上表現(xiàn)為孤立的1個點，說明振子的響應呈現(xiàn)周期性，系統(tǒng)具有穩(wěn)定的周期運動.

由阻尼變量全局分岔圖4可見，碰撞振動系統(tǒng)的運動狀態(tài)對振子支撐元件阻尼參數(shù)是敏感的，特別是在運動響應隨阻尼變化發(fā)生分岔進而出現(xiàn)混沌狀態(tài)的交界點“一”“二”“三”位置附近，阻尼常數(shù)的小變化會引起系統(tǒng)運動的極大變化.

2.3 剛度k

選定一組基本參數(shù)c＝6 000N·s／m，m＝200kg，A＝0.05m，ω＝314.16rad／s，取剛度k為變化參數(shù)，數(shù)值計算出關于參數(shù)k的全局和局部分岔圖，如圖6所示.

可見，剛度對系統(tǒng)響應周期的影響極大.隨剛度增加，系統(tǒng)的運動狀態(tài)變得復雜，混沌運動與周期運動、擬周期交錯出現(xiàn).從圖6可看出，當k的數(shù)值從0.85×106N／m遞增到0.95×106N／m 時，運動軌跡和周期性變得更為豐富，系統(tǒng)分別經歷突變、倍化分岔、臨界hopf分岔連接混沌區(qū)域.

2.4 激振頻率ω

選定一組基本參數(shù)為m＝200kg，A＝0.05m，k＝500 000N／m，取激振頻率ω為變化參數(shù)，計算出ω的系統(tǒng)全局分岔圖，如圖7所示.

從圖7可得出，當阻尼系數(shù)一定時，隨激振頻率增加，振子的周期運動與非周期運動交替出現(xiàn)，且相鄰周期與非周期的運動狀態(tài)組合呈現(xiàn)一定規(guī)律性，并可看出周期運動和混沌區(qū)域的最高點逐漸增加；而隨著阻尼系數(shù)c的遞增，系統(tǒng)振子運動的最高位置明顯減小，周期運動與混沌界限變得模糊，混沌區(qū)域增加.

圖5 不同阻尼c的系統(tǒng)動態(tài)相應數(shù)值仿真計算結果Fig.5 Displacement－velocity response and Phase portraits

圖6 剛度k的全局和局部分岔圖Fig.6 Overall and part bifurcation of stiffness

圖7 頻率ω的全局分岔圖Fig.7 Overall bifurcation of frequency

3 典型設計參數(shù)的三維全局分岔圖

系統(tǒng)分岔圖是實際機械系統(tǒng)中設計參數(shù)選取的重要依據(jù)［8］.而典型設計參數(shù)往往是多元的，以臺式制磚機為例，為了使振子運動達到理想工作狀態(tài)，最常用的方法是改變支撐振子的彈簧和阻尼.由于二維分岔圖每次只能選取單個設計參數(shù)，然后進行反復地樣機試制實驗，準確找到所需要的彈簧剛度和阻尼參數(shù)值并非易事.本文對力學模型的剛度和阻尼兩個參數(shù)變化進行數(shù)值計算，得到系統(tǒng)剛度和阻尼在一定區(qū)間內變化的三維全局分岔圖.

從圖8可以得到，當阻尼c取6 000～14 000 N·s／m、剛度k從4.6×105N／m 遞增到5.4×105N／m的區(qū)間中，振子在穩(wěn)定單周期運動時位移最高點逐漸增大，而混沌區(qū)域逐漸減小，剛度k取4.6×105N／m時的系統(tǒng)混沌面積是取5.4×105N／m時的3倍左右.

4 結 論

圖8 分岔三維圖Fig.8 Three－dimensional bifurcation

針對含間隙碰撞振動系統(tǒng)，建立了其力學模型，研究了設計參數(shù)變化所引起的系統(tǒng)動力學響應從平衡狀態(tài)到出現(xiàn)分岔及混沌現(xiàn)象的演變過程.通過設計參數(shù)包括初始碰撞位置、黏性阻尼因子、剛度和振動臺激振頻率的變化，得到可以反映系統(tǒng)運動狀態(tài)的時間歷程圖、相圖、分岔圖和Poincaré截面圖，全面反映系統(tǒng)周期運動和混沌運動狀態(tài)的演化過程.根據(jù)機械設計參數(shù)多元化的特點，提出了兩個典型參數(shù)變化過程的三維分岔圖，為含間隙的碰撞振動機械系統(tǒng)的參數(shù)設計提供理論依據(jù).

［1］丁旺才，謝建華.碰撞振動系統(tǒng)分岔與混沌的研究進展［J］.力學進展，2005，35（4）：513－524.

［2］金棟平，胡海巖.碰撞振動與控制［M］.北京：科學出版社，2005.

［3］Peterka F，Tondl A.Phenomena of subharmonic motions of oscillator with soft impact［J］.Chaos，Solutions ＆Fractals，2004，19（5）：1283－1290.

［4］丁旺才，謝建華，李萬祥.碰撞振動系統(tǒng)強共振下的兩參數(shù)動力學分析［J］.計算力學學報，2004，21（6）：658－664.

［5］楊尚普.含非線性彈簧－阻尼碰撞振動系統(tǒng)的動力學研究［D］.蘭州：蘭州交通大學，2012.

［6］聞邦椿，李以農，徐培民，等.工程非線性振動［M］.北京：科學出版社，2007.

［7］陳予恕.非線性振動［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［8］魏艷輝.一類兩自由度碰撞振動系統(tǒng)的動力學研究［D］.桂林：廣西大學，2007.