楊作義

解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問題，思路直接，但運(yùn)算量大，如果能夠挖掘問題中的平面幾何要素，利用平面幾何知識(shí)來協(xié)助求解，往往會(huì)事半功倍.

當(dāng)問題涉及求兩條線段長度的和（或差）的最值時(shí)，

可聯(lián)系三角形的三邊關(guān)系

例1 已知橢圓+=1內(nèi)有兩點(diǎn)A（2，2），B（3，0），P為橢圓上一點(diǎn)，則PA+PB的最大值是 .

分析： 使用解析幾何知識(shí)列式計(jì)算，過程相當(dāng)繁雜，若根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊來求解，則快捷許多.

解： 如圖1所示，B為橢圓+=1的右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F（-3，0），則AF==.由橢圓方程可知a=5，所以PF+PB=2a=10.

結(jié)合三角形三邊關(guān)系可知：PA+PB=PA+10-PF≤AF+10=10+，當(dāng)且僅當(dāng)P與AF的延長線與橢圓的交點(diǎn)P′重合時(shí)取等號(hào)，所以PA+PB的最大值是10+.

評(píng)注： 解例1的關(guān)鍵是把PA+PB轉(zhuǎn)化為PA-PF+10，涉及求兩條線段長度之差的最值，自然聯(lián)想到三角形的性質(zhì).思考方向是：活用定義，化折為直.

當(dāng)問題中有正三角形、直角三角形時(shí)，

不妨考慮用其邊角關(guān)系

例2 過拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線，若此直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中垂線與x軸交于點(diǎn)P，則線段PF的長等于 .

（A） （B）

（C） （D） 8

分析： 例2的常規(guī)解法是設(shè)法求出線段AB的中垂線方程，再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而求出PF的長，過程復(fù)雜且運(yùn)算量大.若從平面幾何角度入手，則較為簡單.

解： 如圖2所示，拋物線的準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)E，AB的中垂線交自身于點(diǎn)Q，作AD=BF.因?yàn)镼為AB的中點(diǎn)，所以AQ=BQ，F(xiàn)Q=DQ.

作AM⊥l于點(diǎn)M，BN⊥l于點(diǎn)N，BB′⊥x軸于點(diǎn)B′.由拋物線知識(shí)可知：AF=AM，BF=BN，∠MAF=∠AFP=60°，所以△AMF是正三角形，∠AFM=60°，從而∠MFE=60° .因?yàn)椤螰BN=120°，所以∠NFB=30° .又因?yàn)椤螮FB=∠AFP=60°，所以∠EFN=30°.

因?yàn)镋F=4，所以AF=MF==8，NE=EF·tan∠EFN=，BF===. 而QF=FD=（AF-BF）=， 所以FP==.故答案為A.

評(píng)注： 在例2的解法中，由拋物線的定義實(shí)現(xiàn)了拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)和到準(zhǔn)線距離之間的相互轉(zhuǎn)化，然后通過挖掘圖象中的正三角形和直角三角形等條件，利用其邊角關(guān)系，從“形”出發(fā)求“數(shù)”. 思維途徑是：構(gòu)建直角三角形，尋找邊角關(guān)系.

當(dāng)問題中含有相似三角形時(shí)，

用好相似比

例3 設(shè)定點(diǎn)F到定直線l的距離為p（p>0），動(dòng)點(diǎn)M在定直線l上，動(dòng)點(diǎn)N在MF的延長線上，且滿足=，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程.

分析： 首先要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，然后利用已知條件，構(gòu)建相似三角形，確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

解： 如圖3所示，以l為y軸、過點(diǎn)F垂直于l的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則有F（p，0）.設(shè)N（x，y），過N作NQ垂直y軸于點(diǎn)Q.

因?yàn)?，所以=.由題意可知△MOF∽△MQN，所以====，化簡得：（p2-1）x2-2p3x+p2y2+p4=0 （x>0）.

評(píng)注： 若建立坐標(biāo)系后直接求解例3，運(yùn)算會(huì)比較煩瑣.而運(yùn)用相似三角形的相似比來解題，就使問題大大簡化了.這類題的思維方向是：比例式？圯相似三角形？圯化歸轉(zhuǎn)化.

當(dāng)問題涉及直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，

應(yīng)用圓心到直線的距離關(guān)系

例4 已知x，y滿足x2+y2-4x+4y+4≤0，求x+2y的值的取值范圍.

分析： 配方后可得（x-2）2+（y+2）2≤4，其幾何意義為以（2，-2）為圓心、2為半徑的圓及其內(nèi)部.設(shè)z=x+2y，則x+2y-z=0表示平面內(nèi)的平行直線系，示意圖如圖4所示.問題轉(zhuǎn)化為求直線與圓相交或相切時(shí)z的取值范圍.

解： 把已知的不等方程配方得（x-2）2+（y+2）2≤4，設(shè)z=x+2y. 由題意可得，直線l：x+2y-z=0與圓（x-2）2+（y+2）2=4的圖象有公共點(diǎn)，故圓心（2，-2）到直線l的距離d==≤2，解得-2-2≤z≤-2+2，所以x+2y的取值范圍為[-2-2，-2+2].

評(píng)注： 處理直線與圓的位置關(guān)系問題，一般都用幾何法，常常通過圓心到直線的距離關(guān)系求解. 其思維流程為：尋找關(guān)系？圯計(jì)算距離？圯列式求解.

當(dāng)問題涉及三角形的內(nèi)心時(shí)，

考慮使用角平分線的性質(zhì)定理

例5 已知M是橢圓+=1上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的左右焦點(diǎn)，I是△MF1F2的內(nèi)切圓圓心.求證：點(diǎn)M，I的縱坐標(biāo)之比為定值.

分析： 內(nèi)心是三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，若由角平分線的直線方程求交點(diǎn)，會(huì)導(dǎo)致煩瑣的計(jì)算，而角平分線定理與比例有關(guān)，可簡化運(yùn)算.

證明： 如圖5所示，連結(jié)MI并延長交F1F2于點(diǎn)N，則M，I的縱坐標(biāo)之比轉(zhuǎn)化為.由角平分線的性質(zhì)定理和等比定理得：=====，所以== （定值）.

評(píng)注： 求解例5的時(shí)候要靈活使用角平分線定理和等比定理. 這類問題的思維過程可以歸納為：聯(lián)想定理？圯合理轉(zhuǎn)化？圯適量計(jì)算.

【練一練】

（1） 過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作弦AB，若弦AB所在直線的傾斜角為60°，則的值為 .

（2） 過雙曲線-=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)F作圓x2+y2=a2的切線FM（切點(diǎn)為M），交y軸于點(diǎn)P. 若M為線段FP的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率是 .

（A） （B）

（C） 2 （D）

（3） 求由直線y=0，x=1，y=x相交所成的三角形內(nèi)切圓的方程.

【參考答案】

（1） 解： 如圖6所示，分別作出點(diǎn)A，B在拋物線準(zhǔn)線l上的投影A′，B′，則AA′⊥l，BB′⊥l；直線AC垂直BB′的延長線于點(diǎn)C.

設(shè)AF=m，BF=n.根據(jù)拋物線知識(shí)可知：BF=BB′=n，AF=AA′=B′C=m，BC=B′C-BB′=m-n，AB=m+n. 在直角△ABC中，cos60°===，解得=3，即=3.

（2） 解： 如圖7所示，OM=a，OF=c，OM⊥PF且M為PF的中點(diǎn)，所以△OPF是等腰直角三角形，∠PFO=45°，所以O(shè)F==OM，即c=a. 所以e==. 答案為A.

（3） 解： 如圖8所示，三條直線之間的交點(diǎn)分別記為O，A，B.作△OAB的內(nèi)切圓C，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，記圓心為C（a，b），半徑為b.易知OB=AB=1，OA=，OB=OD+DB，即a+b=1 （①）.

結(jié)合圓的切線長定理知：OA=OF+AF=OD+AE=OD+AB-EB，即a+1-b=，得a-b=-1 （②）.

由①②兩式解得：a=，b=. 所以圓C的方程是：x-2+y-2=2.

解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問題，思路直接，但運(yùn)算量大，如果能夠挖掘問題中的平面幾何要素，利用平面幾何知識(shí)來協(xié)助求解，往往會(huì)事半功倍.

當(dāng)問題涉及求兩條線段長度的和（或差）的最值時(shí)，

可聯(lián)系三角形的三邊關(guān)系

例1 已知橢圓+=1內(nèi)有兩點(diǎn)A（2，2），B（3，0），P為橢圓上一點(diǎn)，則PA+PB的最大值是 .

分析： 使用解析幾何知識(shí)列式計(jì)算，過程相當(dāng)繁雜，若根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊來求解，則快捷許多.

解： 如圖1所示，B為橢圓+=1的右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F（-3，0），則AF==.由橢圓方程可知a=5，所以PF+PB=2a=10.

結(jié)合三角形三邊關(guān)系可知：PA+PB=PA+10-PF≤AF+10=10+，當(dāng)且僅當(dāng)P與AF的延長線與橢圓的交點(diǎn)P′重合時(shí)取等號(hào)，所以PA+PB的最大值是10+.

評(píng)注： 解例1的關(guān)鍵是把PA+PB轉(zhuǎn)化為PA-PF+10，涉及求兩條線段長度之差的最值，自然聯(lián)想到三角形的性質(zhì).思考方向是：活用定義，化折為直.

當(dāng)問題中有正三角形、直角三角形時(shí)，

不妨考慮用其邊角關(guān)系

例2 過拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線，若此直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中垂線與x軸交于點(diǎn)P，則線段PF的長等于 .

（A） （B）

（C） （D） 8

分析： 例2的常規(guī)解法是設(shè)法求出線段AB的中垂線方程，再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而求出PF的長，過程復(fù)雜且運(yùn)算量大.若從平面幾何角度入手，則較為簡單.

解： 如圖2所示，拋物線的準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)E，AB的中垂線交自身于點(diǎn)Q，作AD=BF.因?yàn)镼為AB的中點(diǎn)，所以AQ=BQ，F(xiàn)Q=DQ.

作AM⊥l于點(diǎn)M，BN⊥l于點(diǎn)N，BB′⊥x軸于點(diǎn)B′.由拋物線知識(shí)可知：AF=AM，BF=BN，∠MAF=∠AFP=60°，所以△AMF是正三角形，∠AFM=60°，從而∠MFE=60° .因?yàn)椤螰BN=120°，所以∠NFB=30° .又因?yàn)椤螮FB=∠AFP=60°，所以∠EFN=30°.

因?yàn)镋F=4，所以AF=MF==8，NE=EF·tan∠EFN=，BF===. 而QF=FD=（AF-BF）=， 所以FP==.故答案為A.

評(píng)注： 在例2的解法中，由拋物線的定義實(shí)現(xiàn)了拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)和到準(zhǔn)線距離之間的相互轉(zhuǎn)化，然后通過挖掘圖象中的正三角形和直角三角形等條件，利用其邊角關(guān)系，從“形”出發(fā)求“數(shù)”. 思維途徑是：構(gòu)建直角三角形，尋找邊角關(guān)系.

當(dāng)問題中含有相似三角形時(shí)，

用好相似比

例3 設(shè)定點(diǎn)F到定直線l的距離為p（p>0），動(dòng)點(diǎn)M在定直線l上，動(dòng)點(diǎn)N在MF的延長線上，且滿足=，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程.

分析： 首先要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，然后利用已知條件，構(gòu)建相似三角形，確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

解： 如圖3所示，以l為y軸、過點(diǎn)F垂直于l的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則有F（p，0）.設(shè)N（x，y），過N作NQ垂直y軸于點(diǎn)Q.

因?yàn)?，所以=.由題意可知△MOF∽△MQN，所以====，化簡得：（p2-1）x2-2p3x+p2y2+p4=0 （x>0）.

評(píng)注： 若建立坐標(biāo)系后直接求解例3，運(yùn)算會(huì)比較煩瑣.而運(yùn)用相似三角形的相似比來解題，就使問題大大簡化了.這類題的思維方向是：比例式？圯相似三角形？圯化歸轉(zhuǎn)化.

當(dāng)問題涉及直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，

應(yīng)用圓心到直線的距離關(guān)系

例4 已知x，y滿足x2+y2-4x+4y+4≤0，求x+2y的值的取值范圍.

分析： 配方后可得（x-2）2+（y+2）2≤4，其幾何意義為以（2，-2）為圓心、2為半徑的圓及其內(nèi)部.設(shè)z=x+2y，則x+2y-z=0表示平面內(nèi)的平行直線系，示意圖如圖4所示.問題轉(zhuǎn)化為求直線與圓相交或相切時(shí)z的取值范圍.

解： 把已知的不等方程配方得（x-2）2+（y+2）2≤4，設(shè)z=x+2y. 由題意可得，直線l：x+2y-z=0與圓（x-2）2+（y+2）2=4的圖象有公共點(diǎn)，故圓心（2，-2）到直線l的距離d==≤2，解得-2-2≤z≤-2+2，所以x+2y的取值范圍為[-2-2，-2+2].

評(píng)注： 處理直線與圓的位置關(guān)系問題，一般都用幾何法，常常通過圓心到直線的距離關(guān)系求解. 其思維流程為：尋找關(guān)系？圯計(jì)算距離？圯列式求解.

當(dāng)問題涉及三角形的內(nèi)心時(shí)，

考慮使用角平分線的性質(zhì)定理

例5 已知M是橢圓+=1上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的左右焦點(diǎn)，I是△MF1F2的內(nèi)切圓圓心.求證：點(diǎn)M，I的縱坐標(biāo)之比為定值.

分析： 內(nèi)心是三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，若由角平分線的直線方程求交點(diǎn)，會(huì)導(dǎo)致煩瑣的計(jì)算，而角平分線定理與比例有關(guān)，可簡化運(yùn)算.

證明： 如圖5所示，連結(jié)MI并延長交F1F2于點(diǎn)N，則M，I的縱坐標(biāo)之比轉(zhuǎn)化為.由角平分線的性質(zhì)定理和等比定理得：=====，所以== （定值）.

評(píng)注： 求解例5的時(shí)候要靈活使用角平分線定理和等比定理. 這類問題的思維過程可以歸納為：聯(lián)想定理？圯合理轉(zhuǎn)化？圯適量計(jì)算.

【練一練】

（1） 過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作弦AB，若弦AB所在直線的傾斜角為60°，則的值為 .

（2） 過雙曲線-=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)F作圓x2+y2=a2的切線FM（切點(diǎn)為M），交y軸于點(diǎn)P. 若M為線段FP的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率是 .

（A） （B）

（C） 2 （D）

（3） 求由直線y=0，x=1，y=x相交所成的三角形內(nèi)切圓的方程.

【參考答案】

（1） 解： 如圖6所示，分別作出點(diǎn)A，B在拋物線準(zhǔn)線l上的投影A′，B′，則AA′⊥l，BB′⊥l；直線AC垂直BB′的延長線于點(diǎn)C.

設(shè)AF=m，BF=n.根據(jù)拋物線知識(shí)可知：BF=BB′=n，AF=AA′=B′C=m，BC=B′C-BB′=m-n，AB=m+n. 在直角△ABC中，cos60°===，解得=3，即=3.

（2） 解： 如圖7所示，OM=a，OF=c，OM⊥PF且M為PF的中點(diǎn)，所以△OPF是等腰直角三角形，∠PFO=45°，所以O(shè)F==OM，即c=a. 所以e==. 答案為A.

（3） 解： 如圖8所示，三條直線之間的交點(diǎn)分別記為O，A，B.作△OAB的內(nèi)切圓C，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，記圓心為C（a，b），半徑為b.易知OB=AB=1，OA=，OB=OD+DB，即a+b=1 （①）.

結(jié)合圓的切線長定理知：OA=OF+AF=OD+AE=OD+AB-EB，即a+1-b=，得a-b=-1 （②）.

由①②兩式解得：a=，b=. 所以圓C的方程是：x-2+y-2=2.

解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問題，思路直接，但運(yùn)算量大，如果能夠挖掘問題中的平面幾何要素，利用平面幾何知識(shí)來協(xié)助求解，往往會(huì)事半功倍.

當(dāng)問題涉及求兩條線段長度的和（或差）的最值時(shí)，

可聯(lián)系三角形的三邊關(guān)系

例1 已知橢圓+=1內(nèi)有兩點(diǎn)A（2，2），B（3，0），P為橢圓上一點(diǎn)，則PA+PB的最大值是 .

分析： 使用解析幾何知識(shí)列式計(jì)算，過程相當(dāng)繁雜，若根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊來求解，則快捷許多.

解： 如圖1所示，B為橢圓+=1的右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F（-3，0），則AF==.由橢圓方程可知a=5，所以PF+PB=2a=10.

結(jié)合三角形三邊關(guān)系可知：PA+PB=PA+10-PF≤AF+10=10+，當(dāng)且僅當(dāng)P與AF的延長線與橢圓的交點(diǎn)P′重合時(shí)取等號(hào)，所以PA+PB的最大值是10+.

評(píng)注： 解例1的關(guān)鍵是把PA+PB轉(zhuǎn)化為PA-PF+10，涉及求兩條線段長度之差的最值，自然聯(lián)想到三角形的性質(zhì).思考方向是：活用定義，化折為直.

當(dāng)問題中有正三角形、直角三角形時(shí)，

不妨考慮用其邊角關(guān)系

例2 過拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線，若此直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中垂線與x軸交于點(diǎn)P，則線段PF的長等于 .

（A） （B）

（C） （D） 8

分析： 例2的常規(guī)解法是設(shè)法求出線段AB的中垂線方程，再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而求出PF的長，過程復(fù)雜且運(yùn)算量大.若從平面幾何角度入手，則較為簡單.

解： 如圖2所示，拋物線的準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)E，AB的中垂線交自身于點(diǎn)Q，作AD=BF.因?yàn)镼為AB的中點(diǎn)，所以AQ=BQ，F(xiàn)Q=DQ.

作AM⊥l于點(diǎn)M，BN⊥l于點(diǎn)N，BB′⊥x軸于點(diǎn)B′.由拋物線知識(shí)可知：AF=AM，BF=BN，∠MAF=∠AFP=60°，所以△AMF是正三角形，∠AFM=60°，從而∠MFE=60° .因?yàn)椤螰BN=120°，所以∠NFB=30° .又因?yàn)椤螮FB=∠AFP=60°，所以∠EFN=30°.

因?yàn)镋F=4，所以AF=MF==8，NE=EF·tan∠EFN=，BF===. 而QF=FD=（AF-BF）=， 所以FP==.故答案為A.

評(píng)注： 在例2的解法中，由拋物線的定義實(shí)現(xiàn)了拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)和到準(zhǔn)線距離之間的相互轉(zhuǎn)化，然后通過挖掘圖象中的正三角形和直角三角形等條件，利用其邊角關(guān)系，從“形”出發(fā)求“數(shù)”. 思維途徑是：構(gòu)建直角三角形，尋找邊角關(guān)系.

當(dāng)問題中含有相似三角形時(shí)，

用好相似比

例3 設(shè)定點(diǎn)F到定直線l的距離為p（p>0），動(dòng)點(diǎn)M在定直線l上，動(dòng)點(diǎn)N在MF的延長線上，且滿足=，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程.

分析： 首先要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，然后利用已知條件，構(gòu)建相似三角形，確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

解： 如圖3所示，以l為y軸、過點(diǎn)F垂直于l的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則有F（p，0）.設(shè)N（x，y），過N作NQ垂直y軸于點(diǎn)Q.

因?yàn)?，所以=.由題意可知△MOF∽△MQN，所以====，化簡得：（p2-1）x2-2p3x+p2y2+p4=0 （x>0）.

評(píng)注： 若建立坐標(biāo)系后直接求解例3，運(yùn)算會(huì)比較煩瑣.而運(yùn)用相似三角形的相似比來解題，就使問題大大簡化了.這類題的思維方向是：比例式？圯相似三角形？圯化歸轉(zhuǎn)化.

當(dāng)問題涉及直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，

應(yīng)用圓心到直線的距離關(guān)系

例4 已知x，y滿足x2+y2-4x+4y+4≤0，求x+2y的值的取值范圍.

分析： 配方后可得（x-2）2+（y+2）2≤4，其幾何意義為以（2，-2）為圓心、2為半徑的圓及其內(nèi)部.設(shè)z=x+2y，則x+2y-z=0表示平面內(nèi)的平行直線系，示意圖如圖4所示.問題轉(zhuǎn)化為求直線與圓相交或相切時(shí)z的取值范圍.

解： 把已知的不等方程配方得（x-2）2+（y+2）2≤4，設(shè)z=x+2y. 由題意可得，直線l：x+2y-z=0與圓（x-2）2+（y+2）2=4的圖象有公共點(diǎn)，故圓心（2，-2）到直線l的距離d==≤2，解得-2-2≤z≤-2+2，所以x+2y的取值范圍為[-2-2，-2+2].

評(píng)注： 處理直線與圓的位置關(guān)系問題，一般都用幾何法，常常通過圓心到直線的距離關(guān)系求解. 其思維流程為：尋找關(guān)系？圯計(jì)算距離？圯列式求解.

當(dāng)問題涉及三角形的內(nèi)心時(shí)，

考慮使用角平分線的性質(zhì)定理

例5 已知M是橢圓+=1上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的左右焦點(diǎn)，I是△MF1F2的內(nèi)切圓圓心.求證：點(diǎn)M，I的縱坐標(biāo)之比為定值.

分析： 內(nèi)心是三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，若由角平分線的直線方程求交點(diǎn)，會(huì)導(dǎo)致煩瑣的計(jì)算，而角平分線定理與比例有關(guān)，可簡化運(yùn)算.

證明： 如圖5所示，連結(jié)MI并延長交F1F2于點(diǎn)N，則M，I的縱坐標(biāo)之比轉(zhuǎn)化為.由角平分線的性質(zhì)定理和等比定理得：=====，所以== （定值）.

評(píng)注： 求解例5的時(shí)候要靈活使用角平分線定理和等比定理. 這類問題的思維過程可以歸納為：聯(lián)想定理？圯合理轉(zhuǎn)化？圯適量計(jì)算.

【練一練】

（1） 過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作弦AB，若弦AB所在直線的傾斜角為60°，則的值為 .

（2） 過雙曲線-=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)F作圓x2+y2=a2的切線FM（切點(diǎn)為M），交y軸于點(diǎn)P. 若M為線段FP的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率是 .

（A） （B）

（C） 2 （D）

（3） 求由直線y=0，x=1，y=x相交所成的三角形內(nèi)切圓的方程.

【參考答案】

（1） 解： 如圖6所示，分別作出點(diǎn)A，B在拋物線準(zhǔn)線l上的投影A′，B′，則AA′⊥l，BB′⊥l；直線AC垂直BB′的延長線于點(diǎn)C.

設(shè)AF=m，BF=n.根據(jù)拋物線知識(shí)可知：BF=BB′=n，AF=AA′=B′C=m，BC=B′C-BB′=m-n，AB=m+n. 在直角△ABC中，cos60°===，解得=3，即=3.

（2） 解： 如圖7所示，OM=a，OF=c，OM⊥PF且M為PF的中點(diǎn)，所以△OPF是等腰直角三角形，∠PFO=45°，所以O(shè)F==OM，即c=a. 所以e==. 答案為A.

（3） 解： 如圖8所示，三條直線之間的交點(diǎn)分別記為O，A，B.作△OAB的內(nèi)切圓C，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，記圓心為C（a，b），半徑為b.易知OB=AB=1，OA=，OB=OD+DB，即a+b=1 （①）.

結(jié)合圓的切線長定理知：OA=OF+AF=OD+AE=OD+AB-EB，即a+1-b=，得a-b=-1 （②）.

由①②兩式解得：a=，b=. 所以圓C的方程是：x-2+y-2=2.