許志鋒

三角變換內容豐富、方法靈活、應用廣泛，是高考考查的重點內容之一.解決這類問題需要能夠洞察已知條件與所求目標之間的邏輯關聯(lián)，選擇合適的公式和恰當?shù)淖冃问侄螌崿F(xiàn)目標.

三角變換中的常用公式

▲同角三角函數(shù)之間的相互表示： 雖然任意角的三角函數(shù)值會隨著角所在象限的變化而出現(xiàn)正負的變化，但其本質還是直角三角形中邊與邊的比值，如圖1所示.其中sinα=，cosα=，tanα=之間可以利用sin2α+cos2α=1，tanα=，cosα=±等公式進行相互轉化，即“知一便知三”. 依據(jù)三角函數(shù)之間的相互表示可以進行化切為弦、化弦為切等變形.

▲誘導公式：依據(jù)誘導公式可將任意角的三角函數(shù)化歸為銳角三角函數(shù)進行求解.

▲兩角和與差的三角公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α-β）=等. 這組公式可將兩角和與差的三角函數(shù)用各個角的三角函數(shù)來表示.

▲二倍角公式：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1等. 這組公式反過來也可用于降冪，比如cos2α=，sin2α=等.

在較為復雜的問題中，需綜合運用各種公式對三角函數(shù)進行相應的變形.

三角變換中的典型方法

▲切弦互化

例1 已知4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=0，x∈0，，求：（1） ；（2） 5sin2x+3cos2x+sinxcosx.

解析： 由于5sin2x+3cos2x+sinxcosx=，這樣（1）（2）中的兩個式子就均為分子分母關于正余弦的齊次分式結構，其中（1）中的式子為一次，（2）中的式子為二次，只要分子分母分別同除以cosx或cos2x即可將它們化為關于tanx的分式.所以，我們可以考慮先由已知條件求得tanx的值.

那么，怎樣由已知條件計算出tanx的值呢？仔細觀察，發(fā)現(xiàn)4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=（4sin2x-cos2x）-3（2sinx-cosx），進行因式分解，則有：（4sin2x-cos2x）-3（2sinx-cosx）=（2sinx-cosx）（2sinx+cosx-3）=0. 由于2sinx+cosx-3=sin（x+φ）-3≤-3<0 （其中tanφ=），所以要滿足題意必須有2sinx-cosx=0，所以tanx=.

（1） ===-.

（2） 5sin2x+3cos2x+sinxcosx==

==.

點評： 針對例1中正余弦的齊次式所采用的是化弦為切的方法：先根據(jù)已知條件求出正切值，然后化弦為切再來求解.在另一些場合中則需要化切為弦.從解析過程我們還可以看出，即便是三角變形，有時也需要使用因式分解等方法.

▲整體表示

例2 已知sinα+=-，α∈（0，π），求cosα.

解析： 如果不假思索地將sinα+拆開用sinα，cosα來表示，再結合sin2α+cos2α=1解方程組，則運算復雜.如果換個角度來思考，將α用α+-表示，就不致“破壞”已知條件中角α+的整體性.

cosα=cosα+-=cosα+cos+sinα+sin，其中α+∈，. 結合sinα+=-<0可知，α+∈π，，故cosα+=-.

所以cosα=cosα+cos+sinα+sin=-×+-×=-.

▲降冪加倍

例3 求函數(shù)f（x）=cos2x-+2cos2x的最大值.

解析： 由于第一項可拆開表示為2x的正、余弦的形式，故宜將第二項cos2x降冪，用cos2x來表示.

f（x）=cos2x-+2cos2x=cos2xcos+sin2xsin+（1+cos2x）=sin2xsin+cos2xcos+1+1=-sin2x+cos2x+1=sin2x++1，因為sin2x+π≤1，故f（x）的最大值為2.

綜合應用

例4 若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，則sin（x+y）= .

解析： 第一個已知條件等價于cos（x-y）=，第二個條件中出現(xiàn)了2x，2y，而我們要求的是x+y的正弦，聯(lián)想到2x=（x+y）+（x-y），2y=（x+y）-（x-y），可得sin2x+sin2y=sin[（x+y）+（x-y）]+sin[（x+y）-（x-y）]=2sin（x+y）cos（x-y）=. 把第一個條件cos（x-y）=代入，得sin（x+y）=.

例5 求函數(shù)y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值與最小值.

解析： y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x=7-2sin2x+4cos2x（1-cos2x）=7-2sin2x+4cos2xsin2x=7-2sin2x+sin22x=7-2t+t2=（t-1）2+6 ，其中t=sin2x∈[-1，1].

函數(shù)y=（t-1）2+6在[-1，1]上為減函數(shù)，所以當t=-1時，函數(shù)y取得最大值10；當t=1時，函數(shù)y取得最小值6.

點評： 例5中求得4cos2xsin2x=sin22x后就沒有必要再對sin22x降冪處理了，因為降冪加倍后反而會出現(xiàn)4x，與前一項sinxcosx加倍得出的2x背道而馳.

例6 設α∈0，，β∈0，，tanα=，則 .

（A） 3α-β= （B） 3α+β= （C） 2α-β= （D） 2α+β=

解析：考慮到條件中式子左右兩邊的函數(shù)類型，不妨將左邊化切為弦，則有=，整理得sinαcosβ-cosαsinβ=cosα，即sin（α-β）=cosα=sin-α. 因為α∈0，，β∈0，，所以α-β=-α，答案為C.

點評： 除使用化切為弦的方法外，求解例6時還進行了余弦正弦互化的處理：cosα=sin-α.由于這道題為選擇題，采用特殊值代入也能求解，如取β=，則tanα=2+，因為α∈0，，所以α=，代入各選項中可得出C正確.不過這種方法有失一般性，可在選擇題中作排除選項之用.

例7 已知sinα+=cosα+cos2α，并且α是第二象限角，求cosα-sinα的值.

解析：如果只注意局部關系，解題時可能會繞圈子，而且得不到所求結果.這就需要我們冷靜思考和仔細觀察，尋找已知和所求之間的聯(lián)系.

首先，最終的目標是求cosα-sinα；其次，有一個細節(jié)，即是特殊的輔助角，將sinα+，cosα+兩式展開后分別可得（cosα+sinα），（cosα-sinα），如果再選擇公式cos2α=cos2α-sin2α=（cosα-sinα）（cosα+sinα），就找到了已知與所求之間的聯(lián)系.

由已知條件可得（cosα+sinα）=×（cosα-sinα）·（cos2α-sin2α），化簡得cosα+sinα=（cosα-sinα）2（sinα+cosα） （①）.

若cosα+sinα=0，結合α是第二象限角，可得α=2kπ+（k∈Z），所以cosα-sinα=-.

若cosα+sinα≠0，則①式兩邊同除以cosα+sinα，得（cosα-sinα）2=，結合α是第二象限角可知cosα<0，sinα>0，所以cosα-sinα=-.

小結： 三角變換無非就是“變角”和“變函數(shù)”，這其中有大量公式和方法可供選擇，為避免選擇的盲目性，應兼顧已知條件和所求目標的各部分的特點，把握好其中的細節(jié)，努力尋找聯(lián)系，選擇合適的途徑解題.

三角變換內容豐富、方法靈活、應用廣泛，是高考考查的重點內容之一.解決這類問題需要能夠洞察已知條件與所求目標之間的邏輯關聯(lián)，選擇合適的公式和恰當?shù)淖冃问侄螌崿F(xiàn)目標.

三角變換中的常用公式

▲同角三角函數(shù)之間的相互表示： 雖然任意角的三角函數(shù)值會隨著角所在象限的變化而出現(xiàn)正負的變化，但其本質還是直角三角形中邊與邊的比值，如圖1所示.其中sinα=，cosα=，tanα=之間可以利用sin2α+cos2α=1，tanα=，cosα=±等公式進行相互轉化，即“知一便知三”. 依據(jù)三角函數(shù)之間的相互表示可以進行化切為弦、化弦為切等變形.

▲誘導公式：依據(jù)誘導公式可將任意角的三角函數(shù)化歸為銳角三角函數(shù)進行求解.

▲兩角和與差的三角公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α-β）=等. 這組公式可將兩角和與差的三角函數(shù)用各個角的三角函數(shù)來表示.

▲二倍角公式：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1等. 這組公式反過來也可用于降冪，比如cos2α=，sin2α=等.

在較為復雜的問題中，需綜合運用各種公式對三角函數(shù)進行相應的變形.

三角變換中的典型方法

▲切弦互化

例1 已知4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=0，x∈0，，求：（1） ；（2） 5sin2x+3cos2x+sinxcosx.

解析： 由于5sin2x+3cos2x+sinxcosx=，這樣（1）（2）中的兩個式子就均為分子分母關于正余弦的齊次分式結構，其中（1）中的式子為一次，（2）中的式子為二次，只要分子分母分別同除以cosx或cos2x即可將它們化為關于tanx的分式.所以，我們可以考慮先由已知條件求得tanx的值.

那么，怎樣由已知條件計算出tanx的值呢？仔細觀察，發(fā)現(xiàn)4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=（4sin2x-cos2x）-3（2sinx-cosx），進行因式分解，則有：（4sin2x-cos2x）-3（2sinx-cosx）=（2sinx-cosx）（2sinx+cosx-3）=0. 由于2sinx+cosx-3=sin（x+φ）-3≤-3<0 （其中tanφ=），所以要滿足題意必須有2sinx-cosx=0，所以tanx=.

（1） ===-.

（2） 5sin2x+3cos2x+sinxcosx==

==.

點評： 針對例1中正余弦的齊次式所采用的是化弦為切的方法：先根據(jù)已知條件求出正切值，然后化弦為切再來求解.在另一些場合中則需要化切為弦.從解析過程我們還可以看出，即便是三角變形，有時也需要使用因式分解等方法.

▲整體表示

例2 已知sinα+=-，α∈（0，π），求cosα.

解析： 如果不假思索地將sinα+拆開用sinα，cosα來表示，再結合sin2α+cos2α=1解方程組，則運算復雜.如果換個角度來思考，將α用α+-表示，就不致“破壞”已知條件中角α+的整體性.

cosα=cosα+-=cosα+cos+sinα+sin，其中α+∈，. 結合sinα+=-<0可知，α+∈π，，故cosα+=-.

所以cosα=cosα+cos+sinα+sin=-×+-×=-.

▲降冪加倍

例3 求函數(shù)f（x）=cos2x-+2cos2x的最大值.

解析： 由于第一項可拆開表示為2x的正、余弦的形式，故宜將第二項cos2x降冪，用cos2x來表示.

f（x）=cos2x-+2cos2x=cos2xcos+sin2xsin+（1+cos2x）=sin2xsin+cos2xcos+1+1=-sin2x+cos2x+1=sin2x++1，因為sin2x+π≤1，故f（x）的最大值為2.

綜合應用

例4 若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，則sin（x+y）= .

解析： 第一個已知條件等價于cos（x-y）=，第二個條件中出現(xiàn)了2x，2y，而我們要求的是x+y的正弦，聯(lián)想到2x=（x+y）+（x-y），2y=（x+y）-（x-y），可得sin2x+sin2y=sin[（x+y）+（x-y）]+sin[（x+y）-（x-y）]=2sin（x+y）cos（x-y）=. 把第一個條件cos（x-y）=代入，得sin（x+y）=.

例5 求函數(shù)y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值與最小值.

解析： y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x=7-2sin2x+4cos2x（1-cos2x）=7-2sin2x+4cos2xsin2x=7-2sin2x+sin22x=7-2t+t2=（t-1）2+6 ，其中t=sin2x∈[-1，1].

函數(shù)y=（t-1）2+6在[-1，1]上為減函數(shù)，所以當t=-1時，函數(shù)y取得最大值10；當t=1時，函數(shù)y取得最小值6.

點評： 例5中求得4cos2xsin2x=sin22x后就沒有必要再對sin22x降冪處理了，因為降冪加倍后反而會出現(xiàn)4x，與前一項sinxcosx加倍得出的2x背道而馳.

例6 設α∈0，，β∈0，，tanα=，則 .

（A） 3α-β= （B） 3α+β= （C） 2α-β= （D） 2α+β=

解析：考慮到條件中式子左右兩邊的函數(shù)類型，不妨將左邊化切為弦，則有=，整理得sinαcosβ-cosαsinβ=cosα，即sin（α-β）=cosα=sin-α. 因為α∈0，，β∈0，，所以α-β=-α，答案為C.

點評： 除使用化切為弦的方法外，求解例6時還進行了余弦正弦互化的處理：cosα=sin-α.由于這道題為選擇題，采用特殊值代入也能求解，如取β=，則tanα=2+，因為α∈0，，所以α=，代入各選項中可得出C正確.不過這種方法有失一般性，可在選擇題中作排除選項之用.

例7 已知sinα+=cosα+cos2α，并且α是第二象限角，求cosα-sinα的值.

解析：如果只注意局部關系，解題時可能會繞圈子，而且得不到所求結果.這就需要我們冷靜思考和仔細觀察，尋找已知和所求之間的聯(lián)系.

首先，最終的目標是求cosα-sinα；其次，有一個細節(jié)，即是特殊的輔助角，將sinα+，cosα+兩式展開后分別可得（cosα+sinα），（cosα-sinα），如果再選擇公式cos2α=cos2α-sin2α=（cosα-sinα）（cosα+sinα），就找到了已知與所求之間的聯(lián)系.

由已知條件可得（cosα+sinα）=×（cosα-sinα）·（cos2α-sin2α），化簡得cosα+sinα=（cosα-sinα）2（sinα+cosα） （①）.

若cosα+sinα=0，結合α是第二象限角，可得α=2kπ+（k∈Z），所以cosα-sinα=-.

若cosα+sinα≠0，則①式兩邊同除以cosα+sinα，得（cosα-sinα）2=，結合α是第二象限角可知cosα<0，sinα>0，所以cosα-sinα=-.

小結： 三角變換無非就是“變角”和“變函數(shù)”，這其中有大量公式和方法可供選擇，為避免選擇的盲目性，應兼顧已知條件和所求目標的各部分的特點，把握好其中的細節(jié)，努力尋找聯(lián)系，選擇合適的途徑解題.

三角變換內容豐富、方法靈活、應用廣泛，是高考考查的重點內容之一.解決這類問題需要能夠洞察已知條件與所求目標之間的邏輯關聯(lián)，選擇合適的公式和恰當?shù)淖冃问侄螌崿F(xiàn)目標.

三角變換中的常用公式

▲同角三角函數(shù)之間的相互表示： 雖然任意角的三角函數(shù)值會隨著角所在象限的變化而出現(xiàn)正負的變化，但其本質還是直角三角形中邊與邊的比值，如圖1所示.其中sinα=，cosα=，tanα=之間可以利用sin2α+cos2α=1，tanα=，cosα=±等公式進行相互轉化，即“知一便知三”. 依據(jù)三角函數(shù)之間的相互表示可以進行化切為弦、化弦為切等變形.

▲誘導公式：依據(jù)誘導公式可將任意角的三角函數(shù)化歸為銳角三角函數(shù)進行求解.

▲兩角和與差的三角公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α-β）=等. 這組公式可將兩角和與差的三角函數(shù)用各個角的三角函數(shù)來表示.

▲二倍角公式：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1等. 這組公式反過來也可用于降冪，比如cos2α=，sin2α=等.

在較為復雜的問題中，需綜合運用各種公式對三角函數(shù)進行相應的變形.

三角變換中的典型方法

▲切弦互化

例1 已知4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=0，x∈0，，求：（1） ；（2） 5sin2x+3cos2x+sinxcosx.

解析： 由于5sin2x+3cos2x+sinxcosx=，這樣（1）（2）中的兩個式子就均為分子分母關于正余弦的齊次分式結構，其中（1）中的式子為一次，（2）中的式子為二次，只要分子分母分別同除以cosx或cos2x即可將它們化為關于tanx的分式.所以，我們可以考慮先由已知條件求得tanx的值.

那么，怎樣由已知條件計算出tanx的值呢？仔細觀察，發(fā)現(xiàn)4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=（4sin2x-cos2x）-3（2sinx-cosx），進行因式分解，則有：（4sin2x-cos2x）-3（2sinx-cosx）=（2sinx-cosx）（2sinx+cosx-3）=0. 由于2sinx+cosx-3=sin（x+φ）-3≤-3<0 （其中tanφ=），所以要滿足題意必須有2sinx-cosx=0，所以tanx=.

（1） ===-.

（2） 5sin2x+3cos2x+sinxcosx==

==.

點評： 針對例1中正余弦的齊次式所采用的是化弦為切的方法：先根據(jù)已知條件求出正切值，然后化弦為切再來求解.在另一些場合中則需要化切為弦.從解析過程我們還可以看出，即便是三角變形，有時也需要使用因式分解等方法.

▲整體表示

例2 已知sinα+=-，α∈（0，π），求cosα.

解析： 如果不假思索地將sinα+拆開用sinα，cosα來表示，再結合sin2α+cos2α=1解方程組，則運算復雜.如果換個角度來思考，將α用α+-表示，就不致“破壞”已知條件中角α+的整體性.

cosα=cosα+-=cosα+cos+sinα+sin，其中α+∈，. 結合sinα+=-<0可知，α+∈π，，故cosα+=-.

所以cosα=cosα+cos+sinα+sin=-×+-×=-.

▲降冪加倍

例3 求函數(shù)f（x）=cos2x-+2cos2x的最大值.

解析： 由于第一項可拆開表示為2x的正、余弦的形式，故宜將第二項cos2x降冪，用cos2x來表示.

f（x）=cos2x-+2cos2x=cos2xcos+sin2xsin+（1+cos2x）=sin2xsin+cos2xcos+1+1=-sin2x+cos2x+1=sin2x++1，因為sin2x+π≤1，故f（x）的最大值為2.

綜合應用

例4 若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，則sin（x+y）= .

解析： 第一個已知條件等價于cos（x-y）=，第二個條件中出現(xiàn)了2x，2y，而我們要求的是x+y的正弦，聯(lián)想到2x=（x+y）+（x-y），2y=（x+y）-（x-y），可得sin2x+sin2y=sin[（x+y）+（x-y）]+sin[（x+y）-（x-y）]=2sin（x+y）cos（x-y）=. 把第一個條件cos（x-y）=代入，得sin（x+y）=.

例5 求函數(shù)y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值與最小值.

解析： y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x=7-2sin2x+4cos2x（1-cos2x）=7-2sin2x+4cos2xsin2x=7-2sin2x+sin22x=7-2t+t2=（t-1）2+6 ，其中t=sin2x∈[-1，1].

函數(shù)y=（t-1）2+6在[-1，1]上為減函數(shù)，所以當t=-1時，函數(shù)y取得最大值10；當t=1時，函數(shù)y取得最小值6.

點評： 例5中求得4cos2xsin2x=sin22x后就沒有必要再對sin22x降冪處理了，因為降冪加倍后反而會出現(xiàn)4x，與前一項sinxcosx加倍得出的2x背道而馳.

例6 設α∈0，，β∈0，，tanα=，則 .

（A） 3α-β= （B） 3α+β= （C） 2α-β= （D） 2α+β=

解析：考慮到條件中式子左右兩邊的函數(shù)類型，不妨將左邊化切為弦，則有=，整理得sinαcosβ-cosαsinβ=cosα，即sin（α-β）=cosα=sin-α. 因為α∈0，，β∈0，，所以α-β=-α，答案為C.

點評： 除使用化切為弦的方法外，求解例6時還進行了余弦正弦互化的處理：cosα=sin-α.由于這道題為選擇題，采用特殊值代入也能求解，如取β=，則tanα=2+，因為α∈0，，所以α=，代入各選項中可得出C正確.不過這種方法有失一般性，可在選擇題中作排除選項之用.

例7 已知sinα+=cosα+cos2α，并且α是第二象限角，求cosα-sinα的值.

解析：如果只注意局部關系，解題時可能會繞圈子，而且得不到所求結果.這就需要我們冷靜思考和仔細觀察，尋找已知和所求之間的聯(lián)系.

首先，最終的目標是求cosα-sinα；其次，有一個細節(jié)，即是特殊的輔助角，將sinα+，cosα+兩式展開后分別可得（cosα+sinα），（cosα-sinα），如果再選擇公式cos2α=cos2α-sin2α=（cosα-sinα）（cosα+sinα），就找到了已知與所求之間的聯(lián)系.

由已知條件可得（cosα+sinα）=×（cosα-sinα）·（cos2α-sin2α），化簡得cosα+sinα=（cosα-sinα）2（sinα+cosα） （①）.

若cosα+sinα=0，結合α是第二象限角，可得α=2kπ+（k∈Z），所以cosα-sinα=-.

若cosα+sinα≠0，則①式兩邊同除以cosα+sinα，得（cosα-sinα）2=，結合α是第二象限角可知cosα<0，sinα>0，所以cosα-sinα=-.

小結： 三角變換無非就是“變角”和“變函數(shù)”，這其中有大量公式和方法可供選擇，為避免選擇的盲目性，應兼顧已知條件和所求目標的各部分的特點，把握好其中的細節(jié)，努力尋找聯(lián)系，選擇合適的途徑解題.