劉 超， 孫 秦， 劉彥杰

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安710072)

金屬材料的單向拉伸試驗(yàn)為研究材料基本力學(xué)性能提供了數(shù)據(jù)參考。模擬金屬棒材試件在單向拉伸狀態(tài)下的裂紋形成與擴(kuò)展直至完全斷裂的全過(guò)程非常必要。數(shù)值仿真與真實(shí)試驗(yàn)相比成本低，并能獲得真實(shí)試驗(yàn)難以測(cè)量的數(shù)據(jù)。因此，基于斷裂力學(xué)或損傷力學(xué)為基本理論進(jìn)行數(shù)值模擬延性金屬構(gòu)件的斷裂過(guò)程一直是工程材料力學(xué)性能研究中的熱點(diǎn)。在對(duì)光滑圓試樣和帶缺口試樣的有限元仿真計(jì)算中，通常選用含旋轉(zhuǎn)的軸對(duì)稱單元(二維單元)來(lái)劃分網(wǎng)格，將本應(yīng)選用體單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格進(jìn)行分析的三維應(yīng)力問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化。三維應(yīng)力狀態(tài)下的數(shù)值計(jì)算更接近于試件單向拉伸直至斷裂的整個(gè)過(guò)程。

楊慶生等［1］基于自適應(yīng)有限元法的基本原理并假設(shè)裂紋沿著單元之間的路徑連續(xù)擴(kuò)展，發(fā)展了一種可隨裂尖連續(xù)移動(dòng)的網(wǎng)格動(dòng)態(tài)加密和釋放方法。黃向平等［2］討論了自適應(yīng)有限元模擬裂紋擴(kuò)展的網(wǎng)格生成技術(shù)，通過(guò)修改裂紋周圍單元的形狀及單元間的鄰接關(guān)系，實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格動(dòng)態(tài)劃分對(duì)裂紋擴(kuò)展的跟蹤。上述研究均基于斷裂力學(xué)基本理論并用有限元法進(jìn)行數(shù)值分析，其局限性為必須確定裂紋擴(kuò)展的路徑或不斷地重新劃分網(wǎng)格。文獻(xiàn)［3 ～5］分別利用邊界元方法、熱權(quán)函數(shù)法和多虛擬裂紋擴(kuò)展技術(shù)、有限元法研究了三維狀態(tài)下I 型裂紋擴(kuò)展。然而其局限性為均采用斷裂力學(xué)方法研究，所選構(gòu)件必須含有初始裂紋，無(wú)法模擬無(wú)初始裂紋構(gòu)件的裂紋萌生。文獻(xiàn)［6］在總結(jié)前人［7，8］研究的基礎(chǔ)上提出了Gurson 模型，Tvergaard 和Needleman［9～12］隨后對(duì)初始Gurson 模型進(jìn)行了修正。應(yīng)用GTN 本構(gòu)模型能夠模擬通過(guò)空穴形核和長(zhǎng)大的累積微觀斷裂，因此可以應(yīng)用于模擬金屬的延性斷裂。

TC4 鈦合金以其強(qiáng)度高、耐蝕性好、耐熱性高的特點(diǎn)廣泛應(yīng)用于航空航天工業(yè)中，主要用于制造發(fā)動(dòng)機(jī)的風(fēng)扇和壓氣機(jī)盤及葉片以及飛機(jī)結(jié)構(gòu)中的梁和隔框等重要承力構(gòu)件。但人們通常關(guān)注合金的制備工藝對(duì)性能影響的研究，最近趙嘉琪等［13］研究了α 污染層對(duì)鑄態(tài)合金沖擊性能的影響，劉曉華等［14］研究了焊接接頭的疲勞性能，但是少有關(guān)于合金受力過(guò)程的報(bào)道。本工作采用GTN準(zhǔn)則與有限元數(shù)值計(jì)算相結(jié)合的方法對(duì)TC4 鈦合金光滑圓試樣和兩種不同缺口形式的試樣進(jìn)行靜力破壞過(guò)程的數(shù)值模擬。模擬時(shí)除了選用含旋轉(zhuǎn)的軸對(duì)稱單元(二維單元)來(lái)劃分網(wǎng)格的簡(jiǎn)化計(jì)算外，又采用三維應(yīng)力狀態(tài)下體單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格的方法來(lái)模擬TC4 鈦合金棒材試件單向拉伸試驗(yàn)的過(guò)程。并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。

1 TC4 鈦合金靜強(qiáng)度單向拉伸試驗(yàn)

1.1 TC4 鈦合金光滑圓試樣和帶缺口試樣的靜力拉伸試驗(yàn)

單向拉伸試驗(yàn)所選材料為高強(qiáng)度變形TC4 鈦合金，其名義化學(xué)成分如表1 所示［15］。

三種試樣的TC4 鈦合金單向拉伸試驗(yàn)分別為:光滑圓試樣的單向拉伸試驗(yàn)(圖1a 定義為試樣a)，兩種帶有不同大小缺口試樣的單向拉伸試驗(yàn)(圖1b和圖1c，定義為試樣b 和試樣c)。三種形狀試樣拉伸試驗(yàn)均在Instron8801 試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行，試樣尺寸如圖1 所示。三種形狀試樣斷裂后的宏觀形貌如圖2所示。TC4 鈦合金工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線和真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖3 所示。其中真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線中未包含頸縮后的無(wú)效數(shù)據(jù)，因?yàn)槔妙i縮前的數(shù)據(jù)就能完成基體無(wú)損傷真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的構(gòu)造。

表1 TC4 鈦合金的化學(xué)成分(質(zhì)量分?jǐn)?shù)/%)Table 1 Chemical compositions of TC4 titanium alloy(mass fraction/%)

圖1 試樣示意圖Fig.1 Illustration of specimens (unit:mm) (a)specimen a;(b)specimen b;(c)specimen c

圖2 3 種拉伸試樣宏觀斷裂形貌Fig.2 Macroscopic fracture morphology of three specimens(a)specimen a;(b)specimen b;(c)specimen c

圖3 應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.3 Stress-strain curve

2 損傷模型和本構(gòu)關(guān)系

2.1 GTN 模型

Gurson 模型中考慮了靜水壓力和空穴體積分?jǐn)?shù)對(duì)屈服面的影響。材料的空穴體積分?jǐn)?shù)f 是一個(gè)從0 到1 的數(shù)，分別對(duì)應(yīng)無(wú)損傷材料和完全損傷材料。Tvergaard 和Needleman 隨后對(duì)Gurson 模型進(jìn)行修正，其表達(dá)式如下:

式(1)中σeq為Von-Mises 等效應(yīng)力，σ*為基體的流變應(yīng)力，σkk為第一應(yīng)力不變量，q1，q2，q3為考慮到空穴周圍非均勻應(yīng)力場(chǎng)和相鄰空穴之間相互作用的修正系數(shù)，且q3=q21。f*為材料空穴體積分?jǐn)?shù)的方程，如式(2)和式(3):

式(2)中fc表示空穴體積分?jǐn)?shù)的臨界值，當(dāng)f 達(dá)到fc時(shí)材料的應(yīng)力承載能力便迅速衰減。fF表示應(yīng)力承載能力完全喪失時(shí)的空穴體積分?jǐn)?shù)。f*F為關(guān)于q1，q2，q3的方程?？昭ǖ男纬汕闆r可用下式表示:

2.2 金屬大變形的本構(gòu)關(guān)系

由正交性條件和塑性加載的一致性條件，張克實(shí)［16］給出了適用于金屬大變形的GTN 塑性本構(gòu)方程如下:

式(5)的逆行式如式(6)所示:

式(5)和式(6)中

Dij是形變率張量且vi是物質(zhì)點(diǎn)的速度，xi是瞬時(shí)坐標(biāo);σ▽ij是柯西應(yīng)力σij的Jaumann 率;E，μ 為彈性模量和泊松比;σ'ij為應(yīng)力偏張量;α*在單向拉伸時(shí)取值為1;δij是克羅內(nèi)克符號(hào);σeq為Von-Mises 等效應(yīng)力;σ*為基體的流變應(yīng)力;Φ 為式(1)所表示的空穴材料的塑性勢(shì)。

3 三種試樣單向拉伸的數(shù)值計(jì)算

3.1 光滑圓試樣、帶缺口試樣單向拉伸試驗(yàn)的數(shù)值仿真計(jì)算

三維有限元模型根據(jù)光滑圓試樣和兩種不同缺口半徑的試樣全尺寸建模，二維有限元模型選取橫截面的1/2 且沿長(zhǎng)度方向的縱軸為對(duì)稱軸，如圖4和圖5 所示，在長(zhǎng)度方向(y 方向)一端施加位移約束，另一端添加位移載荷，后處理中可通過(guò)計(jì)算約束端支反力的方式確定力載荷。劃分網(wǎng)格時(shí)兩端稀疏，預(yù)計(jì)斷裂的危險(xiǎn)區(qū)域加密網(wǎng)格。

圖4 三維有限元模型圖Fig.4 Illustration of the 3-dimensional finite element model(a)specimen a;(b)specimen b;(c)specimen c

圖5 二維有限元模型圖Fig.5 Illustration of the 2-dimensional finite element model(a)specimen a;(b)specimen b;(c)specimen c

三維有限元模型中單元類型采用帶有沙漏控制的8 節(jié)點(diǎn)縮減積分體單元(C3D8R)。在稀疏區(qū)與加密區(qū)之間用四面體單元(C3D4)過(guò)渡。二維有限元模型中單元類型采用沙漏控制的4節(jié)點(diǎn)縮減積分軸對(duì)稱單元(CAX4R)。稀疏區(qū)與加密區(qū)之間用軸對(duì)稱單元(CAX3)進(jìn)行過(guò)渡。加密區(qū)最小單元尺寸取0.1mm。數(shù)值計(jì)算中所選材料密度ρ =4400kg/m3，泊松比μ =0. 34，彈性模量E =1.09 ×105MPa 可由彈性段試驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得。應(yīng)用GTN 損傷模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算需要的無(wú)損傷材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線獲取方法可通過(guò)材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線進(jìn)行適當(dāng)處理得出［17］，材料彈性數(shù)據(jù)保持不變，進(jìn)入塑性后在曲線上遠(yuǎn)離真實(shí)應(yīng)力最大值的某一點(diǎn)處將其延伸，并選擇延伸起點(diǎn)應(yīng)變?yōu)?.025，如圖6 所示。

圖6 真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.6 True stress-strain curve

將圖6 中的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線應(yīng)用式(8)進(jìn)行處理，即可得到材料進(jìn)入塑性后無(wú)損傷的真實(shí)應(yīng)力-塑性應(yīng)變曲線，如圖7 所示。

圖7 真實(shí)應(yīng)力-塑性應(yīng)變曲線Fig.7 True stress-plastic strain curve

圖7 中所示無(wú)損傷情況下真實(shí)應(yīng)力-塑性應(yīng)變曲線即為數(shù)值計(jì)算所需要輸入的塑性數(shù)據(jù)，可表示為式(9)的形式。

式(8)中εpl表示塑性應(yīng)變，εtrue表示真實(shí)應(yīng)變，E 為彈性模量，σtrue為真實(shí)應(yīng)力。

式(9)中εpl表示塑性應(yīng)變，εk表示參考應(yīng)變，σy0初始屈服應(yīng)力，σm為無(wú)損傷曲線中硬化階段的真實(shí)應(yīng)力，n 為硬化指數(shù)。計(jì)算中所選無(wú)損傷真實(shí)應(yīng)力-塑性應(yīng)變曲線參數(shù)為σy0=850MPa，εk=0.018，n =0.13。

數(shù)值計(jì)算中對(duì)于絕大多數(shù)金屬材料而言選用q1= 1.5 ，q2= 1 ，q3= 2.25 ，fN是一個(gè)小于1 的數(shù)，通常取值范圍在(0.01，0.07)之間，εN取值范圍在(0.1，0.3)，SN取值范圍在(0.05，0.1)，空穴體積分?jǐn)?shù)的初值f0= 0 ，即假設(shè)材料初始狀態(tài)是完全無(wú)任何損傷的。fc和fF可根據(jù)試樣斷裂發(fā)生時(shí)載荷-位移曲線中的數(shù)據(jù)確定。且fc和fF相比，斷裂發(fā)生時(shí)關(guān)鍵空穴體積分?jǐn)?shù)fc起決定作用。通過(guò)數(shù)十次有限元數(shù)值計(jì)算，并與真實(shí)試驗(yàn)所得載荷-位移曲線進(jìn)行反復(fù)對(duì)比，并使最大誤差小于5%，最終確定的GTN 損傷模型參數(shù)如表2 所示。

表2 數(shù)值仿真選用的GTN 損傷模型參數(shù)Table 2 GTN damage model parameters for simulation

應(yīng)用上述GTN 模型參數(shù)分別對(duì)本工作所選三種單向拉伸試樣進(jìn)行數(shù)值計(jì)算后，三維應(yīng)力狀態(tài)下有限元計(jì)算所得載荷-位移曲線相對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)宏觀斷裂形貌與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，如圖8 所示。

圖8 對(duì)比各試樣宏觀斷裂形貌的試驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果Fig.8 Comparison of macroscopic fracture morphology of three specimens between experimental and simulation results(a)specimen a;(b)specimen b;(c)specimen c

通過(guò)圖8 對(duì)比各試樣宏觀斷裂形貌的試驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果可知，GTN 模型預(yù)測(cè)出的三種試樣的宏觀斷裂形貌，與真實(shí)試樣宏觀斷裂形貌基本一致。仿真結(jié)果和光滑圓試樣拉斷后的斷面收縮情況，均能反映出光滑圓試樣在拉伸過(guò)程中出現(xiàn)過(guò)明顯的頸縮現(xiàn)象。所得各試樣載荷-位移曲線與數(shù)值仿真所得載荷-位移曲線如圖9 所示。

圖9 試驗(yàn)數(shù)據(jù)和仿真結(jié)果的載荷-位移曲線Fig.9 Comparisons of load-displacement curves between experimental and simulation results(a)specimen a;(b)specimen b;(c)specimen c

由圖9 可知，應(yīng)用GTN 模型在考慮幾何非線性［18］時(shí)可以很好地預(yù)測(cè)出TC4 光滑圓試樣和兩種帶有不同尺寸缺口的試樣的載荷-位移曲線，清晰地反映了三種試樣在單向拉伸直至斷裂的整個(gè)過(guò)程。二維有限元模型計(jì)算結(jié)果與三維有限元模型計(jì)算結(jié)果略有偏差，但與真實(shí)試驗(yàn)載荷-位移曲線結(jié)果相比誤差均小于5%。當(dāng)不考慮幾何非線性的影響時(shí)所得結(jié)果在彈性段相差不大，但是在塑性大變形階段，載荷-位移曲線明顯比考慮幾何非線性時(shí)顯得“剛硬”的多，即在塑性變形階段相同位移條件下的載荷要明顯大于考慮幾何非線性作用的結(jié)果。因此，從數(shù)值模擬結(jié)果驗(yàn)證了研究延性金屬大變形問(wèn)題時(shí)考慮幾何非線性作用的必要性。

4 結(jié)論

(1)通過(guò)二維和三維有限元模型對(duì)TC4 光滑圓試樣和兩種不同缺口尺寸的試樣進(jìn)行建模，利用GTN 模型對(duì)三種試樣的靜強(qiáng)度拉伸試驗(yàn)進(jìn)行預(yù)測(cè)。結(jié)果表明數(shù)值計(jì)算所得載荷-位移曲線與真實(shí)試驗(yàn)所得結(jié)果基本一致，較好地反映了三種試樣的靜強(qiáng)度漸進(jìn)破壞過(guò)程。

(2)在三維應(yīng)力狀態(tài)下使用GTN 模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算后預(yù)測(cè)所得三種試樣的TC4 鈦合金宏觀斷裂形貌與真實(shí)試驗(yàn)所得結(jié)果基本一致。

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