朱根深，張 亮

(重慶紫苑土地規(guī)劃整治有限公司，重慶400711)

赤平投影法最早應(yīng)用于天文學(xué)上，表示星體在太空中的位置和它們之間角度大小，后來在航海學(xué)和地圖學(xué)中也普遍采用。從20世紀(jì)初開始應(yīng)用于地質(zhì)科學(xué)以來，在晶體礦物學(xué)和構(gòu)造地質(zhì)學(xué)中，已獲得廣泛發(fā)展。20世紀(jì)60年代，該方法被引進(jìn)工程地質(zhì)學(xué)，起初主要用于巖質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性分析［1］;后來在工程地質(zhì)測繪和勘探資料分析、巖體結(jié)構(gòu)分析、地下洞室圍巖穩(wěn)定分析、應(yīng)力分析和空間力系的求解等方面都逐步得到應(yīng)用。

赤平投影法是一種簡便、直觀、形象的綜合圖解方法。在工程地質(zhì)上，用來表示優(yōu)勢結(jié)構(gòu)面或某些重要結(jié)構(gòu)面的產(chǎn)狀及其空間組合關(guān)系;在分析巖體穩(wěn)定性時，還可利用其來表示臨空面、邊坡面、工程作用力、巖體阻抗力及巖體變形滑移方向等［2］。

1 赤平投影法的基本原理

赤平投影法是用于表示線和面的相互關(guān)系及其運(yùn)動軌跡，并將物體在三維空間的幾何要素反映在一個投影平面上進(jìn)行研究處理的一種方法。赤平投影可以判斷結(jié)構(gòu)面和邊坡臨空面的空間組合關(guān)系，可以確定楔形體的幾何形態(tài)、空間分布及可能變形位移方位，能直觀地初步做出巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性的狀態(tài)評價。巖質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性主要受軟弱結(jié)構(gòu)面控制，邊坡的破壞主要是由結(jié)構(gòu)面切割形成的楔形體失穩(wěn)造成的，其穩(wěn)定性分析需考慮巖體節(jié)理裂隙的發(fā)育情況，查明各組巖體節(jié)理裂隙的傾向和傾角，故赤平投影法常用于巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性定性分析。

赤平投影法的特點(diǎn)［3］:只反映物體線和面產(chǎn)狀和角距的關(guān)系，而不涉及他們的具體位置、長短大小和距離遠(yuǎn)近。它以一個球體作為投影工具，以球的中心 (球心)作為比較物體的幾何要素(點(diǎn)、線、面)的方向和角距的原點(diǎn)，并以通過球心的一個水平面作為投影平面。通過球心并垂直于投影平面的直線和投影球面的交點(diǎn)，稱為球極。

赤平投影圖是將物體的幾何要素置于球心。由球心發(fā)射射線將所有的點(diǎn)、直線、平面自球心開始投影到球面上，就得到了點(diǎn)、直線、平面的球面投影。由于球面上點(diǎn)、直線、平面的方向和他們之間的角距既不容易觀測也不容易表示。于是，再以投影球的南極或北極為發(fā)射點(diǎn)，將點(diǎn)、直線、平面的球面投影(點(diǎn)和線)再投影到赤道平面上，這種投影就稱為赤平極射投影，由此得到的點(diǎn)、直線、平面在赤道平面上的投影圖。

2 赤平投影法各要素的圖示解析

以某邊坡(坡向?yàn)?56°)某一剖面的具體數(shù)據(jù)為例，說明赤平投影巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定分析中幾個圖素的空間關(guān)系。

(1)結(jié)構(gòu)面(包括裂隙、節(jié)理、層面等)的彎曲程度越大，其傾角越小，即結(jié)構(gòu)面越靠近通過圓心的軸線，傾角越大;反之，傾角越小。圖1中，①、②裂隙的傾角角度較大，靠近通過圓心的軸線;而層面的傾角角度較小，靠近圓周。

(2)結(jié)構(gòu)面的圓弧中心指向的方向?yàn)閮A向，對應(yīng)的赤平投影圓周的度數(shù)為傾向的度數(shù)。圖1中，①裂隙圓弧中心指向NE弧，圓周的度數(shù)為30°，即，①裂隙的傾向?yàn)?0°。

(3)結(jié)構(gòu)面交點(diǎn)與赤平投影圓心的連線為交線，交點(diǎn)指向圓心的方向?yàn)閮A向，對應(yīng)的赤平投影圓周的度數(shù)為傾向的度數(shù)。圖1中，⑤交線為①、②裂隙的交點(diǎn)，交線傾向?yàn)?313°。

圖1 赤平投影巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定分析的圖示

3 赤平投影法邊坡穩(wěn)定性的判斷［2］、［4］

3.1 由一組軟弱面控制的邊坡穩(wěn)定性的判斷

(1)當(dāng)結(jié)構(gòu)面走向與邊坡的走向一致而傾向相反，邊坡與結(jié)構(gòu)面投影弧相對，屬于穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。

(2)當(dāng)結(jié)構(gòu)面與邊坡的走向、傾向均相同，但其傾角小于坡角，結(jié)構(gòu)面的投影弧位于邊坡的投影弧之外，屬于不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。

(3)當(dāng)結(jié)構(gòu)面與邊坡的走向、傾向均相同，但其傾角大于坡角，結(jié)構(gòu)面的投影弧位于邊坡的投影弧之內(nèi)，屬于穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。

3.2 由兩組軟弱面控制的邊坡穩(wěn)定性的判斷

(1)不穩(wěn)定條件:軟弱面交點(diǎn)落于兩個坡面投影弧之間，而且交線在開挖坡面和頂坡都有出露。

(2)較不穩(wěn)定條件:軟弱面交點(diǎn)落于人工開挖邊坡及天然邊坡投影弧之間，如果在坡頂面出露點(diǎn)距開挖坡面較遠(yuǎn)，以致軟弱面在開挖邊坡上不出露，而插于坡腳以下，這時有一定的支撐能力，有利于穩(wěn)定;但若下部有緩傾軟弱面，并在開挖邊坡出露，則可形成折線滑動面，不利于穩(wěn)定。

(3)較穩(wěn)定條件:軟弱面交點(diǎn)落于天然邊坡面投影弧外側(cè)，說明軟弱面交線較邊坡平緩，但在坡頂面上無出露點(diǎn)，如無陡傾裂隙切割，則尚比較穩(wěn)定，如有，則不穩(wěn)定。

(4)穩(wěn)定條件:軟弱面交點(diǎn)與坡面在同一側(cè)，但在開挖坡面投影弧內(nèi)側(cè)，這時組合交線較邊坡陡。

(5)最穩(wěn)定條件:兩組軟弱面交點(diǎn)在赤平投影圖中，處于邊坡面投影弧的另外一側(cè)，這時軟弱面組合交線傾向坡內(nèi)。

4 工程實(shí)例應(yīng)用

4.1 工程概況

重慶市主城區(qū)某巖質(zhì)邊坡工程，場地地貌受地質(zhì)構(gòu)造和巖性控制明顯，為構(gòu)造剝蝕丘陵斜坡地貌，大部為荒坡，部分為拆遷后的廢墟，局部為耕地。場地總體地勢北高南低，東高西低，場地高程243.29～311.84 m，最大高差36.47 m。地形坡角多為4°～35°，局部為陡坎。

場地位于某背斜西南翼，巖層呈單斜構(gòu)造產(chǎn)出。巖層產(chǎn)狀252°∠36°，場區(qū)無斷層通過，基巖由侏羅系中統(tǒng)的沙溪廟組地層組成。根據(jù)地面調(diào)查，巖體中見三組構(gòu)造裂隙。

裂隙①:10°∠82°，間距 2.5～4.0 m ，可見延伸 7～10 m，裂面較平直，呈閉合狀，無充填物。結(jié)合差，屬硬性結(jié)構(gòu)面;裂隙②:265°∠58°，一般裂開5～8 mm，見泥質(zhì)充填。間距2～3.5 m，可見延伸5～6 m，結(jié)合差，屬硬性結(jié)構(gòu)面。局部砂巖中裂開5～15 cm，泥質(zhì)充填，充填物厚度大于起伏差，結(jié)合很差，屬軟弱結(jié)構(gòu)面;裂隙③:144°∠75°，裂開約3～8 mm，無充填物。間距4～5.5 m，可見延伸6～8 m，結(jié)合差，屬硬性結(jié)構(gòu)面。

層面結(jié)合差，局部一般，屬硬性結(jié)構(gòu)面。

經(jīng)鉆探揭示及場區(qū)實(shí)地調(diào)查，場區(qū)范圍內(nèi)主要巖土層有全新統(tǒng)人工填土(Qml4)、殘坡積層粉質(zhì)黏土(Qdl+el4)、下伏基巖為侏羅系中統(tǒng)沙溪廟組(J2s)的砂巖、泥巖。

地塊屬丘陵斜坡地貌，總體地勢較平坦，所處位置較高，有利于地下水的排泄。地下水補(bǔ)給來源主要為大氣降水，通過地表徑流和地下潛流向場地南側(cè)方向排泄。場區(qū)被第四系土層覆蓋，其中素填土，結(jié)構(gòu)松散，碎塊石含量約15% ～25%，屬透水層，粉質(zhì)黏土和下伏泥巖為相對隔水層，砂巖為弱透水層，巖體裂隙較發(fā)育，巖體較完整，不利于地下水的賦存。場地地下水主要為大氣降水補(bǔ)給，降水后絕大部分沿地表排出場地外，僅有少量下滲，在場地低洼處的填土層底部賦集形成孔隙水，類型為上層滯水;或在低洼處的基巖頂部賦集形成風(fēng)化孔隙裂隙水，類型為潛水，但水量小，雨季有水，旱季干枯。場地及鄰近廠區(qū)排水設(shè)施已完善，未見污染源，根據(jù)場地及周圍環(huán)境條件判定，場地環(huán)境水、地下水對建筑材料具微腐蝕性。

4.2 巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析評價

根據(jù)設(shè)計標(biāo)高整平后，將在地下室周邊、小區(qū)道路及建筑物間形成人工挖方邊坡。為巖質(zhì)邊坡，巖體的抗剪強(qiáng)度取值為:內(nèi)摩擦角φ=30.2°，粘聚力C=360 kPa。邊坡穩(wěn)定性分析均按直立切坡和參照《建筑邊坡工程技術(shù)規(guī)范》(GB 50330－2002)進(jìn)行評價。以地下室車庫基坑邊坡為例，采用赤平投影法進(jìn)行巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性的定性評價分析，各段基坑邊坡的穩(wěn)定性分析如下。

B1－B2邊坡:

巖質(zhì)挖方邊坡，坡長63.50 m，坡高最大14.20 m，坡向310°，坡體巖性為中風(fēng)化泥巖，邊坡巖體節(jié)理裂隙較發(fā)育，邊坡巖體較完整，結(jié)構(gòu)面結(jié)合差，邊坡巖體類型為Ⅳ類。邊坡巖體等效內(nèi)摩擦角取45°，安全等級為二級。①裂隙10°∠82°;②裂隙 265°∠58°;③裂隙 144°∠75°;④巖層產(chǎn)狀252°∠36°;⑤坡向310°。赤平投影圖見圖2。

根據(jù)圖2可知，邊坡主要受裂隙①和裂隙②的交線、層面和裂隙①的交線控制，破壞模式為沿外傾結(jié)構(gòu)面組合線呈楔形體滑動，破裂角取60.1°。需根據(jù)邊坡的形態(tài)建立模型，采用楔形體法對邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行進(jìn)一步的定量計算確定其穩(wěn)定性。經(jīng)計算，裂隙①和裂隙②的交線控制時，邊坡穩(wěn)定系數(shù)為1.31;層面和裂隙①的交線控制時，邊坡穩(wěn)定系數(shù)為2.11。邊坡穩(wěn)定系數(shù)均大于文獻(xiàn)［5］規(guī)定的安全系數(shù)1.30，直立開挖，邊坡整體穩(wěn)定，但易產(chǎn)生楔形體掉塊。

圖2 B1－B2邊坡赤平投影

B3－B4邊坡:

巖質(zhì)挖方邊坡，坡向 130°，坡長 34.40 m，坡高最大18.20 m，坡體巖性為中風(fēng)化泥巖、砂巖，以泥巖為主，邊坡巖體較完整，結(jié)構(gòu)面結(jié)合差，邊坡巖體類型為Ⅳ類。邊坡巖體等效內(nèi)摩擦角取45°，安全等級為二級。①裂隙10°∠82°;②裂隙 265°∠58°;③裂隙 144°∠75°;④巖層產(chǎn)狀 252°∠36°;⑤坡向130°。赤平投影圖見圖3。

根據(jù)圖3可知，邊坡主要受裂隙③控制，破壞模式為沿外傾結(jié)構(gòu)面發(fā)生平面滑移破壞，破裂角取60.1°。需根據(jù)邊坡的形態(tài)建立模型，采用平面滑動法對邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行進(jìn)一步的定量計算確定其穩(wěn)定性。經(jīng)計算，裂隙③控制時，邊坡穩(wěn)定系數(shù)為0.94，小于文獻(xiàn)［5］規(guī)定的安全系數(shù)1.30，直立開挖，邊坡易沿裂隙③呈平面滑塌。

圖3 B3－B4邊坡赤平投影

B5－B6邊坡:

巖質(zhì)挖方邊坡，坡向 220°，坡長 36.60 m，坡高最大18.37 m，坡體巖性為中風(fēng)化泥巖、砂巖，以泥巖為主，邊坡巖體較完整，結(jié)構(gòu)面結(jié)合差，邊坡巖體類型為Ⅳ類。邊坡巖體等效內(nèi)摩擦角取45°，安全等級為二級。①裂隙10°∠82°;②裂隙 265°∠58°;③裂隙 144°∠75°;④巖層產(chǎn)狀 252°∠36°;⑤坡向220°。赤平投影圖見圖4。

根據(jù)圖4可知，邊坡主要受裂隙②和裂隙③的交線、層面和裂隙③的交線控制，破壞模式為沿外傾結(jié)構(gòu)面組合線方向呈楔形體滑塌，破裂角取60.1°。需根據(jù)邊坡的形態(tài)建立模型，采用楔形體法對邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行進(jìn)一步的定量計算確定其穩(wěn)定性。裂隙②和裂隙③的交線控制時，邊坡穩(wěn)定系數(shù)為1.34;層面和裂隙③的交線控制時，邊坡穩(wěn)定系數(shù)為1.49。邊坡穩(wěn)定系數(shù)均大于文獻(xiàn) ［5］規(guī)定的安全系數(shù)1.30，直立開挖，邊坡基本整體穩(wěn)定，但局部較易產(chǎn)生楔形體滑塌。

圖4 B5－B6邊坡赤平投影

5 結(jié)論

(1)極射赤平投影法既可以確定邊坡上的結(jié)構(gòu)面和邊坡臨空面的空間組合關(guān)系，確定邊坡上可能不穩(wěn)定楔形結(jié)構(gòu)體的幾何形態(tài)、規(guī)模大小，以及它們的空間位置和分布，也可以確定不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)體的可能變形位移方向，直觀地做出邊坡穩(wěn)定性狀態(tài)評價，是巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析的常用的方法之一。

(2)赤平極射投影法在初步判定巖體穩(wěn)定性方面比其他計算方法快速、簡捷。

(3)赤平極射投影方法僅適用于巖質(zhì)邊坡。根據(jù)結(jié)構(gòu)面空間產(chǎn)狀和相互組合交線的情況，該方法能夠很快地判斷巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性，此外利用這種圖解方法還能夠進(jìn)一步確定結(jié)構(gòu)體的滑移方向，滑動動態(tài)以及穩(wěn)定程度的分析。因此，赤平極射投影方法在巖質(zhì)邊坡工程實(shí)踐中具有較好的指導(dǎo)意義。

［1］唐文穎.赤平投影法在某鐵礦采區(qū)邊開挖穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用［J］.江蘇建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2012，12(1):25－27

［2］工程地質(zhì)手冊編委會.工程地質(zhì)手冊［M］.第4版.北京:中國建筑工業(yè)出版社，2007

［3］顧婷.赤平極射投影法在巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析中的初步應(yīng)用［J］.水利科技與經(jīng)濟(jì)，2010，16(4)，391－392

［4］吳紹強(qiáng).極射赤平投影法在巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用［J］.西部探礦工程，2009，(10):117－121

［5］GB 50330－2002建筑邊坡工程技術(shù)規(guī)范［S］