龐麗艷

時標(biāo)上的二階中立型泛函微分方程的周期解

龐麗艷

(寧夏師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，寧夏，固原 756000)

利用疊合度理論研究了一類時標(biāo)上的二階中立型泛函微分方程，得到方程

周期解；二階中立型泛函微分方程；延拓定理；時標(biāo)

1990年， Hilger S[1]的博士論文首次提出時標(biāo)上動力方程的研究后，吸引著眾多學(xué)者對時標(biāo)上動力方程的廣泛研究，推動了時標(biāo)理論的快速發(fā)展。目前，時標(biāo)上中立型泛函微分方程已在生物、經(jīng)濟(jì)、機(jī)械等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[2-5]，因此研究中立型泛函微分方程有重要的意義。Wu J[6]應(yīng)用文獻(xiàn)[7]中的定理及不動點指數(shù)定理研究中立型二階微分方程

正周期解的存在性。

基于時標(biāo)理論把連續(xù)的和離散的進(jìn)行了統(tǒng)一，本文考慮下面時標(biāo)上的二階中立型微分方程

(2)

其中和都是ω-周期函數(shù)，是常時滯，關(guān)于第一個分量是-周期函數(shù)，關(guān)于第二個分量不是單調(diào)遞減的，且。

1 準(zhǔn)備知識

首先，引入以下定義和引理，詳見文獻(xiàn)[8-11]。

引理1[8]假設(shè)A是Banach空間X上的一個有界線性算子，若，則有有界的逆算子,且。

引理2[8] 假設(shè)是Banach空間X上的一個有界線性算子，且逆算子存在，對任意A：X→X，若，則。

引理3[8] 令是一個有界開集，是一個連續(xù)算子且在上是L-緊的，假設(shè)

a、由于下層擋板主要作用是促使煤粉氣流產(chǎn)生初級旋流，而現(xiàn)有上層擋板部分或大部分處于全開位置，當(dāng)煤粉氣流進(jìn)入上層擋板后，上層擋板不但沒有起到增加旋流強(qiáng)度的作用，反而起到了降低旋流強(qiáng)度的均流板作用，從而使得煤粉氣流旋流強(qiáng)度降低，沿分離器軸向運(yùn)動，分離效果變差，因此即使下層擋板在較大范圍內(nèi)調(diào)整，而當(dāng)煤粉氣流通過上層擋板后，旋轉(zhuǎn)強(qiáng)度顯著降低且與調(diào)整前后變化不大，從而造成分離器擋板在較大范圍內(nèi)調(diào)整時煤粉細(xì)度變化較??；

(i)對每個及有；

(ii)對每個，；

(iii)Brouwer 度。

則在上至少有一個解。

定義 ，其上的范數(shù)為，，其上的范數(shù)為，則和分別帶上范數(shù)和為Banach空間。

令映射定義為

此外，教師在SPOC翻轉(zhuǎn)課堂中可以使用移動學(xué)習(xí)管理應(yīng)用如“藍(lán)墨云班課”為輔助手段，通過移動學(xué)習(xí)管理應(yīng)用上傳微課視頻，發(fā)布學(xué)習(xí)資源，布置課前或課后任務(wù)和活動，并借助移動學(xué)習(xí)管理應(yīng)用對每位學(xué)生的在線學(xué)習(xí)情況進(jìn)行詳細(xì)記錄，客觀公正地對學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行管理和評價，激勵學(xué)生形成良性的學(xué)習(xí)競爭，提升學(xué)生英語學(xué)習(xí)的效果。

(3)

且。

為了驗證系統(tǒng)（3）至少有一個ω-周期解，引入以下概念和結(jié)果。

令X，Y為兩個矢量空間，是一個線性映射，是一個連續(xù)映射，若dimKerL=codim Im L且ImL在Y上緊，則映射L稱為指數(shù)為0的Fredholm映射。若L是指數(shù)為0的Fredholm映射且存在兩個連續(xù)映射P：X→X和Q：Y→Y使得ImP=KerL，KerQ=ImL=Im（I-Q），則映射是可逆的，定義其可逆映射為。若Ω是X的一個有界開子集，是一個有界集且是緊的，則映射稱為上的L-緊集。若Im Q與KerL同構(gòu)，則存在一個同構(gòu)映射J:Im Q→KerL。

焊接試驗：試件按規(guī)定組對后，用CO2氣體保護(hù)焊焊接拘束焊縫，焊接時嚴(yán)格控制了試件的角變形。拘束焊縫焊接24h后，完成試驗焊縫的焊接。對板厚32 mm的鋼板不預(yù)熱，對板厚50mm的鋼板預(yù)熱80℃，分別采用焊條電弧焊和氣體保護(hù)焊進(jìn)行焊接試驗。

2 主要結(jié)果

定義一個線性算子

此外，語料中的古漢語詞、古越語底層詞、古楚語詞等，需花大量的時間和精力對本字進(jìn)行甄別和考證。要做到這一點，不僅需要深厚的語言學(xué)功底和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度,而且需要開闊的學(xué)術(shù)視野和敏捷的思維能力。

， ，

其中。

線性算子

不失一般性，假設(shè)最后一個資源余額的分配部門僅在{1,2}中選擇且si-≤s≤si+,i=1,2.則應(yīng)該將余額分給部門i=1，如果

， ，對 ，得到 ， 其中且為常數(shù)。 由, 有， 負(fù)載F:采用液壓缸加載。實驗裝置采用加載液壓缸與工作液壓缸的活塞桿處于同心位置直接對頂?shù)募虞d方案，調(diào)節(jié)加載缸工作腔的油壓大小，即可使調(diào)速回路獲得不同的負(fù)載值。 即，則。 令是方程的一個解，則。 顯然，因此在中是緊的，并且dim KerL = codim Im L = 1，所以算子L是指數(shù)為0的Fredholm算子。定義連續(xù)映射 ，

；

特設(shè)智能感知系統(tǒng)，泡沫感知，給你定制漂洗次數(shù)，還你干凈衣物。水位感知，多少衣服放多少水，自動匹配水位，省水由它開始。筒內(nèi)溫度感知，呵護(hù)嬌柔的衣物纖維不受損。衣量感知，衣量多少，自動測量，任何時候給你最佳匹配方案。

。

因此，。令算子

，

則方程(2)至少有一個-周期解。

證明：這里分三步來驗證。

對(4)兩邊從0到進(jìn)行積分，有

由(5)得到

由(5)、(8)得到

由(5)得到

故由引理1及（4）有

由度理論得到，

例子 考慮下面的方程

其中

通過計算得到

應(yīng)用定理1得到方程(12)至少有一個2-周期解。

[1] Hilger S. Analysis on measure chains unified approach to continuous and discrete calculus[J].Results in Mathematics,1990,18(1):48-56.

[2] Hale J K.Theory of Functional Differential Equations [M]. New York: Springer-Verlag, 1977.

[3] Kuang Y. Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics [M]. New Work: Academic Press, 1993.

[4] Zheng Z X. Theory of Functional Differential Equations [M]. Hefei: Anhui Educational Publishing House, 1994.

[5] Evans G W, Ramey G. Adaptive expectations, underparameterization and the Lucas critique[J]. Monetary Economics, 2006,53:249-264.

[6] Wu J, Wang Z C. Two periodic solutions of second-order neutral functional differential equations[J]. Mathematical Analysis and Applications,2007,329: 677-689.

[7] Zhang M R. Nonuniform non-resonance at the first eigenvalue of the p-Laplacian[J]. Nonlinear Analysis, 1997,12(29):41-51.

[8] Du Bo, Guo Liliang, Ge Weigao, et al, Periodic solutions for generalized Linard neutral equation with variable parameter[J].Nonlinear Anal,2009,7:2387-2394.

[9] Bohner M, Fan M, Zhang J M. Existence of periodic solutions in predator-prey and competition dynamic systems[J]. Nonlinear Anal, 2006,7:1193-1204.

[10] Bohner M Peterson A. Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction with Applications[M]. Boston: Birkhaser, 2001.

PERIODIC SOLUTION OF SECOND-ORDER NEUTRAL FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS ON TIME SCALES

PANG Li-yan

(School of Mathematics and Computer Science,Ningxia Teachers University, Guyuan, Ningxia 756000, China)

We consider one type of second-order neutral functional differentialequations on time scales. By applying the continuation theorem of coincidence degreetheory, we establish the existence of periodic solutions to the equation

periodic solution; second-order neutral functional differential equation; continuation theorem; time scales

O175.1

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2014.03.004

1674-8085(2014)03-0017-05

2014-02-21；

2014-04-06

寧夏回族自治區(qū)自然科學(xué)基金項目(NZ13215)；寧夏師范學(xué)院校級科研項目(YB201438)

龐麗艷(1986-)，女，陜西西安人，助教，碩士生，主要從事微分方程定性理論研究(Email：Lanhai.happy@163.com).