徐 華

鹽城師范學(xué)院 江蘇鹽城 224002

信號與系統(tǒng)課程包含傅里葉變換、拉普拉斯變換和z變換，這三大變換是該課程教學(xué)的主干。傅里葉變換部分，教材中一般分為周期信號和非周期信號的頻譜分析進(jìn)行闡述[1-3]。

信號的時域分析和頻域分析是探討信號性質(zhì)的兩個非常重要的方面，對于時域信號f(t) 而言，關(guān)注的是其在給定時刻的具體幅度值，而僅從時域波形，不能獲得其頻率成分等信息，因此通過傅里葉級數(shù)分解和傅里葉變換分析信號的頻譜是頻域分析的主要內(nèi)容。時域周期信號分解后的基波和各次諧波之間是何種關(guān)系，有限次諧波再次合成之后與原始信號之間的關(guān)系如何，這些問題都需要在教學(xué)中重點說明。

1 周期信號傅里葉級數(shù)分解

對于周期信號而言，要進(jìn)行傅里葉級數(shù)分解，必須滿足狄氏條件，而實際的周期信號一般滿足該條件。教學(xué)中，筆者從第一章信號的分解引入。第一章中提到，任何連續(xù)時間信號都可以分解為若干沖激信號的疊加，而周期信號經(jīng)過傅里葉級數(shù)分解，則可以分解為若干正弦信號的疊加，如式(1)所示：

式(1)中，周期信號f(t) 分解為直流信號 a0以及若干余弦分量和正弦分量的疊加。從式(1)中可以看出：①分解出的正弦和余弦信號的頻率是離散值，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生思考，時域信號的周期性和離散頻譜之間的連續(xù)；②注意強(qiáng)調(diào)頻域中離散頻譜的相鄰間隔為ω1，而(注：T1為時域信號的周期值)，可見該式建立了信號時域和頻域之間的聯(lián)系。另外，從實際應(yīng)用的角度應(yīng)向?qū)W生說明，時域信號分解得到的基波成分和二次、三次諧波等占據(jù)了能量的大部分。

2 硬件實驗方案

為了取得良好的教學(xué)效果，筆者采用如下實驗演示方案。

以有源帶通濾波器作為選頻網(wǎng)絡(luò)，將被測信號加到選頻網(wǎng)絡(luò)上，每一帶通濾波器的輸出可以用示波器觀察相應(yīng)的基波和各次諧波分量，演示中使用頻率為100 Hz的鋸齒波(如圖1所示)。

圖1 鋸齒波信號

鋸齒波信號經(jīng)過傅里葉級數(shù)分解：

具體的基波成分和二次、三次諧波等成分由帶通濾波電路得到，電路實現(xiàn)框圖如圖2所示，其中帶通濾波電路由雙運(yùn)放LM324組成。

圖2 實現(xiàn)框圖

實驗中，100 Hz的鋸齒波經(jīng)過帶通濾波后，除了得到100 Hz的基波成分外，還可以得到200 Hz，300 Hz，400 Hz以及500 Hz的各次諧波。采用示波器在基波和各次諧波的輸出端可以觀察到相應(yīng)的波形。圖3所示為基波成分的波形，圖4和圖5為二次和三次諧波的波形，其余各次諧波與之類似。

圖3 鋸齒波的基波

圖4 鋸齒波的二次諧波

圖5 鋸齒波的三次諧波

實驗中，在給出鋸齒波及其基波和二次、三次諧波等波形的基礎(chǔ)上，還分析了各次諧波成分與基波成分的相位差。圖6為采用李沙育圖形法給出的基波和二次諧波的相位差結(jié)果，當(dāng)兩者的相位差為零時，采用雙蹤示波器可觀察到如圖6所示的波形，其余的三次諧波等與基波相位差的情況也采用李沙育圖形方法給出。

圖6 基波和二次諧波的相位差

3 基于MATLAB的軟件仿真方案

MATLAB仿真軟件在信號與系統(tǒng)課程教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用[4,5]。使用它可以研究周期鋸齒波信號的分解以及基波和二次、三次諧波的合成波形，仿真結(jié)果能夠形象地展示周期信號在進(jìn)行傅里葉級數(shù)分解時的相應(yīng)情況。

圖7為周期鋸齒波信號分解為基波、二次諧波和三次諧波以及由基波、二次諧波和三次諧波重新合成的鋸齒波信號。從圖中可以直觀地觀察到，基波成分和二次、三次諧波成分之間的頻率關(guān)系。由于諧波成分較少，合成的鋸齒波與實際的鋸齒波之間有一定的差距。為了進(jìn)一步說明諧波次數(shù)和合成波形的關(guān)系，圖8給出了10次諧波信號的分解及合成情況。從圖中可以看出，參與合成的諧波次數(shù)的增加使得合成的鋸齒波信號能夠進(jìn)一步逼近原始鋸齒波信號。

圖7 周期鋸齒波信號分解及合成圖

圖8 周期鋸齒波信號10次諧波及其頻譜圖

仿真實驗中的波形和硬件實驗中的波形一致，從兩個角度形象地展示了周期鋸齒波信號分解時的各次諧波的波形，形象地說明了周期信號傅里葉分解的基本原理。

另外，在周期信號的傅里葉分解中，還有一個重要的現(xiàn)象：吉布斯現(xiàn)象。它主要指，周期信號分解后的有限項級數(shù)和原始信號之間，在信號的不可導(dǎo)的點上有著明顯的起伏，諧波次數(shù)越少，越明顯；諧波次數(shù)較多時，這種現(xiàn)象變得不太明顯。

圖9為20次諧波的分解與合成波形，圖10為80次諧波的分解與合成波形。從中可以看出，在不連續(xù)點上，合成的波形與原始波形相比，有著較大的波動和變化，20次諧波的合成情況要比80次諧波的合成情況明顯得多，這是典型的吉布斯現(xiàn)象。

圖9 n=20時的合成波形

圖10 n=80時的合成波形

4 結(jié)束語

筆者研究了周期信號傅里葉分解的相關(guān)教學(xué)，給出了基于有源帶通濾波器的硬件方案，分析了周期鋸齒波信號分解得到的基波、二次諧波和三次諧波的波形，采用李沙育圖形法觀察比較二次諧波和基波的相位情況；用MATLAB仿真軟件仿真并分析了周期鋸齒波信號分解及合成波形，并分別在20次諧波和80次諧波時分析了信號分解中的吉布斯現(xiàn)象。從軟件仿真和硬件實現(xiàn)兩個角度對比驗證，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生從不同角度獲得關(guān)于周期信號分解及合成的相關(guān)規(guī)律，取得了較好的學(xué)習(xí)效果。

[1] 奧本海姆.信號與系統(tǒng)[M].劉樹棠,譯.第二版.西安:西安交通大學(xué)出版社,1998.

[2]管致中,夏恭恪,孟橋.信號與線性系統(tǒng)[M].第四版.北京:高等教育出版社,2004.

[3]鄭君里,應(yīng)啟珩,楊為理.信號與系統(tǒng)[M].第三版.北京:高等教育出版社,2011.

[4]李蘊(yùn)華.基于Matlab的《信號與系統(tǒng)》頻域分析[J].武漢科技學(xué)院學(xué)報,2006,19(5):21-23.

[5]張國琴.MATLAB在“信號與系統(tǒng)”課程教學(xué)中的應(yīng)用[J].中國電力教育,2011(7):76-78.