（a，b，0）零膨脹分布類的Copula函數(shù)連接及索賠次數(shù)擬合

2014-11-11 14:18郭蓮麗郭立宏李建勛等

預(yù)測(cè) 2014年5期

郭蓮麗　郭立宏　李建勛等

摘要：本文針對(duì)非壽險(xiǎn)索賠次數(shù)回歸擬合問題，以（a，b，0）零膨脹分布類為基礎(chǔ)，簡(jiǎn)化其描述表達(dá)式，引入服從均勻分布的擾動(dòng)量，將離散變量轉(zhuǎn)化為連續(xù)變量，并通過Gaussian Copula實(shí)現(xiàn)邊際分布的連接，給出模型的參數(shù)估計(jì)，通過對(duì)一組汽車保險(xiǎn)索賠次數(shù)數(shù)據(jù)的實(shí)證分析和結(jié)果比較，表明采用Copula連接后的（a，b，0）零膨脹分布類回歸模型有效地改善了擬合效果，并且避免了保險(xiǎn)費(fèi)率厘定時(shí)對(duì)索賠次數(shù)分布的選擇。

關(guān)鍵詞：零膨脹；索賠次數(shù)；（a，b，0）分布類

中圖分類號(hào)：F840.48文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：10035192（2014）05005306doi：10.11847/fj.33.5.53Abstract：According to the problem of nonlife insurance claim frequency regression fitting， the paper takes（a，b，0）zeroinflated distribution class as a foundation， simplifies the description expression， introduces a jitters variable with uniform distribution， transforms discrete variables to continuous variables， and joint marginal distributions by Gaussian Copula function， puts forward the parameter estimation of distribution model. By the empirical analysis and results comparison， which using a group of auto insurance claims data， shows that： the（a，b，0）zeroinflated distribution class regression model jointed with Copula function is effective to improve the fitting effect， and avoids the choice of the distribution for claim frequency in rate making.

Key words：zeroinflated； claim frequency；（a，b，0）distribution class

1引言

在非壽險(xiǎn)精算中，分布類是一個(gè)最為常用的索賠次數(shù)擬合方法，它涵蓋了泊松分布、二項(xiàng)分布、負(fù)二項(xiàng)分布、幾何分布[1，2]，具有一定的實(shí)用價(jià)值。但在大部分非壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)中，索賠次數(shù)數(shù)據(jù)往往具有過離散和零膨脹特征，尤其在免賠額限制和無賠款優(yōu)待（NCD）的影響下，期望零遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于實(shí)際數(shù)據(jù)中零的個(gè)數(shù)，零膨脹情況更為嚴(yán)重。為解決這一類問題，人們分別展開了（a，b，0）分布類中零膨脹泊松、零膨脹負(fù)二項(xiàng)分布等的研究工作。

對(duì)零膨脹現(xiàn)象的研究，最早可追溯到Johnson和Kotz[3]的一些初步理論研究工作，Lambert[4]則首次提出了零膨脹泊松模型，建立了零計(jì)數(shù)和非零計(jì)數(shù)的混合概率分布，并應(yīng)用于電子制造業(yè)的質(zhì)量控制中。基于這一思想，Greene[5]將零膨脹泊松分布模型擴(kuò)展到零膨脹負(fù)二項(xiàng)分布模型，并采用BHHH方法估計(jì)模型參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差。Yip等則討論了各種零膨脹模型在非壽險(xiǎn)中的應(yīng)用，并對(duì)車險(xiǎn)數(shù)據(jù)的索賠頻次進(jìn)行了擬合分析[6]。Denuit等和Winkelmann分別還在其專著中對(duì)零膨脹現(xiàn)象進(jìn)行了討論，分析了索賠次數(shù)數(shù)據(jù)的零膨脹特征[7，8]。除此而外，Hall[9]，Bohning[10]，Agarwal[11]，Cheung [12]，Bohara[13]，Curmu[14]等還分別探討了不同行業(yè)領(lǐng)域的零膨脹現(xiàn)象，并將零膨脹思想與分布模型應(yīng)用到農(nóng)業(yè)、醫(yī)學(xué)、環(huán)境科學(xué)、兒童發(fā)育學(xué)、人口學(xué)以及計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)范疇，通過實(shí)證分析論證了零膨脹分析的正確性與實(shí)用性，推動(dòng)了零膨脹的研究與發(fā)展。當(dāng)前，隨著研究的深入，業(yè)已出現(xiàn)了（a，b，0）分布類中的零膨脹泊松、零膨脹負(fù)二項(xiàng)分布的擴(kuò)展和推廣，典型的有：Moffatt等[15]針對(duì)觀測(cè)到的數(shù)據(jù)并非確切值而僅已知其落在某區(qū)間范圍的情況，提出了數(shù)據(jù)集不同分類的分組GZIP模型；文獻(xiàn)[16]還對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種零膨脹泊松半?yún)?shù)回歸模型來處理分組計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)，該模型中泊松分布的期望與協(xié)變量之間采用部分線性連接函數(shù)，而零值的概率與協(xié)變量之間采用線性連接函數(shù)。Gupta等則引入零膨脹廣義泊松回歸模型ZIGP對(duì)胎兒運(yùn)動(dòng)與死亡次數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合[17]。Czado等[18]又在此基礎(chǔ)上對(duì)ZIGP回歸模型做了進(jìn)一步的研究與分析。針對(duì)損失數(shù)據(jù)，孟生旺等[19]分別利用零膨脹泊松回歸、零膨脹負(fù)二項(xiàng)回歸、零膨脹廣義泊松回歸模型進(jìn)行了分析，說明了零膨脹模型可以顯著改善擬合效果。徐昕等[20]和郭念國(guó)[21]則分別給出一個(gè)零膨脹負(fù)二項(xiàng)分布的擴(kuò)展形式和一個(gè)修正的零膨脹泊松模型，解決了索賠次數(shù)中出現(xiàn)的零膨脹問題。

雖然上述研究已經(jīng)在一定程度上解決了索賠次數(shù)的零膨脹問題，然而隨著人們對(duì)非壽險(xiǎn)精算索賠次數(shù)擬合和回歸的要求越來越高，僅僅依靠傳統(tǒng)的泊松分布和負(fù)二項(xiàng)分布的零膨脹改造、泛化和擴(kuò)展，已經(jīng)不能夠滿足精算實(shí)務(wù)的需要，人們迫切希望探索一種能夠進(jìn)一步提高擬合效果，充分表現(xiàn)不同風(fēng)險(xiǎn)因素對(duì)索賠次數(shù)作用的分布模型。為此，本文在介紹（a，b，0）零膨脹分布類的基礎(chǔ)上，通過引入服從均勻分布的擾動(dòng)量將離散變量轉(zhuǎn)化為連續(xù)變量，以（a，b，0）零膨脹分布類為邊際分布，建立了基于Gaussian Copula的聯(lián)合分布模型，并給出模型的參數(shù)估計(jì)，最后與文獻(xiàn)[6]和[20]中多個(gè)回歸擬合的結(jié)果進(jìn)行了比較分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，零膨脹模型對(duì)零索賠次數(shù)的估計(jì)相比傳統(tǒng)的（a，b，0）分布類更加接近真實(shí)值，并且利用Copula函數(shù)連接可以實(shí)現(xiàn)對(duì)多種邊際分布的聯(lián)合，更加準(zhǔn)確地反映了綜合風(fēng)險(xiǎn)因素條件下的索賠次數(shù)，提高了擬合分析效果，避免了保險(xiǎn)費(fèi)率厘定時(shí)對(duì)索賠次數(shù)分布模型的選擇。

郭蓮麗，等：（a，b，0）零膨脹分布類的Copula函數(shù)連接及索賠次數(shù)擬合

5實(shí)證應(yīng)用

為便于比較，本文采用與Yip等[6]相同的數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析。數(shù)據(jù)來自SAS企業(yè)數(shù)據(jù)挖掘數(shù)據(jù)庫(kù)，數(shù)據(jù)內(nèi)容包括保單信息、駕駛記錄、潛在風(fēng)險(xiǎn)、投保人特征，以及索賠日期、索賠頻次、補(bǔ)償數(shù)量等。原始數(shù)據(jù)中有觀測(cè)值10303個(gè)，33個(gè)風(fēng)險(xiǎn)分類變量，由于數(shù)據(jù)大多不夠完整，故僅采用1年的數(shù)據(jù)展開分析，總計(jì)抽取3712個(gè)客戶的2812條完整數(shù)據(jù)記錄，實(shí)測(cè)的0，1，2，3，4，5次索賠的頻度分別為[1706，351，408，268，74，5]。

5.1索賠次數(shù)的擬合

索賠次數(shù)的擬合分別選用AB0、ZIAB0、ZINBII、ZIGP、ZINBK、CZIAB0共6種分布，其中AB0為（a，b，0）分布類，ZIAB0為（a，b，0）零膨脹分布類，ZINBII和ZINBK為來自文獻(xiàn)[20]的兩種零膨脹負(fù)二項(xiàng)分布，ZIGP為零膨脹廣義泊松分布[6]，CZIAB0為本文利用Copula函數(shù)在n=2時(shí)建立的二維零膨脹（a，b，0）聯(lián)合分布。通過編寫NLMIXED代碼所獲得的無風(fēng)險(xiǎn)分類下索賠次數(shù)數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果如下：（1）當(dāng)采用（a，b，0）分布類進(jìn)行擬合時(shí)，得到參數(shù)估計(jì)a=0.3664、b=0.1500，滿足表1中的判別條件00，分布符合負(fù)二項(xiàng)分布，索賠次數(shù)擬合結(jié)果分別為[1478，763，337，140，57，22]，此時(shí)AIC和BIC分別為7006和7017，大于7000，說明擬合效果相對(duì)較差。（2）用（a，b，0）零膨脹分布類進(jìn)行擬合時(shí)，得到參數(shù)估計(jì)a=0、b=1.6899，滿足條件a=0和b>0，其分布符合零膨脹泊松分布，索賠次數(shù)擬合結(jié)果分別為[1706，443，357，201，85，29]，此時(shí)AIC和BIC分別為6699和6719，擬合效果相比前者明顯改善。（3）ZINBII、ZIGP、ZINBK三種零膨脹是對(duì)（a，b，0）零膨脹分布類中的零膨脹泊松分布和零膨脹負(fù)二項(xiàng)分布的擴(kuò)展，對(duì)應(yīng)的索賠次數(shù)擬合結(jié)果分別為[1706，423，357，201，85，29]、[1706，423，357，201，85，29]、[1706，423，357，201，85，28]，結(jié)構(gòu)零比率1-w分別為0.5177、0.5176、0.5176，擬合效果均有所提升，但由于參數(shù)數(shù)量的增加，AIC和BIC降低的幅度不高，且三者之間差異不大，在一定程度上影響了擬合時(shí)分布函數(shù)的選擇。（4）在將兩個(gè)（a，b，0）零膨脹分布作為邊際分布，使用Gaussian Copula函數(shù)建立聯(lián)合分布后，得到參數(shù)估計(jì)a1=0、b1=1.5966（零膨脹泊松分布）和a2=0.6820、b2=0.2208（零膨脹負(fù)二項(xiàng)分布），結(jié)構(gòu)零比率1-w=0.5150，根據(jù)判斷條件可知聯(lián)合分布CZIAB0實(shí)際是由零膨脹泊松分布和零膨脹負(fù)二項(xiàng)分布這兩個(gè)邊際分布通過Gaussian Copula函數(shù)連接而成，索賠次數(shù)擬合結(jié)果分別為[1706，416，398，220，78，16]，此時(shí)AIC和BIC分別為6168和6197，擬合結(jié)果明顯改善，更加接近于觀測(cè)數(shù)據(jù)。并且還可以看出，在這一過程中，我們不需要在擬合前確定各邊際分布的具體類型，其可以通過參數(shù)估計(jì)結(jié)果和判斷條件反推獲得，因而避免了保險(xiǎn)費(fèi)率厘定時(shí)對(duì)索賠次數(shù)分布模型的選擇。（5）綜合比較可知，零膨脹模型對(duì)零索賠次數(shù)的估計(jì)相比傳統(tǒng)的（a，b，0）分布類更加接近真實(shí)值，為了進(jìn)一步驗(yàn)證，我們還選取了其它年份數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)ZIGP、ZINBK、CZIAB0三種零膨脹分布均準(zhǔn)確地反應(yīng)了索賠數(shù)據(jù)中的零索賠次數(shù)，且參數(shù)在水平為5%下顯著，僅是在結(jié)構(gòu)零所占比率的大小上有所不同。

5.2回歸模型的擬合

在回歸模擬中，選取了13個(gè)費(fèi)率因子，包括客戶性別、教育程度、婚姻狀況、單親家庭、客戶年齡、汽車類型、汽車顏色、汽車用途、行駛區(qū)域、年薪收入等，除年薪收入為連續(xù)變量外其它均為屬性變量。經(jīng)過風(fēng)險(xiǎn)分類后，回歸模型擬合結(jié)果如下：（1）所有的回歸模型結(jié)果均表明汽車用途、婚姻狀況、行駛區(qū)域、年薪收入、客戶性別是與索賠次數(shù)相關(guān)的重要風(fēng)險(xiǎn)因素，采用AB0、ZIAB0、ZINBII、ZIGP、ZINBK、CZIAB0模型回歸后的截距分別為-1.2187、-0.5619、-0.5619、-0.5619、-0.6361、-0.5899，各因素在不同模型下回歸系數(shù)分別為0.2895、0.1489、0.1489、0.1489、0.0854、0.0950，-0.1430、-0.1108、-0.1107、-0.1108、-0.0807、-0.0991，1.4071、1.2298、1.2298、1.2298、1.2888、1.2355，-0.0309 、-0.0174、-0.0174、-0.0174、-0.0181、-0.0179，-0.1187、-0.0510、-0.0510、-0.0510、-0.0315、-0.0419，且散度參數(shù)和結(jié)構(gòu)零的比率參數(shù)w均在水平為5%下顯著，反映了觀測(cè)數(shù)據(jù)的零膨脹特點(diǎn)。（2）在6個(gè)回歸模擬中，ZIAB0、ZINBII、ZIGP的結(jié)果差異不大，AIC和BIC都在6500附近，ZINBK模型通過對(duì)ZINB擴(kuò)展后略有提升，AIC和BIC分別是6452和6470，而CZIAB0的AIC和BIC分別為6289和6349，

是所有模型中最小值，具有最佳的回歸效果，更加有效地描述了潛在的索賠次數(shù)分布，同時(shí)表明觀測(cè)數(shù)據(jù)中有1211（2812×（1-0.5692））個(gè)結(jié)構(gòu)零。（3）回歸結(jié)果還說明：商業(yè)用途的汽車相比家用或個(gè)人汽車顯示出高的索賠次數(shù)；生活或工作在市區(qū)的投保人由于產(chǎn)生事故的概率較大，因而引起的索賠次數(shù)也相對(duì)較高；婚姻狀況的協(xié)變量系數(shù)為負(fù)值，表明已婚被保險(xiǎn)者可能駕駛車輛時(shí)較為謹(jǐn)慎，索賠率較低；年薪收入變量也具有負(fù)系數(shù)，說明高收入的保險(xiǎn)人或許更加重視車輛的保養(yǎng)、維護(hù)和維修，從而擁有較低索賠次數(shù)；另外，客戶性別變量的系數(shù)也為負(fù)值，揭示了男性駕駛者發(fā)生事故的幾率比女性駕駛者??；但總體來看，年薪收入和客戶性別對(duì)索賠次數(shù)的影響程度相對(duì)其它并不明顯（系數(shù)分別為-0.0179和-0.0419）。

6結(jié)論

本文綜合利用（a，b，0）分布類、零膨脹理論、Copula函數(shù)，探討了零膨脹條件下的索賠數(shù)據(jù)擬合問題，建立了基于Gaussian Copula的（a，b，0）零膨脹分布類CZIAB0，并通過索賠次數(shù)和回歸模型的擬合，與AB0、ZIAB0、ZINBII、ZIGP、ZINBK等5個(gè)模型進(jìn)行了比較。從擬合結(jié)果來看，CZIAB0具有最小的對(duì)數(shù)似然值、AIC和BIC，結(jié)構(gòu)零比率的相關(guān)參數(shù)w均在水平為5%下顯著，更加接近觀測(cè)數(shù)據(jù)。總體來看，CZIAB0涵蓋了常見的泊松分布、負(fù)二項(xiàng)、零膨脹泊松和零膨脹負(fù)二項(xiàng)分布，并通過Copula實(shí)現(xiàn)了對(duì)多種分布的聯(lián)合，更加有效地反應(yīng)了綜合風(fēng)險(xiǎn)因素條件下的索賠次數(shù)，提高了擬合分析效果，并且避免了保險(xiǎn)費(fèi)率厘定時(shí)對(duì)索賠次數(shù)分布模型的選擇。

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